2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 36  След.
 
 Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение05.07.2020, 19:45 


01/07/19
214
Подскажите плиз кто знает, известно ли решение такой задачи -
Возьмем последовательные праймориалы и для каждого из них выпишем взаимно простые с ним числа. (систему вычетов)
$2 \cdot3 \cdot5$ - вычеты $1,7,11,13,17,19,23,29$
$2 \cdot3 \cdot5 \cdot7$ - $1, 11, 13,17, ...$
...
И рассмотрим интервалы между соседними числами в этих последовательностях -
Для $2 \cdot3 \cdot5$ - это $6, 4, 2, 4, 2, 4, 6$
Для $2 \cdot3 \cdot5 \cdot7$ - $10,2,4,2, ...$
И т.д.
Для случая $5\#$ - максимальный интервал равен $6$, для $7 \#$ - максимальное значение $10$.

Вопрос - как найти значение величины максимального интервала между соседними членами этих последовательностей - в зависимости от конкретного праймориала?
Например, чему равно максимальное расстояние между соседними числами при $23 \#$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение05.07.2020, 20:42 
Заслуженный участник


20/08/14
8831
Россия, Москва
Если я нигде не ошибся в программе, то для $23\#$ значение будет $40$. А для $29\#$ будет $46$.
И все они приведены в A048670. Возможно по ссылкам оттуда можно и идею вычисления взять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение05.07.2020, 21:37 


21/05/16
4150
Аделаида
Немного не понимаю... А почему для $11\#$ не $12$, а $14$? Вот взаимнопростые числа: $1, 13, 17, 19, \ldots$, вот интервалы: $12, 4, 2, \ldots$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение05.07.2020, 21:58 
Заслуженный участник


23/07/08
9149
Харьков
Вы наверняка знаете про небольшую аномалию, ошибку природы :-) , которая заключается в том, что между $113$ и $127$ нет ни одного простого числа. Остаётся проверить, что все числа, которые «между», не взаимно просты с $2 \cdot3 \cdot5 \cdot7\cdot11$ (проверка: $13\cdot 13>126$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение05.07.2020, 22:21 


21/05/16
4150
Аделаида
А, понял, почему-то думал, что первый промежуток всегда наибольший...

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение05.07.2020, 22:32 


01/07/19
214
Dmitriy40 в сообщении #1472458 писал(а):
Если я нигде не ошибся в программе, то для $23\#$ значение будет $40$. А для $29\#$ будет $46$.
И все они приведены в A048670. Возможно по ссылкам оттуда можно и идею вычисления взять.


Спасибо!
Я не очень с английским... , даже с переводчиком. (
Что это значит - функция Якобсталя, примененная к праймориалу?

это вычислительные данные, а не полученные из каких-то теоретических построений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение05.07.2020, 23:02 
Заслуженный участник


20/08/14
8831
Россия, Москва
Я без понятия, написал программку что выдала первые несколько значений и поискал их в OEIS. И нашёл.
Процесс очень похож на поиск простых решетом Эратосфена, но как оттуда выцепить интервалы не представляю.

-- 05.07.2020, 23:31 --

Добавлю где обнаружились максимальные разности:
$11\#:113+14$
$13\#:9439+22$
$17\#:217127+26$
$19\#:60043+34$
$23\#:20332471+40$
$29\#:417086647+46$
Впрочем оказывается эти числа (точнее на 1 больше) есть в самой последовательности OEIS в разделе Links под именем "Robert Gerbicz, Table of n, a(n), u(n) for n=1..57, where every integer from [u(n),u(n)+a(n)-2] is divisible by at least one of the first n primes. Note that u(n) is not unique."

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение06.07.2020, 00:47 


01/07/19
214
Dmitriy40 в сообщении #1472498 писал(а):
Я без понятия, написал программку что выдала первые несколько значений и поискал их в OEIS. И нашёл.
Процесс очень похож на поиск простых решетом Эратосфена, но как оттуда выцепить интервалы не представляю.

Очень интересно!
Я отнял от этих чисел соответствующие величины начального большого интервала.
Для случая $5\#$ - максимальный интервал равен 6, т.е., три умножить на два, для $7 \#$ - максимальное значение $10$, т.е. пять умножить на два. Предпоследнее простое число праймориала, умноженное на 2.
И получилось вот такое -
$0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 4, 0, 8, 14, 12, 12, 14, 30, 40, 48, 54, 58, 68, 80, 70, 80, 94, 98, 112, 128, 124, 126, 140, 154, 152$
$174, 178, 184, 204, 204, 216, 238, 234, 256, 266, 288, 296, 296, 308, 340, 344, 356, 376, 374, 394, 400$

Вон та двойка, что после шести нулей - это случай $23\#$

---
А если поделить эти числа друг на друга -

$1,00; 1,00; 1,00; 1,00; 1,00; 1,00; 1,05; 1,00; 1,00; 1,06; 1,00; 1,10; 1,16; 1,13; 1,11; 1,12; 1,25; 1,30; $
$1,34; 1,37; 1,37; 1,41; 1,45; 1,36; 1,40; 1,46; 1,46; 1,51; 1,57; 1,49; 1,48; 1,51; 1,55; 1,51; 1,58; 1,57; 1,56; 1,61; 1,59; 1,60; 1,66; 1,61;$
$1,66; 1,68; 1,72; 1,70; 1,66; 1,68; 1,74; 1,74; 1,74; 1,78; 1,75; 1,77; 1,76; $

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение06.07.2020, 09:24 


01/07/19
214
Если я правильно догадываюсь, то функция Якобсталя, которая в OEIS имеется в виду - это просто "фактическая" функция. Обозначающая именно то, что и я хотел найти - максимальные интервалы между взаимно простыми с праймориалом.
Как ее найти "не вычислительно" я вроде нигде не увидел.

