2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение11.07.2014, 00:33 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Утундрий в сообщении #886426 писал(а):
Вы как-то слишком много потеряли по дороге.
Если вы про первый параграф, то он упаковался в ёмкое слово "многообразие" $\text{:-)}$

-- 11.07.2014, 01:49 --

(Оффтоп)

Некоторая чрезмерная краткость моего сообщения объясняется намеренным нежеланием придавать ему самостоятельность, возможность полноценно существовать без поддержки со стороны исходника, чтобы подчекнуть, что он не является и не может являться полнофункциональной заменой оному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение11.07.2014, 00:50 


10/02/11
6786
не вдаваясь в подробности:
Утундрий в сообщении #886366 писал(а):
Пусть в каждой рассматриваемой точке $x$ линейно независимы $n$ следующих векторов$${\mathbf{r}}_{,\mu }  \equiv \frac{{\partial {\mathbf{r}}}}{{\partial x^\mu  }}, \qquad \mu  = 1,2 \dots n, \eqno (2)$$

которые следует назвать базисными векторами на многообразии $M$ (многообразие $M$ задано параметрически в начале текста) они касаются соответственно координатных линий $x^\mu:\quad e_\mu=\frac{{\partial {\mathbf{r}}}}{{\partial x^\mu  }}$ и здесь же определить касательную плоскость $T_xM$
Утундрий в сообщении #886366 писал(а):
где $ \circ $ - скалярное произведение в $\mathbb{E}^N$.

которое совершенно не нужно в данном контексте
Утундрий в сообщении #886366 писал(а):
Совершим обратимую замену координат$$x' = x'\left( x \right). \eqno (4)$$

и сразу по правилу дифференцирования композиции функций, получим закон прехода от одного базиса к другому в каждом касательном пространстве $T_xM$ :
$$e_{i'}=\frac{\partial x^i}{\partial x^{i'}}e_i\qquad (*)$$
Утундрий в сообщении #886366 писал(а):
Как известно, дифференциал $d{\mathbf{r}}$ инвариантен относительно $(4)$:

это фраза ни-о-чем

$dx^i$ по определению, это элементы дуального базиса в прострнстве $(T_xM)^*:\quad dx^i(e_j)=\delta_j^i$, из этого определения и формулы (*) сразу следует формула
Утундрий в сообщении #886366 писал(а):
$$dx^{\mu '}  = x_{,\mu }^{\mu '}  \cdot dx^\mu ,  \eqno (6) $$

ну и так далее

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение11.07.2014, 02:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Munin в сообщении #886430 писал(а):
Ну а чего существенного?

Ну, у меня полужирным выделены векторы объемлющего пространства, а у него что?
warlock66613 в сообщении #886435 писал(а):
он упаковался в ёмкое слово "многообразие"

Да, такой обширный посыл в дальние глубины. Привлекателен тем, что не требует от посылающего никаких усилий.
Oleg Zubelevich в сообщении #886438 писал(а):
это фраза ни-о-чем

Это фраза о теореме об инвариантности формы первого дифференциала.
Oleg Zubelevich в сообщении #886438 писал(а):
ну и так далее

И тому подобное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение11.07.2014, 12:13 


10/02/11
6786
Утундрий в сообщении #886455 писал(а):
Это фраза о теореме об инвариантности формы первого дифференциала.

если исходить из того, что понятие первого дифференциала и его свойства уже известны, то Ваше сообщение теряет смысл

-- Пт июл 11, 2014 12:30:44 --

Утундрий в сообщении #886366 писал(а):
Глядя на $(5)$ можно сконструировать объект, неподвижный в $\mathbb{E}^N$ при заменах $(4)$ $${\mathbf{a}} \equiv {\mathbf{r}}_{,\mu }  \cdot a^\mu  \eqno (9)$$ зафиксировав $x$, заменив $dx$ произвольными величинами $a$ и требуя аналогичного $(6)$ закона преобразования для координат вектора $\mathbf{a}$ $$a^{\mu '}  = x_{,\mu }^{\mu '}  \cdot a^\mu .
\eqno (10)$$

То были какие-то загадочные "объекты", на которые надо почему-то заменять $dx^i$, потом раз и появился вектор. It's a kind of magic(c)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение11.07.2014, 13:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Утундрий в сообщении #886455 писал(а):
Ну, у меня полужирным выделены векторы объемлющего пространства, а у него что?

Oleg Zubelevich заметил, что можно и без них обойтись.

