Порешаем, что скажете? (ОТО)

[warlock66613]

Утундрий в сообщении #886426 писал(а):

Вы как-то слишком много потеряли по дороге.

Если вы про первый параграф, то он упаковался в ёмкое слово "многообразие" $\text{:-)}$

-- 11.07.2014, 01:49 --

(Оффтоп)

Некоторая чрезмерная краткость моего сообщения объясняется намеренным нежеланием придавать ему самостоятельность, возможность полноценно существовать без поддержки со стороны исходника, чтобы подчекнуть, что он не является и не может являться полнофункциональной заменой оному.

[Oleg Zubelevich]

не вдаваясь в подробности:

Утундрий в сообщении #886366 писал(а):

Пусть в каждой рассматриваемой точке $x$ линейно независимы $n$ следующих векторов

$${\mathbf{r}}_{,\mu } \equiv \frac{{\partial {\mathbf{r}}}}{{\partial x^\mu }}, \qquad \mu = 1,2 \dots n, \eqno (2)$$

которые следует назвать базисными векторами на многообразии $M$ (многообразие $M$ задано параметрически в начале текста) они касаются соответственно координатных линий $x^\mu:\quad e_\mu=\frac{{\partial {\mathbf{r}}}}{{\partial x^\mu }}$ и здесь же определить касательную плоскость $T_xM$

Утундрий в сообщении #886366 писал(а):

где $ \circ $ - скалярное произведение в $\mathbb{E}^N$.

которое совершенно не нужно в данном контексте

Утундрий в сообщении #886366 писал(а):

Совершим обратимую замену координат

$$x' = x'\left( x \right). \eqno (4)$$

и сразу по правилу дифференцирования композиции функций, получим закон прехода от одного базиса к другому в каждом касательном пространстве $T_xM$ :

$$e_{i'}=\frac{\partial x^i}{\partial x^{i'}}e_i\qquad (*)$$

Утундрий в сообщении #886366 писал(а):

Как известно, дифференциал $d{\mathbf{r}}$ инвариантен относительно $(4)$:

это фраза ни-о-чем

$dx^i$ по определению, это элементы дуального базиса в прострнстве $(T_xM)^*:\quad dx^i(e_j)=\delta_j^i$, из этого определения и формулы (*) сразу следует формула

Утундрий в сообщении #886366 писал(а):

$$dx^{\mu '} = x_{,\mu }^{\mu '} \cdot dx^\mu , \eqno (6) $$

ну и так далее

[Утундрий]

Munin в сообщении #886430 писал(а):

Ну а чего существенного?

Ну, у меня полужирным выделены векторы объемлющего пространства, а у него что?

warlock66613 в сообщении #886435 писал(а):

он упаковался в ёмкое слово "многообразие"

Да, такой обширный посыл в дальние глубины. Привлекателен тем, что не требует от посылающего никаких усилий.

Oleg Zubelevich в сообщении #886438 писал(а):

это фраза ни-о-чем

Это фраза о теореме об инвариантности формы первого дифференциала.

Oleg Zubelevich в сообщении #886438 писал(а):

ну и так далее

И тому подобное.

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #886455 писал(а):

Это фраза о теореме об инвариантности формы первого дифференциала.

если исходить из того, что понятие первого дифференциала и его свойства уже известны, то Ваше сообщение теряет смысл

-- Пт июл 11, 2014 12:30:44 --

Утундрий в сообщении #886366 писал(а):

Глядя на $(5)$ можно сконструировать объект, неподвижный в $\mathbb{E}^N$ при заменах $(4)$

$${\mathbf{a}} \equiv {\mathbf{r}}_{,\mu } \cdot a^\mu \eqno (9)$$

зафиксировав $x$, заменив $dx$ произвольными величинами $a$ и требуя аналогичного $(6)$ закона преобразования для координат вектора $\mathbf{a}$

$$a^{\mu '} = x_{,\mu }^{\mu '} \cdot a^\mu . \eqno (10)$$

То были какие-то загадочные "объекты", на которые надо почему-то заменять $dx^i$, потом раз и появился вектор. It's a kind of magic(c)?

[Munin]

Утундрий в сообщении #886455 писал(а):

Ну, у меня полужирным выделены векторы объемлющего пространства, а у него что?

Oleg Zubelevich заметил, что можно и без них обойтись.

