2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение07.07.2014, 12:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
SergeyGubanov в сообщении #884881 писал(а):
Таким сильным, что до релятивистских скоростей чёрную дыру разгоняет.

Ну так этого можно и пренебрежимо малым ускорением достичь.

ratay в сообщении #884885 писал(а):
Ну, поскольку я не специалист в области точных расчетов

Я сомневаюсь, что вы вообще с ОТО знакомы. Так что ваше участие в этой теме неуместно. Обсуждайте лучше искры от стали на точильном круге.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение07.07.2014, 13:04 
Аватара пользователя


14/11/12
1379
Россия, Нижний Новгород
Munin в сообщении #884897 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #884881 писал(а):
Таким сильным, что до релятивистских скоростей чёрную дыру разгоняет.

Ну так этого можно и пренебрежимо малым ускорением достичь.
А, точно. Надо уточнить условие. Луч светит несколько секунд, потом выключается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение07.07.2014, 13:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Тогда в луче будет столько энергии, что впору рассчитывать его самогравитацию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение07.07.2014, 16:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18035
Москва
SergeyGubanov в сообщении #884871 писал(а):
В вакууме, значит, находится сферически симметричная дыра, очень чёрная. Из бесконечности в её сердцевину начали светить тонким лазерным лучом очень короткой длины волны.
Р. Толмен. Относительность, термодинамика и космология. "Наука", Москва, 1974.

Судя по написанному в § 113, бесконечный луч создаёт бесконечное гравитационное поле — в том смысле, что интегралы, определяющие решение, расходятся. Правда, там рассматривается приближение слабого поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение07.07.2014, 18:00 
Аватара пользователя


14/11/12
1379
Россия, Нижний Новгород
Уговорили. Мощный самогравитирующий лазерный луч сам по себе проблема. Задача двух чёрных дыр в этом смысле попроще (хотя бы можно будет забыть про уравнения Максвелла).

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение09.07.2014, 09:38 
Заслуженный участник


02/08/11
7127
Никогда не мог понять, что значит "аналитически". $g_{\mu\nu}=\text{Решение задачи двух чёрных дыр}^{\sigma}_{\mu\nu}(x_{\sigma})$ - это разве не аналитическое решение? Да, мы не знаем свойств этой функции. Ну это же другое дело. Можно для начала посмотреть численно, посмотреть возможные аппроксимации, асимптотику, затем попробовать вывести какие-то точные нетривиальные соотношения.

-- 09.07.2014, 10:45 --

Ну и вообще, мне кажется в любом случае до того как начать решать аналитически, надо решить хоть-как нибудь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение09.07.2014, 11:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
warlock66613
Хокинг, Эллис, 9 глава.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение10.07.2014, 06:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/07
1352
Москва
Цитата:
Предлагаю для разнообразия заняться созидательной деятельностью. Начнём решать какую-то нерешаемую задачу, не решим и бросим...

Начинать надо с одномерных решений. В наших нестационарных гравитационных задачах расстояния настолько велики, что горизонты в первые очень малые времена соприкосновения будут взаимодействовать как плоские фронты. Это очень интересно, какая особенность будет превалирующей. В газовой динамике известным аналитическим решением является задача о распаде разрыва.

(Оффтоп)

Цитата:
...Аналитически, конечно, аналитически...

Наши предшественники прошлых двух веков к нашему всеобщему дискомфорту использовали "наивный эфир", хотя и получили яркие по тем временам результаты. Вы я знаю из Ваших сообщений прекрасно владеете пакетом Ansys Fluent. Может у Вас уже есть какое-то численное решение - аналогия, хотя бы подтверждающая те решения, но возможно и развивающая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение10.07.2014, 13:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Zai в сообщении #886066 писал(а):
В наших нестационарных гравитационных задачах расстояния настолько велики, что горизонты в первые очень малые времена соприкосновения будут взаимодействовать как плоские фронты. Это очень интересно, какая особенность будет превалирующей. В газовой динамике известным аналитическим решением является задача о распаде разрыва.

Какое отношение горизонты имеют к особенностям и разрывам? :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение10.07.2014, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12989
Закончил в первом приближении обещанный "тетрадный опус". Доберусь до компа и начну излагать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение10.07.2014, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12989
1. Поверхность в объемлющем пространстве. Замена координат. Касательный вектор.

