Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[Yury_rsn]

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1513753 писал(а):

Без очень веских оснований не стоит считать всех математиков дураками

Понимаете ли, я не очень согласен с "философией" вашего замечания
С одной стороны, понятно, что профессиональные математики потратили тонны человеко-часов для майнинга достижения высокого уровня знаний и умений в своих областях.
А с другой стороны, очевидно, что реальные продвижения и открытия всегда зависят от какой-то "удачной" неожиданности. Прорыв случается непредсказуемо, и обычно там, где его никак не ждут. Т.е., как ни крути, всё равно приходится заниматься перебором, промывать горы пустой породы.
У профи этот процесс, есессно, более осмысленный, более эффективный, но находка золотой жилы не гарантирована. И точно так же нет гарантии, что кто-то не наткнется на самородок, случайно копнув детским совком. "Философия", однако...

А еще есть третья сторона.
По аналогии, например, с музыкой.
Львиную долю фанатов какой-нибудь музыкальной группы, составляют тоже музыканты. Только другого уровня. Когда идет бум какого-то направления, то обычно чуть ли не в каждом клубе появляются последователи. Людям нравится не только слушать, но и самим заниматься творчеством. Эта лавина заинтересованных и создает ту волну, которая выносит знаменитостей на вершину.
Не будет прослойки любителей - не будет и профессионалов. Самозаводящийся процесс. Профи это понимают, и очень даже поддерживают своих фанатов.

Любители математики - это питательная среда для возникновения интереса к математике и у всего общества, и у тех ребят, которые в конце концов поступают в математические универы.

И так далее, и тому подобное, и так далее...

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

Yury_rsn в сообщении #1513873 писал(а):

И точно так же нет гарантии, что кто-то не наткнется на самородок, случайно копнув детским совком.

Теоретически — такой гарантии нет, согласен. Но вот практически, ситуация уже другая: огромное число всех простых вариантов давным давно перепроверили не один раз, тем более для достаточно известных проблем. И копнуть детским совком надо скорее всего триллионы раз чтобы наткнуться на что-то ценное. Попасть с десятого-сотого-тысячного раза слишком маловероятно.
Надеяться что туча математиков не заметила что-то банальное — вон сколько таких "ферматистов", полный пургаторий вместе с целым разделом под их "упражнения". Реальных же находок любителями чего-то ценного конечно случались, но я слышал кажется лишь о трёх таких случаях, за целый век. Всего трое из миллионов и миллионов любителей!
Миф что любой любитель математики, познакомившийся с началами матанализа, способен сделать эпохальное открытие в уже изученной области — всё же миф. И те три исключения как раз это и подтверждают.
Заниматься конечно надо, для собственного развития, но вот повторять уже многократное проверенное ... Жизни не хватит, просто чтобы повторить всё уже известное и проверенное. Потому стоит уметь определять где уже известное, а где что-то новое неизученное. Иначе будете (не Вы лично, вообще любой) постоянно "изобретать велосипеды", это ещё если не наделаете ошибок в процессе.
Так что я вовсе не против популяризации математики, в том числе и попыток самостоятельно доказать уже известное, я лишь против выдачи таких учебных задач за нечто эпохальное, особенно если использованные для этого методы слишком просты ("ферматисты" тому прекрасный пример). Для последнего и нужны очень-очень веские основания (т.е. очень подробное и строгое доказательство). Ну и как уже сказал выше, я за то чтобы перед попытками доказательства чего-то проверить не сводится ли оно к уже известному.