Дмитрий, можно ли вас попросить еще несколько расчетов сделать на вашей программе?
Есть ли какие-то еще интервалы по каждому праймориалу, меньшие максимального, но большие, чем первые от единицы (предыдущее простое число, умноженное на 2)?
И растет ли количество этих промежуточных интервалов при возрастании праймориала?

Если можно, пожалуйста :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение06.07.2020, 13:49 
Заслуженный участник


20/08/14
8831
Россия, Москва
Yury_rsn в сообщении #1472558 писал(а):
Есть ли какие-то еще интервалы по каждому праймориалу, меньшие максимального, но большие, чем первые от единицы (предыдущее простое число, умноженное на 2)?
И растет ли количество этих промежуточных интервалов при возрастании праймориала?
Да, есть, начиная от $13\#$. И первый интервал равен следующему простому минус 1 (это кстати легко доказать), а не удвоенному предыдущему.
Да, количество промежуточных в принципе растёт, хотя есть и исключения.
Вот список увеличения максимального интервала (после знака дроби начиная с какого числа данный интервал впервые обнаружен):
Код:
11#: 12/1, 14/113
13#: 16/1, 18/2183, 22/9439
17#: 18/1, 22/9439, 24/39469, 26/217127
19#: 22/1, 24/1333, 34/60043 — заметьте какое интересное исключение здесь: и короче, и нет интервала 26, и интервал 24 обнаружен сильно раньше
23#: 28/1, 34/60043, 36/8302457, 40/20332471
29#: 30/1, 34/60043, 36/3543523, 40/9740461, 42/36806389, 46/417086647 — а здесь интервалы 36,40 обнаружены сильно раньше предыдущего случая
31#: 36/1, 40/2734891, 42/6077119, 48/7006073, 50/689448377, 54/3734704159, 56/26886024107, 58/125601285782 — и опять интервалы на других числах
37#: 40/1, 46/933091, 48/7006073, 50/48595307, 54/132966023, 56/2782823513, 64/4683065593, 66/8720486098464
Ещё интересно что не все чётные интервалы присутствуют, например нет $20,28,30,32,38,44$, зато $18,42$ есть, что опровергает гипотезу об отсутствии интервалов $p+1$ ($p$ простое).

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение06.07.2020, 20:49 


01/07/19
214
Dmitriy40 в сообщении #1472614 писал(а):
Да, количество промежуточных в принципе растёт, хотя есть и исключения.
Вот список увеличения максимального интервала (после знака дроби начиная с какого числа данный интервал впервые обнаружен):
Код:
11#: 12/1, 14/113
13#: 16/1, 18/2183, 22/9439
17#: 18/1, 22/9439, 24/39469, 26/217127
19#: 22/1, 24/1333, 34/60043 — заметьте какое интересное исключение здесь: и короче, и нет интервала 26, и интервал 24 обнаружен сильно раньше
23#: 28/1, 34/60043, 36/8302457, 40/20332471
29#: 30/1, 34/60043, 36/3543523, 40/9740461, 42/36806389, 46/417086647 — а здесь интервалы 36,40 обнаружены сильно раньше предыдущего случая
31#: 36/1, 40/2734891, 42/6077119, 48/7006073, 50/689448377, 54/3734704159, 56/26886024107, 58/125601285782 — и опять интервалы на других числах

Да, очень интересные наблюдения!
Прикольная штука :-)

Цитата:
Ещё интересно что не все чётные интервалы присутствуют, например нет $20,28,30,32,38,44$, зато $18,42$ есть, что опровергает гипотезу об отсутствии интервалов $p+1$ ($p$ простое).


Ну, гипотез много разных может быть.
Например, в контексте гипотезы Лежандра, нас могут интересовать не просто максимальные интервалы на каждом праймориале, а максимальные интервалы вокруг квадратов. Для 11# - вокруг 121. Для 13# - вокруг 169, и т.д.

Ваши результаты из программы, которые приведены выше, показывают, что на диапазоне от 121 до 144 (его длина 23) - максимум не превышает 14 (11#: 12/1, 14/113)
А на диапазоне от 169 до 196 (длина 27) - максимум не превышает 22, да и то, этот максимум улетел за девять тысяч (13#: 16/1, 18/2183, 22/9439). А именно в этом месте реальные интервалы гораздо меньше. И по их краям образуются простые числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение06.07.2020, 21:04 
Заслуженный участник


20/08/14
8831
Россия, Москва
Yury_rsn в сообщении #1472687 писал(а):
А на диапазоне от 169 до 196 (длина 27) - максимум не превышает 22,
Не $22$, а всего $16$ (на самом деле ещё меньше), т.к. следующий максимум больше этого аж на числе $2183$.
Вокруг квадратов лишь максимумы 14/113 и 26/217127.