Рассмотрим (псевдо)евклидово пространство $\mathbb{E}^N$ и некоторую параметрически заданную поверхность$${\mathbf{r}} = {\mathbf{r}}\left( x \right) \in \mathbb{E}^N, \eqno (1)$$где $x \in \mathbb{R}^n$ - параметры, обычно называемые координатами.

Пусть в каждой рассматриваемой точке $x$ линейно независимы $n$ следующих векторов$${\mathbf{r}}_{,\mu }  \equiv \frac{{\partial {\mathbf{r}}}}{{\partial x^\mu  }}, \qquad \mu  = 1,2 \dots n, \eqno (2)$$что эквивалентно невырожденности матрицы$$g_{\mu \nu }  \equiv {\mathbf{r}}_{,\mu }  \circ {\mathbf{r}}_{,\nu } , \eqno (3)$$где $ \circ $ - скалярное произведение в $\mathbb{E}^N$.

Совершим обратимую замену координат$$x' = x'\left( x \right). \eqno (4)$$Как известно, дифференциал $d{\mathbf{r}}$ инвариантен относительно $(4)$:$$d{\mathbf{r}} = {\mathbf{r}}_{,\mu }  \cdot dx^\mu   = {\mathbf{r}}_{,\mu '}  \cdot dx^{\mu '}, \eqno (5)$$что даёт следующие законы преобразования $$dx^{\mu '}  = x_{,\mu }^{\mu '}  \cdot dx^\mu ,  \eqno (6) $$ $${\mathbf{r}}_{,\mu }  = x_{,\mu }^{\mu '}  \cdot {\mathbf{r}}_{,\mu '}. \eqno (7)$$

Скалярный квадрат $(5)$ $$ds^2  \equiv d{\mathbf{r}} \circ d{\mathbf{r}} = g_{\mu \nu }  \cdot dx^\mu   \cdot dx^\nu  \eqno (8)$$ определяет метрику на поверхности $(1)$.

Глядя на $(5)$ можно сконструировать объект, неподвижный в $\mathbb{E}^N$ при заменах $(4)$ $${\mathbf{a}} \equiv {\mathbf{r}}_{,\mu }  \cdot a^\mu  \eqno (9)$$ зафиксировав $x$, заменив $dx$ произвольными величинами $a$ и требуя аналогичного $(6)$ закона преобразования для координат вектора $\mathbf{a}$ $$a^{\mu '}  = x_{,\mu }^{\mu '}  \cdot a^\mu .
\eqno (10)$$Когда координаты $a$ принимают все возможные значения, $(9)$ заметает касательную плоскость к поверхности $(1)$ в точке $x$.

2. Неподвижный базис. Тетрада.

Из $(7)$ видно, что $n$ векторов $(2)$ вращаются в $\mathbb{E}^N$ при заменах координат $(4)$. Введём вместо них $n$ неподвижных векторов $${}_\alpha {\mathbf{e}} \equiv {}_\alpha g^\mu   \cdot {\mathbf{r}}_{,\mu }. \eqno (11)$$ Тогда при замене координат коэффициенты разложения в $(11)$ преобразуются по закону $${}_\alpha g^{\mu '}  = x_{,\mu }^{\mu '}  \cdot {}_\alpha g^\mu .  \eqno (12)$$ Мы намереваемся использовать $(11)$ в качестве нового базиса, поэтому потребуем обратимости $${\mathbf{r}}_{,\mu }  \equiv {}^\alpha g_\mu   \cdot {}_\alpha {\mathbf{e}}, \eqno (13)$$ откуда $\left\| {{}^\alpha g_\mu  } \right\| = \left\| {{}_\alpha g^\mu  } \right\|^{ - 1} $. При $n=4$ эти матрицы называются тетрадами.

Подставив $(13)$ в $(9)$, получим $${\mathbf{a}} = {}_\alpha {\mathbf{e}} \cdot {}^\alpha a , \eqno (14) $$ где величины $${}^\alpha a \equiv {}^\alpha g_\mu   \cdot a^\mu  \eqno (15)$$ при $n=4$ называются тетрадными компонентами вектора ${\mathbf{a}}$.

Очевидно, $(15)$ обратимо: $a^\mu   = {}_\alpha g^\mu   \cdot {}^\alpha a$.

3. Левая метрика. Калибровочные преобразования.