[vicvolf]

(Оффтоп)

Yury_rsn Когда у меня появляется, какая -то идея доказательства гипотезы, то я на Вашем стороне.
Когда доказательство не получается , то я на стороне Dmitriy40

[Yury_rsn]

Надо, наверное, уже отдельную ветку открывать под названием "оффтоп"

(Оффтоп)

Dmitriy40 в сообщении #1513877 писал(а):

Миф что любой любитель математики, познакомившийся с началами матанализа, способен сделать эпохальное открытие в уже изученной области — всё же миф. И те три исключения как раз это и подтверждают.
Заниматься конечно надо, для собственного развития, но вот повторять уже многократное проверенное ... Жизни не хватит, просто чтобы повторить всё уже известное и проверенное. Потому стоит уметь определять где уже известное, а где что-то новое неизученное. Иначе будете (не Вы лично, вообще любой) постоянно "изобретать велосипеды"

Ну, вот мы и пришли к центральному вопросу:
- вы за любителей переживаете, пытаетесь их вразумить? Чтобы не тратили время и мозги на чепуху? Или
- почему-то вдруг решили праведным гневом клеймить коварных дилетантов, которые возомнили себя умнее профи-идиотов?

Если первый вариант - вы в чем-то правы. Только это бесполезно, как показывают опыты с ферматистами
А если второй - то, тем более, не имеет смысла.
И, насколько я заметил, никто из участников ветки не пытался взять на себя роль Бэтмена, легко решающего эпохальные теоремы.
Вопрос-ответ, вопрос-ответ, идея-опровержение. Всё чин чинарём.
В чем проблема?

Цитата:

Yury_rsn Когда у меня появляется, какая -то идея доказательства гипотезы, то я на Вашем стороне. Когда доказательство не получается , то я на стороне Dmitriy40

Так нет никаких сторон. Я вообще не понимаю, откуда возник сей напряг.
Никто не лез на абажур абордаж. Никто не бил себя в грудь, что сейчас бегом докажет Лежандра. Вопрос был абсолютно нейтральный.
Я думал над проблемой - как можно выделить определенный отрезок среди всего праймориала. Чем особенным может отличаться фрагмент между квадратами простых чисел? - слова Дмитрия навели на мысль, что можно выделить этот отрезок тем, что как-то учесть максимальные делители для чисел на этом отрезке.
Это была просто мысль вслух. Информация к размышлению, как говорил Штирлиц.
Почему вдруг герр Мюллер возмутился, я так и не понял

[vicvolf]

Хватит оффтоп, а то закроют тему. Есть идея - метод спуска https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0 ... 0%BA%D0%B0
Никого не наводит на некоторые мысли?

[Dmitriy40]

Есть идея - метод индукции https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0 ... 0%B8%D0%B5
Никого не наводит на некоторые мысли?

Есть идея - метод доказательства от противного https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0 ... 0%B3%D0%BE
Никого не наводит на некоторые мысли?

Есть идея - метод <...>
Никого не наводит на некоторые мысли?

[Yury_rsn]

Подскажите, пожалуйста, в форуме можно как-то вставлять таблицы - чтобы столбцы не съезжали?
Есть какая-то функция для этого?

[Dmitriy40]

Yury_rsn в сообщении #1514011 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, в форуме можно как-то вставлять таблицы - чтобы столбцы не съезжали?
Есть какая-то функция для этого?

FAQ по тегу [math], пункт так и называется "Как записать таблицу?".

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1514013 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1514011 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, в форуме можно как-то вставлять таблицы - чтобы столбцы не съезжали?
Есть какая-то функция для этого?

[url=https://dxdy.ru/post443191.html#p443191]FAQ по тегу , пункт так и называется "Как записать таблицу?".

\begin{tabular}{lr|c}
expr & value & $\cdot$ \\
\hline
$\cos \pi$ & $-1$ & \\
$\sin \pi$ & $0$ & $\aleph\aleph\aleph\aleph$
\end{tabular}

Хм.. а сам пример из подсказки должен "работать"?

Другие примеры почему-то отображаются

$$2 \equiv 5 \pmod 3$$

$$0 \not\equiv \frac{\pi}2 \pmod{2\pi}$$

[kotenok gav]

Вы забыли окружить формулу тегом math (в этот раз она должна быть без долларов).