Yury_rsn в сообщении #1472687 писал(а):
И по их краям образуются простые числа.
Не везде, $2183$ и $2183+18$ оба не простые. Как и $39469$ с $39469+24$, и $217127$ с $217127+26$, и т.д.

PS. Добавил $37\#$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение06.07.2020, 22:26 


01/07/19
214
Dmitriy40 в сообщении #1472690 писал(а):
Вокруг квадратов лишь максимумы 14/113 и 26/217127.

Yury_rsn в сообщении #1472687 писал(а):
И по их краям образуются простые числа.
Не везде, $2183$ и $2183+18$ оба не простые. Как и $39469$ с $39469+24$, и $217127$ с $217127+26$, и т.д.

PS. Добавил $37\#$.


Давайте уточним. Возьмем интервал числового ряда от 100 до 121.
Все составные числа на этом интервале имеют наименьшие делители - 2, 3, 5, 7, 11.
И, чтобы в этом интервале не было ни одного простого числа (что противоречило бы гипотезе Лежандра), - длина сплошного отрезка составных чисел в этой округе должна быть больше или равна 21.

А теперь смотрим на ваши данные: 11#: 12/1, 14/113.
Т.е., максимальный отрезок составных чисел покрывает только часть интервала между квадратами - начинается только с 113.
Но даже, если бы он был полностью внутри интервала 100-121 - то его длины не хватило бы, чтобы вычеркнуть все простые в этом интервале.

А также
Цитата:
Не везде, $2183$ и $2183+18$ оба не простые
- не является контрпримером.
Интервал для 13# - от 144 до 169. Его длина 25.
Длины 18 не хватает, чтобы вычеркнуть все простые числа на этом интервале.
13#: 16/1, 18/2183, 22/9439 - и длины 22 тоже не хватает, кстати.

-- 06.07.2020, 23:51 --

теперь, когда есть данные функции Якобсталя видно, что даже максимального интервала не хватает для перекрытия всего отрезка между квадратами до 41. ($41^2-40^2$)
А дальше максимальное значение функции Якобсталя начинает превышать разность квадратов.

Но ведь максимальные интервалы расположены очень далеко от квадратов праймориала...

-- 07.07.2020, 00:05 --

Dmitriy40 в сообщении #1472614 писал(а):
Вот список увеличения максимального интервала (после знака дроби начиная с какого числа данный интервал впервые обнаружен):
Код:
11#: 12/1, 14/113
13#: 16/1, 18/2183, 22/9439
17#: 18/1, 22/9439, 24/39469, 26/217127
19#: 22/1, 24/1333, 34/60043 — заметьте какое интересное исключение здесь: и короче, и нет интервала 26, и интервал 24 обнаружен сильно раньше
23#: 28/1, 34/60043, 36/8302457, 40/20332471
29#: 30/1, 34/60043, 36/3543523, 40/9740461, 42/36806389, 46/417086647 — а здесь интервалы 36,40 обнаружены сильно раньше предыдущего случая
31#: 36/1, 40/2734891, 42/6077119, 48/7006073, 50/689448377, 54/3734704159, 56/26886024107, 58/125601285782 — и опять интервалы на других числах
37#: 40/1, 46/933091, 48/7006073, 50/48595307, 54/132966023, 56/2782823513, 64/4683065593, 66/8720486098464


И еще одно интересное наблюдение из вашей таблицы -
Максимальные интервалы по праймориалу возрастают по мере продвижения по числовой оси.
37#: 40/1, 46/933091, 48/7006073, 50/48595307, 54/132966023, 56/2782823513, 64/4683065593, 66/8720486098464

(40, 46, 48, 50, 54, 56, 64, 66) - интересно, эта закономерность по всем праймориалам выполняется,
или где-то может быть, что бОльшие числа могут появляться перед мЕньшими?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение07.07.2020, 12:37 


01/07/19
214
И еще одна просьба - можно перевести дословно описание функции Якобсталя?
https://oeis.org/wiki/Jacobsthal_function
Второй параграф - Jacobsthal function of primorial numbers

Вроде бы, как бы всё понятно, но гугл-переводчик какие-то странные обороты выдает. Подозреваю, что в этих мелочах есть важные нюансы. Особенно в описании формулы.

ps
К моему удивлению, я нигде не нашел эту функцию в русскоязычном интернете. Есть числа, последовательности, суммы Якобсталя, а именно этой функции почему-то нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение07.07.2020, 12:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2124
/dev/zero
Yury_rsn, это наименьшая длина последовательностей натуральных чисел, при которой каждая из них содержит взаимно простые с произведением $n$ первых простых чисел.

В обыкновенной функции Якобсталя "...взаимно простые с $n$".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 530 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 36  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group