Oleg Zubelevich в сообщении #886519 писал(а):
То были какие-то загадочные "объекты"

Не были они загадочными. Они были написаны полужирным, значит, подразумевался вектор. Не придирайтесь к словам уж.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение11.07.2014, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Если заранее считать, что всё известно (а в данной ситуации таки всё известно) то любые сообщения теряют смысл. Равно же, при большом желании, можно обойтись без чего угодно, но не без всего сразу. Если я начну сейчас обходиться без объемлющего пространства, то полетит к чертям вся наглядность, а уравнения останутся теми же самыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение11.07.2014, 14:39 


10/02/11
6786
а я как раз за объемлющее пространство двумя руками

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение11.07.2014, 15:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Утундрий в сообщении #886542 писал(а):
Если заранее считать, что всё известно (а в данной ситуации таки всё известно) то любые сообщения теряют смысл.

Мне, например, не было известно, что такое тетрады.

Мне и сейчас это неизвестно. То, что изложено, выглядит пока как просто некий априорно заданный базис. Непонятно даже, зачем вводить отдельный термин. Я жду, когда появится что-то ещё, какая-то "изюминка".

Утундрий в сообщении #886542 писал(а):
Если я начну сейчас обходиться без объемлющего пространства, то полетит к чертям вся наглядность

Ну не знаю. Мне вполне достаточно той наглядности, что можно иметь, воображая объемлющее пространство "в уме", но не отображая его в формулах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение11.07.2014, 15:33 


10/02/11
6786
Munin в сообщении #886550 писал(а):
То, что изложено, выглядит пока как просто некий априорно заданный базис

это не так
Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия. "Тетрадный формализм"

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение11.07.2014, 15:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Oleg Zubelevich
Может, вы тогда и изложите? Только желательно попроще, а то вы любите взвиться в облака.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение11.07.2014, 16:37 


10/02/11
6786
Пусть у нас имеется риманово (случай индефинитных метрик см в цитированной книжке) многообразие $M$ с локальными координатами $x$ и метрикой $g_{ij}$. В кажом касательном пространстве $T_xM$ можно ваыбрать базис $u_1,\ldots u_m$ в котором $g_{ij}=\delta_{ij}$. Более того, этот базис можно cделать гладко зависящим от точки: $u_i=u_i(x)$.
Векторные поля $u_i$ , вообще говоря, не коммутируют:
$$[u_i,u_j]=c_{ij}^ku_k,\quad c_{ij}=c_{ij}(x)$$
поэтому , вообще говоря, интегральные кривые этих векторных полей не образуют локальной системы координат на $M$ (в неголономной механике этот объект называется квазикоординатми) и , соответственно, сами эти поля не являются базисными полями на многообразии $M$.

Тем не менее, можно определить связность $\Gamma_{jk}^i$ по формулам $\nabla_ku_j=\Gamma_{jk}^iu_i$, ковариантная производная в левой части понимается в смысле метрики $g_{ij}$.

Теорема [Дубровин Новиков Фоменко]
1) $\Gamma^k_{ji}-\Gamma^k_{ij}=c_{ij}^k$
2) $\Gamma^i_{jk}=\frac{1}{2}(c_{kj}^i+c_{ik}^j+c_{ij}^k)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение11.07.2014, 18:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В таком виде мне это, конечно, встречалось. Не знаю правда, что из этого называется тетрадами, и зачем вообще это как-то специально называть. В Иваненко, Сарданашвили "Гравитация" это называется системами отсчёта (локальными). Я так понимаю, нормально это называется просто базисом в касательном расслоении (локальным, неголономным). Ещё встречал слово "репер".

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение11.07.2014, 18:11 


10/02/11
6786
вместо
Oleg Zubelevich в сообщении #886575 писал(а):
улам $\nabla_ku_j=\Gamma_{jk}^iu_i$

должно быть $\nabla_{u_k}u_j=\Gamma_{jk}^iu_i$
pardon

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение11.07.2014, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Oleg Zubelevich
Это проще чем у меня? :mrgreen:

Munin
Вам близка идея поступательного развития темы? Без таких вот кавалерийских наскоков и обстрелов шрапнелью из разрозненных идей и фактов. Выбран конкретный математический объект - поверхность в (псевдо)евклидовом пространстве. В процессе изучения сего объекта мы пройдёмся по всем относящимся к "тетрадным делам" фактам, причём последние будут возникать сами, без всяких "оказывается, можно ввести..." да "запишем метрику в виде..."

Сегодня я продолжать не буду. Устал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порешаем, что скажете? (ОТО)
Сообщение11.07.2014, 20:50 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Лично я совершенно не против объемлющего пространства. Наоборот, я с удовольствием прочитал изложение частично знакомых мне вещей в таком ключе, и жду продолжения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 88 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group