Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1513456 писал(а):

vorvalm в сообщении #1509384 писал(а):

Dmitriy40
Просьба.
Среди вычетов ПСВ по модулю $M=23\#$ есть по крайней мере
6 разностей между соседними вычетами, равными $d=40$.
Не могли бы найти первые вычеты этих разностей. Спасибо.

Не знаю почему, но нашлось больше (код на PARI/GP):

? pr=vecprod(primes([1,23]));pp=1;forstep(p=3,pr-1,2, if(gcd(p,pr)>1,next); if(p-pp==40,print1(pp,"  "));pp=p)
20332471  24686821  36068191  65767861  82370089  97689751  125403079  140722741  157324969  187024639  198406009  202760359
time = 1min, 3,868 ms.

Выведено меньшее из двух чисел.

20332471$\equiv$24686821$\equiv$36068191$\equiv$65767861$\equiv$ 97689751$\equiv$140722741 (mod 13#)
и
82370089$\equiv$125403079$\equiv$157324969$\equiv$187024639 $\equiv$198406009$\equiv$202760359 (mod 13#)
Т.е., в ПСВ для 23# все расположения расстояний длиной 40 (> 38=2 $\cdot$19) распадаются на два класса эквивалентности по модулю 13#.

Интересно, а для бОльших простых чисел - на какие классы по модулю $p_{r-3}\#$ распадаются расположения расстояний d в ПСВ $p_{r}\#$ ?
Особенно интересуют d $\geqslant$ 2$p_{r-1}$.

[Dmitriy40]

Yury_rsn
Берите числа отсюда или отсюда и считайте остатки.
Например для длинного списка интервалов 66 для 37# получаются следующие остатки (в порядке увеличения):

Используется синтаксис Text

mod 13#: [3473, 14153, 15811, 26491]
mod 17#: [176641, 224363, 286081, 333803]
mod 19#: [796591, 4260721, 5438903, 8903033]
mod 23#: [8903033, 44237663, 178855141, 214189771]
mod 29#: [401948011, 660375511, 1740505231, 2445118471, 2686017473, 2721352103, 3748341061, 3783675691, 4024574693, 4729187933, 5809317653, 6067745153]
mod 31#: [13341334471, 22095097163, 34088971381, 34793584621, 36096807211, 55541221531, 61975580131, 68721506993, 69426120233, 70506249953, 84507960001, 96385022873,  104175467191, 116052530063, 130054240111, 131134369831, 131838983071, 138584909933, 145019268533, 164463682853, 165766905443, 166471518683, 178465392901, 187219155593]

[vorvalm]

Yury_rsn в сообщении #1516818 писал(а):

20332471$\equiv$24686821$\equiv$36068191$\equiv$65767861$\equiv$ 97689751$\equiv$140722741 (mod 13#)
и
82370089$\equiv$125403079$\equiv$157324969$\equiv$187024639 $\equiv$198406009$\equiv$202760359 (mod 13#)
Т.е., в ПСВ для 23# все расположения расстояний длиной 40 (> 38=2 $\cdot$19) распадаются на два класса эквивалентности по модулю 13#.

То же самое происходит в ПСВ(19#) и в ПСВ(17#).
Это позволяет определить точные места расположения $d = 40$ в этих ПСВ.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1516773 писал(а):

vicvolf
Мне непонятно какой смысл Вы вложили в слова "с вероятностью равной 1" — "почти всегда, но не обязательно", ведь так, да?

Нет такой сходимости в теории вероятностей.

Цитата:

Потому что многие, и я в том числе, обязательно подумают что "вероятность равна 1" означает 100% обязательность и невозможность никаких контрпримеров (других случаев), т.е. что условие доказано. А это очевидно не так и вероятно пропущено слово "в пределе", лишь предел вероятности равен 1, не сама вероятность. И это уже очень и очень разные вещи!

Есть сходимость "почти наверное" или "почти всюду". Это когда последовательность случайных величин сходится к какой-то случайной величине с вероятностью равной 1 при $n \to \infty$. У меня как раз такая сходимость.Под последовательностью случайных величин рассматривается последовательность расстояний.

vicvolf в сообщении #1516735 писал(а):

С вероятностью равной 1 расстояние ... при $n \to \infty$.

Цитата:

И выходит Вы запутываете людей, не договаривая важных моментов, и ещё хорошо если не намеренно.

Так выходит тогда, когда не знают, что такое сходимость "почти наверное". Читайте теорию вероятностей.

[Dmitriy40]

vicvolf
ОК, почитал, про вероятность был не прав, признаю.
А вот про пользу так и не понял. Ну выполняется оно "почти всюду", ну и что ... Числа составные тоже почти всюду, ничем это не помогает простые искать.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1516871 писал(а):

А вот про пользу так и не понял. Ну выполняется оно "почти всюду", ну и что ...

А Вы почитайте Усиленный закон больших чисел в теории вероятностей.

[Dmitriy40]

Помнится с кем-то тут на форуме математики уже ругались что простые числа не являются случайными величинами и к ним применять терминологию и методы теории вероятности не (всегда) корректно. А в законе больших чисел случайность и независимость важна. Так что для меня польза всё равно под большим сомнением. Но дальше спорить я не буду, просто верить буду только тому что могу подтвердить или опровергнуть (скажем вычислительно) и только в проверенных рамках, а не любым утверждениям.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1516881 писал(а):

Помнится с кем-то тут на форуме математики уже ругались что простые числа не являются случайными величинами и к ним применять терминологию и методы теории вероятности не (всегда) корректно.