Составим скалярное произведение $${}_{\alpha \beta }g \equiv {}_\alpha {\mathbf{e}} \circ {}_\beta {\mathbf{e}}. \eqno (16)$$ Из $(11)$ и $(3)$ имеем $${}_{\alpha \beta }g = {}_\alpha g^\mu   \cdot {}_\beta g^\nu   \cdot g_{\mu \nu } . \eqno (17)$$ Из $(16)$ и $(13)$ следует обратное соотношение $$g_{\mu \nu }  = {}^\alpha g_\mu   \cdot {}^\beta g_\nu   \cdot {}_{\alpha \beta }g. \eqno (18)$$ Формулой $(18)$ обычно начинают разговор о тетрадах. Ну, типа, представим метрику в виде...

Базис $(11)$ хорош своей неподвижностью относительно преобразования $(4)$, но он вообще-то не один такой. Перейдём к другому, не менее неподвижному базису $${}_{\tilde \alpha }{\mathbf{e}} = {}_\alpha {\mathbf{e}} \cdot {}_{\tilde \alpha }^\alpha  M, \eqno (19)$$ где неособая матрица $M$ есть функция точки поверхности. Обозначим обратную матрицу $W$, так что $${}_\alpha {\mathbf{e}} = {}_{\tilde \alpha }{\mathbf{e}} \cdot {}_\alpha ^{\tilde \alpha } W. \eqno (20)$$ Левая метрика $(16)$ преобразуется следующим образом $${}_{\tilde \alpha \tilde \beta }g = {}_{\alpha \beta }g \cdot {}_{\tilde \alpha }^\alpha  M \cdot {}_{\tilde \beta }^\beta  M. \eqno (21)$$ Отметим, что преобразование левой метрики вида $(21)$ можно проводить в каждой точке независимо. Этим можно воспользоваться для приведения ${}_{\alpha \beta }g$ на всей поверхности к простейшему виду $${}_{\alpha \beta }g = \operatorname{diag} \left( { \pm , \pm , \dots \pm } \right). \eqno (22)$$ В дальнейшем мы почти всегда будем пользоваться этой возможностью.

После глобального приведения левой метрики к виду $(22)$ мы ещё можем вращать базис, только должны следить за тем, чтобы не разрушить достигнутого. Такие "остаточные" преобразования, сохраняющие простейший вид левой метрики, т.е. $${}_{\tilde \alpha \tilde \beta }g = {}_{\alpha \beta }g \cdot {}_{\tilde \alpha }^\alpha  M \cdot {}_{\tilde \beta }^\beta  M = {}_{\alpha \beta }g, \eqno (23)$$ будем называть калибровочными преобразованиями. Происхождение названия станет более понятным когда мы перейдём к спиновым связностям.

4. Деривационная формула поверхности. Тензоры. Ковариантное дифференцирование тензоров.

$\ldots$

5. Кривизна в мировых и тетрадных компонентах.

$\ldots$

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение10.07.2014, 22:59 
Заслуженный участник


02/08/11
7127
Позвольте попробовать переформулировать вышесказанное, зайдя с другой стороны.

Пусть есть некоторое $4$-мерное многообразие и некоторый выделенный векторный базис ${}_\alpha {\mathbf{e}}$.
Коэффициенты разложения ${}^\alpha a$ произвольного вектора $\mathbf{a}$ по выделенному базису ${}_\alpha {\mathbf{e}}$ называются тетрадными компонентами вектора ${\mathbf{a}}$.
Взаимообратные матрицы
$\left\|{}_\alpha g^\mu\right\|$ из координат базисных векторов в некоторой системе координат $x^\mu$
и
$\left\|{}^\alpha g_\mu\right\|$ из тетрадных компонент векторов $x_{,\mu}$
называются тетрадами.

Всегда можно найти такой базис, что метрический тензор будет иметь канонический вид в тетрадных компонентах. Остаточные преобразования, не изменяющие тетрадные компоненты метрического тензора, будем называть калибровочными преобразованиями.

Вроде всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение10.07.2014, 23:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Начало интересное.

-- 11.07.2014 00:20:59 --

На ${}_\alpha\mathbf{e}$ никаких ортонормированностей не накладывается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение11.07.2014, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12989
warlock66613
Вы как-то слишком много потеряли по дороге.
Munin в сообщении #886408 писал(а):
На ${}_\alpha\mathbf{e}$ никаких ортонормированностей не накладывается?

Как правило накладывается, для удобства. И к ограничению общности это не приводит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение11.07.2014, 00:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Утундрий в сообщении #886426 писал(а):
Вы как-то слишком много потеряли по дороге.

Ну а чего существенного?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 88 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group