[Yury_rsn]

\begin{tabular}{l|rccccccccccccccc} &2&6&8&12&14&18&20&24&26&30&32&36 \\ \hline 2&0&&&5&&&&11&&7&5&17 \\ 6&&0&&&&&7&&5&&13&5 \\ 8&&&0&&&5&&&&11&&7 \\ 12&&&&0&&&&&7&&5 \\ 14&&&&&0&&&5&&&&11 \\ 18&&&&&&0&&&&&7 \\ 20&&&&&&&0&&&5 \\ 24&&&&&&&&0 \\ 26&&&&&&&&&0&&&5 \\ 30&&&&&&&&&&0 \\ 32&&&&&&&&&&&0 \\ 36&&&&&&&&&&&&0 \\ \end{tabular}

Проба пера
Это фрагмент таблицы, которая позволяет визуализировать механизм построения интервалов Якобсталя.

У нее много замечательных свойств, но у меня сейчас нет времени делать описание.
Постараюсь вечером.

[Dmitriy40]

Yury_rsn
Для тестирования возможностей LaTeX есть специальный раздел, не нужно засорять темы.

Yury_rsn в сообщении #1513056 писал(а):

$a(n) \geqslant (2e^\gamma + o(1)) n \log^2 n \log \log \log n / (\log \log n)^2$ , see Pintz.

Уточню, это результат не самого Pintz, а гораздо более древний:

Dmitriy40 в сообщении #1514118 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1514003 писал(а):

результату Pintz (а на самом деле кажется даже не его, формула следует из совсем другой теоремы о простых числах),

И таки да, у него всего лишь переписанная в других обозначениях (что он сам собственно и сказал в статье) формула Westzynthius and Paul Erdős аж от 1938г. А в 2018г она была ещё улучшена. Инфа есть в вики.

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1514122 писал(а):

Yury_rsn
Для тестирования возможностей LaTeX есть специальный раздел, не нужно засорять темы.

Какое тестирование? О чем это?
При чем тут засорять?

За ссылки спасибо.

[Dmitriy40]

Yury_rsn
Про таблицы.

[vicvolf]

Может я скажу не новое, но просто хочу все уложить в голове.

Интервалы ПСВ$p_r\#$ - $(p^2_r,p^2_{r+1})$ прилегают друг к другу при изменении $p_r$. Так как данные интервалы содержат только простые числа, то они могут покрыть все простые числа, начиная 5, при росте $p_r$.

При переходе с $r-1$ на $r$ шаг решета Эратосфена на интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$ удаляются составные вычеты: $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1},...,p_r \cdot p_{r+k} < p^2_{r+1}$. Поэтому максимальные расстояния между соседними простыми числами на интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$ находятся на местах этих вычетов.

Однако, это не значит, что максимальное расстояние между соседними простыми числами на интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$ всегда больше максимального расстояния между соседними простыми числами на интервале $(p^2_{r-1},p^2_{r})$.

В случае, если $p_r,p_{r+1}$ являются простыми близнецами, то интервал $(p^2_r,p^2_{r+1})$ может в некоторых случаях содержать только вычеты $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1}$ и расстояние между этими вычетами равно $p_r \cdot p_{r+1}-p^2_r=p_r(p_{r+1}-p_r)=2p_r$.

Если рассматривать ПСВ$p_r\#$ полностью, то расстояние между вычетами может быть не меньше $2p_r$ и поэтому может покрывать расстояние между вычетами $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1}$ и максимальные расстояния могут образовываться слиянием более двух интервалов между вычетами.

На интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$ расстояние между вычетами меньше $2p_r$ (по моей гипотезе) и поэтому покрывать расстояние между вычетами $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1}$ не может. Поэтому максимальные расстояния между простыми числами образуются слиянием только двух интервалов между вычетами и на интервале $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1}$ имеются другие простые числа, которые уже были после $r-1$ шага решета Эратосфена.

Кстати, простые близнецы все образовались после 1-ого шага решета Эратосфена, так как на этом шаге максимальное расстояние между вычетами стало 2.

Понятно, если $p_r,p_{r+1}$ не являются простыми близнецами, то интервал $(p^2_r,p^2_{r+1})$ содержит также другие вычеты кроме $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1}$ и расстояние между вычетами $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1}$ больше $2p_r$.