Oleg Zubelevich в сообщении #886519 писал(а):

То были какие-то загадочные "объекты"

Не были они загадочными. Они были написаны полужирным, значит, подразумевался вектор. Не придирайтесь к словам уж.

[Утундрий]

Если заранее считать, что всё известно (а в данной ситуации таки всё известно) то любые сообщения теряют смысл. Равно же, при большом желании, можно обойтись без чего угодно, но не без всего сразу. Если я начну сейчас обходиться без объемлющего пространства, то полетит к чертям вся наглядность, а уравнения останутся теми же самыми.

[Oleg Zubelevich]

а я как раз за объемлющее пространство двумя руками

[Munin]

Утундрий в сообщении #886542 писал(а):

Если заранее считать, что всё известно (а в данной ситуации таки всё известно) то любые сообщения теряют смысл.

Мне, например, не было известно, что такое тетрады.

Мне и сейчас это неизвестно. То, что изложено, выглядит пока как просто некий априорно заданный базис. Непонятно даже, зачем вводить отдельный термин. Я жду, когда появится что-то ещё, какая-то "изюминка".

Утундрий в сообщении #886542 писал(а):

Если я начну сейчас обходиться без объемлющего пространства, то полетит к чертям вся наглядность

Ну не знаю. Мне вполне достаточно той наглядности, что можно иметь, воображая объемлющее пространство "в уме", но не отображая его в формулах.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #886550 писал(а):

То, что изложено, выглядит пока как просто некий априорно заданный базис

это не так
Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия. "Тетрадный формализм"

[Munin]

Oleg Zubelevich
Может, вы тогда и изложите? Только желательно попроще, а то вы любите взвиться в облака.

[Oleg Zubelevich]

Пусть у нас имеется риманово (случай индефинитных метрик см в цитированной книжке) многообразие $M$ с локальными координатами $x$ и метрикой $g_{ij}$. В кажом касательном пространстве $T_xM$ можно ваыбрать базис $u_1,\ldots u_m$ в котором $g_{ij}=\delta_{ij}$. Более того, этот базис можно cделать гладко зависящим от точки: $u_i=u_i(x)$.
Векторные поля $u_i$ , вообще говоря, не коммутируют:

$$[u_i,u_j]=c_{ij}^ku_k,\quad c_{ij}=c_{ij}(x)$$

поэтому , вообще говоря, интегральные кривые этих векторных полей не образуют локальной системы координат на $M$ (в неголономной механике этот объект называется квазикоординатми) и , соответственно, сами эти поля не являются базисными полями на многообразии $M$.

Тем не менее, можно определить связность $\Gamma_{jk}^i$ по формулам $\nabla_ku_j=\Gamma_{jk}^iu_i$, ковариантная производная в левой части понимается в смысле метрики $g_{ij}$.

Теорема [Дубровин Новиков Фоменко]
1) $\Gamma^k_{ji}-\Gamma^k_{ij}=c_{ij}^k$
2) $\Gamma^i_{jk}=\frac{1}{2}(c_{kj}^i+c_{ik}^j+c_{ij}^k)$

[Munin]

В таком виде мне это, конечно, встречалось. Не знаю правда, что из этого называется тетрадами, и зачем вообще это как-то специально называть. В Иваненко, Сарданашвили "Гравитация" это называется системами отсчёта (локальными). Я так понимаю, нормально это называется просто базисом в касательном расслоении (локальным, неголономным). Ещё встречал слово "репер".

Спасибо.

[Oleg Zubelevich]

вместо

Oleg Zubelevich в сообщении #886575 писал(а):

улам $\nabla_ku_j=\Gamma_{jk}^iu_i$

должно быть $\nabla_{u_k}u_j=\Gamma_{jk}^iu_i$
pardon

[Утундрий]

Oleg Zubelevich
Это проще чем у меня?

Munin
Вам близка идея поступательного развития темы? Без таких вот кавалерийских наскоков и обстрелов шрапнелью из разрозненных идей и фактов. Выбран конкретный математический объект - поверхность в (псевдо)евклидовом пространстве. В процессе изучения сего объекта мы пройдёмся по всем относящимся к "тетрадным делам" фактам, причём последние будут возникать сами, без всяких "оказывается, можно ввести..." да "запишем метрику в виде..."

Сегодня я продолжать не буду. Устал.

[warlock66613]

Лично я совершенно не против объемлющего пространства. Наоборот, я с удовольствием прочитал изложение частично знакомых мне вещей в таком ключе, и жду продолжения.