2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 38, 39, 40, 41, 42
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение30.09.2022, 13:31 


01/07/19
244
Интересно.
На странице A048670 приведены разные границы для функции Якобсталя.
В том числе и такие:
$a(n) >> n \log^2 n \log \log \log n / \log \log n$
$a(n) << n^2(\log n)^2$

Но если сопоставить ф-ию Якобсталя с формулой $n(\log n)^2$, то получим почти идеальное совпадение:
Код:
n   |   ф.Якобсталя |   по формуле |  разность
          (табл)      

1      2      0,00      2,00
2      4      0,96      3,04
3      6      3,62      2,38
4      10      7,69      2,31
5      14      12,95      1,05
6      22      19,26      2,74
7      26      26,51      -0,51
8      34      34,59      -0,59
9      40      43,45      -3,45
10      46      53,02      -7,02
11      58      63,25      -5,25
12      66      74,10      -8,10
13      74      85,53      -11,53
14      90      97,50      -7,50
15      100      110,00      -10,00
16      106      123,00      -17,00
17      118      136,46      -18,46
18      132      150,38      -18,38
19      152      164,72      -12,72
20      174      179,49      -5,49
21      190      194,65      -4,65
22      200      210,20      -10,20
23      216      226,12      -10,12
24      234      242,40      -8,40
25      258      259,03      -1,03
26      264      276,00      -12,00
27      282      293,29      -11,29
28      300      310,90      -10,90
29      312      328,82      -16,82
30      330      347,04      -17,04
31      354      365,56      -11,56
32      378      384,36      -6,36
33      388      403,44      -15,44
34      414      422,80      -8,80
35      432      442,42      -10,42
36      450      462,30      -12,30
37      476      482,43      -6,43
38      492      502,82      -10,82
39      510      523,45      -13,45
40      538      544,31      -6,31
41      550      565,42      -15,42
42      574      586,75      -12,75
43      600      608,30      -8,30
44      616      630,08      -14,08
45      642      652,08      -10,08
46      660      674,29      -14,29
47      686      696,71      -10,71
48      718      719,34      -1,34
49      742      742,17      -0,17
50      762      765,20      -3,20
51      798      788,42      9,58
52      810      811,84      -1,84
53      834      835,45      -1,45
54      858      859,25      -1,25
55      876      883,23      -7,23
56      908      907,39      0,61
57      926      931,74      -5,74
58      954      956,26      -2,26
59      978      980,95      -2,95
60      1002      1005,82      -3,82
61      1030      1030,86      -0,86
62      1058      1056,06      1,94
63      1098      1081,43      16,57
64      1110      1106,96      3,04

Можно обратить внимание на строки 7, 8, 56, 61...

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение30.09.2022, 13:39 
Заслуженный участник


20/08/14
11002
Россия, Москва
Yury_rsn в сообщении #1565822 писал(а):
Но если сопоставить ф-ию Якобсталя
Вообще-то оценки приводятся для бесконечности (если прямо не указано иное), а не для начала числового ряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение30.09.2022, 13:44 


01/07/19
244
Dmitriy40 в сообщении #1565824 писал(а):
Yury_rsn в сообщении #1565822 писал(а):
Но если сопоставить ф-ию Якобсталя
Вообще-то оценки приводятся для бесконечности (если прямо не указано иное), а не для начала числового ряда.

ну это понятно 8-)
Просто заинтересовало почти точное совпадение на доступном для сравнения интервале.
Если построить графики двух кривых, то линии вьются вокруг друг друга, почти совпадая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение01.10.2022, 14:53 


01/07/19
244
Чтобы закончить мысль.
Можно предположить что-то вроде неравенств Чебышева:
$ An(\log n)^2 <a(n)< Bn(\log n)^2$
Где A и B - константы.
$ A<1< B$

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение01.10.2022, 15:15 
Заслуженный участник


20/08/14
11002
Россия, Москва
Yury_rsn в сообщении #1565924 писал(а):
$ An(\log n)^2 <a(n)$
Это Вы доказать не сможете так как $\frac{\log x}{x}$ начиная с некоторого $x$ гарантированно меньше любого наперёд заданного $A$, т.е. Вы существенно усиливаете доказанную границу.
Yury_rsn в сообщении #1565924 писал(а):
$ a(n) < Bn(\log n)^2$
И это доказать не сможете, так как оно очень сильнее доказанного $a(n)<n^2 \log^2 n$.

А приближённые формулы для первой сотни элементов мало кого волнуют, всем интересна граница на бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение15.10.2022, 11:56 


23/02/12
3097
Yury_rsn в сообщении #1565822 писал(а):
Интересно.
На странице A048670 приведены разные границы для функции Якобсталя.
В том числе и такие:
$a(n) >> n \log^2 n \log \log \log n / \log \log n$
$a(n) << n^2(\log n)^2$

Я не нашел статьи, где приведены указанные в A048670 оценки. Пожалуйста, дайте ссылки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение17.10.2022, 16:18 


01/07/19
244
vicvolf в сообщении #1566750 писал(а):
Yury_rsn в сообщении #1565822 писал(а):
Интересно.
На странице A048670 приведены разные границы для функции Якобсталя.
В том числе и такие:
$a(n) >> n \log^2 n \log \log \log n / \log \log n$
$a(n) << n^2(\log n)^2$

Я не нашел статьи, где приведены указанные в A048670 оценки. Пожалуйста, дайте ссылки.


Ford, Green, Konyagin, Maynard, & Tao show that $j(x#) >> x \log x \log \log \log x / \log \log x$
and hence $a(n) >> n \log^2n \log \log \log n / \log \log n$

Судя по составу авторов к этой оценке имеет отношение вот эта статья
https://arxiv.org/pdf/1412.5029.pdf
---
$a(n) << n^2(\log n)^2$, see Iwaniec.
Аналогично, по автору, http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa19/aa1911.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение18.10.2022, 10:33 


23/02/12
3097
Yury_rsn в сообщении #1566936 писал(а):
$a(n) << n^2(\log n)^2$, see Iwaniec. Аналогично, по автору, http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa19/aa1911.pdf
Спасибо за ссылку.
Yury_rsn в сообщении #1566936 писал(а):
Ford, Green, Konyagin, Maynard, & Tao show that $j(x#) >> x \log x \log \log \log x / \log \log x$
and hence $a(n) >> n \log^2n \log \log \log n / \log \log n$ Судя по составу авторов к этой оценке имеет отношение вот эта статья https://arxiv.org/pdf/1412.5029.pdf
Посмотрел эту статью. В ней нет этой формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение23.10.2022, 11:02 


23/02/12
3097
Прочитал интересную статью https://arxiv.org/abs/2007.01808

В частности на стр. 3 там доказано утверждение 1.6 по поводу функции Якобсталя $h(k) \geq 2p_{k-1}$.

Кроме того, там доказано, что расстояние $2p_{k-1}$ имеется в любом ПСВ_$p_k$#, хотя не обязательно является максимальным.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 624 ]  На страницу Пред.  1 ... 38, 39, 40, 41, 42

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group