Теорию вероятности можно применять не только к случайным объектам, но и к вполне детерминированным объектам сложной структуры, для которых использование других методов не привело к результатам. Данный раздел в теории чисел называется вероятностной теории чисел, который развивается в серьезных математических статьях и монографиях. С успехом вероятностные методы к простым числам применяли известные математики: Харди, Литтлвуд, Крамер, Туран, Эрдош, Кац, Кубилюс, Постников, Тао и многие другие.

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1516830 писал(а):

Yury_rsn
Берите числа отсюда или отсюда и считайте остатки.
Например для длинного списка интервалов 66 для 37# получаются следующие остатки (в порядке увеличения):

Используется синтаксис Text

mod 13#: [3473, 14153, 15811, 26491]
mod 17#: [176641, 224363, 286081, 333803]
mod 19#: [796591, 4260721, 5438903, 8903033]
mod 23#: [8903033, 44237663, 178855141, 214189771]
mod 29#: [401948011, 660375511, 1740505231, 2445118471, 2686017473, 2721352103, 3748341061, 3783675691, 4024574693, 4729187933, 5809317653, 6067745153]
mod 31#: [13341334471, 22095097163, 34088971381, 34793584621, 36096807211, 55541221531, 61975580131, 68721506993, 69426120233, 70506249953, 84507960001, 96385022873,  104175467191, 116052530063, 130054240111, 131134369831, 131838983071, 138584909933, 145019268533, 164463682853, 165766905443, 166471518683, 178465392901, 187219155593]

Расположения интервалов d=66 распадаются на четыре класса по шесть штук.
С учетом зеркальности расположения интервалов получаем, что имеется только два разных варианта "построения" этих интервалов. А все остальные модификации получаются за счет зеркальных отражений, и перестановок чисел 17, 19, 23 в вычеркиваниях.
Можно ли посчитать для бОльших праймориалов расположения интервалов d? - чтобы посмотреть, как там это выглядит.
Спасибо.

-- 05.05.2021, 15:49 --

vorvalm в сообщении #1516862 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1516818 писал(а):

20332471$\equiv$24686821$\equiv$36068191$\equiv$65767861$\equiv$ 97689751$\equiv$140722741 (mod 13#)
и
82370089$\equiv$125403079$\equiv$157324969$\equiv$187024639 $\equiv$198406009$\equiv$202760359 (mod 13#)
Т.е., в ПСВ для 23# все расположения расстояний длиной 40 (> 38=2 $\cdot$19) распадаются на два класса эквивалентности по модулю 13#.

То же самое происходит в ПСВ(19#) и в ПСВ(17#).
Это позволяет определить точные места расположения $d = 40$ в этих ПСВ.

В ПСВ(19#) и в ПСВ(17#) - это достаточно тривиально, если я правильно вас понял.
Ведь там максимальные интервалы Якобсталя не превышают максимумов по стыкам праймориалов. Для праймориалов, которые больше 29# - это более интересно
Или вы имели в виду что-то другое?
Уточните, плиз.

[Yury_rsn]

Цитата:

А все остальные модификации получаются за счет зеркальных отражений, и перестановок чисел 17, 19, 23 в вычеркиваниях.

Слегка перепутал. Тут ведь речь идет о 37#.
Поэтому участвуют в перестановках последние три числа этого праймориала - 29, 31, 37, а не 17, 19, 23.

[vorvalm]

Yury_rsn в сообщении #1516960 писал(а):

Или вы имели в виду что-то другое?
Уточните, плиз.

Разности $d=40$ из ПСВ(23#) существуют в ПСВ(19#) и в ПСВ(17#), но
в качестве кортежей из 3-х и 4-х вычетов соответственно.
Начальные вычеты эти кортежей также сравнимы по модулю 13#.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #1517028 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1516960 писал(а):

Или вы имели в виду что-то другое?
Уточните, плиз.

Разности $d=40$ из ПСВ(23#) существуют в ПСВ(19#) и в ПСВ(17#), но
в качестве кортежей из 3-х и 4-х вычетов соответственно.
Начальные вычеты эти кортежей также сравнимы по модулю 13#.

Данные начальные вычеты являются простыми числами, которые присутствуют во всех ПСВ, начиная с $17/#$.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #1517041 писал(а):

Данные начальные вычеты являются простыми числами, которые присутствуют во всех ПСВ, начиная с $17/#$.

И вы это можете доказать ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #1517072 писал(а):

И вы это можете доказать ?

Нет,наверное это не так.

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1513328 писал(а):

1 299 747 963 653 - взаимно простое с 37#, следующее взаимно простое с 37# - 1 299 747 963 719
Разность между этими двумя числами равна 66

Между ними составной вычет $1299747963691$ кратный $37$. Поэтому максимальное расстояние $66$ получается объединением двух интервалов из ПСВ$31\#$ - $38$ и $28$. В этом нет ничего особенного, так как максимальное расстояние в ПСВ$31\#$ - $58$ и объединяемые интервалы далеки от максимального расстояния.

В небольших ПСВ$p_r\#$ максимальное расстояние между вычетами $d(p_r\#)=2p_{r-1}$, образуется на стыках меньших ПСВ.

При увеличении $p_r$ увеличиваются расстояния между вычетами ПСВ$p_r\#$. Поэтому возрастает вероятность, что между достаточно большими расстояниями находится составной вычет кратный $p_r$ и при удалении данного составного вычета получается максимальное расстояние между вычетами $d(p_r\#)>2p_{r-1}$, как в примере выше.

Как было показано в родственной теме, это максимальное расстояние уже растет нелинейно и соотношение $d(p_r\#)/p_r$ является медленно растущей функцией $\varphi(p_r)< {p_r}^{\epsilon}$, где $\epsilon >0$.