Порешаем, что скажете? (ОТО)

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #884881 писал(а):

Таким сильным, что до релятивистских скоростей чёрную дыру разгоняет.

Ну так этого можно и пренебрежимо малым ускорением достичь.

ratay в сообщении #884885 писал(а):

Ну, поскольку я не специалист в области точных расчетов

Я сомневаюсь, что вы вообще с ОТО знакомы. Так что ваше участие в этой теме неуместно. Обсуждайте лучше искры от стали на точильном круге.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #884897 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #884881 писал(а):

Таким сильным, что до релятивистских скоростей чёрную дыру разгоняет.

Ну так этого можно и пренебрежимо малым ускорением достичь.

А, точно. Надо уточнить условие. Луч светит несколько секунд, потом выключается.

[Munin]

Тогда в луче будет столько энергии, что впору рассчитывать его самогравитацию.

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #884871 писал(а):

В вакууме, значит, находится сферически симметричная дыра, очень чёрная. Из бесконечности в её сердцевину начали светить тонким лазерным лучом очень короткой длины волны.

Р. Толмен. Относительность, термодинамика и космология. "Наука", Москва, 1974.

Судя по написанному в § 113, бесконечный луч создаёт бесконечное гравитационное поле — в том смысле, что интегралы, определяющие решение, расходятся. Правда, там рассматривается приближение слабого поля.

[SergeyGubanov]

Уговорили. Мощный самогравитирующий лазерный луч сам по себе проблема. Задача двух чёрных дыр в этом смысле попроще (хотя бы можно будет забыть про уравнения Максвелла).

[warlock66613]

Никогда не мог понять, что значит "аналитически". $g_{\mu\nu}=\text{Решение задачи двух чёрных дыр}^{\sigma}_{\mu\nu}(x_{\sigma})$ - это разве не аналитическое решение? Да, мы не знаем свойств этой функции. Ну это же другое дело. Можно для начала посмотреть численно, посмотреть возможные аппроксимации, асимптотику, затем попробовать вывести какие-то точные нетривиальные соотношения.

-- 09.07.2014, 10:45 --

Ну и вообще, мне кажется в любом случае до того как начать решать аналитически, надо решить хоть-как нибудь.

[Munin]

warlock66613
Хокинг, Эллис, 9 глава.

[Zai]

Цитата:

Предлагаю для разнообразия заняться созидательной деятельностью. Начнём решать какую-то нерешаемую задачу, не решим и бросим...

Начинать надо с одномерных решений. В наших нестационарных гравитационных задачах расстояния настолько велики, что горизонты в первые очень малые времена соприкосновения будут взаимодействовать как плоские фронты. Это очень интересно, какая особенность будет превалирующей. В газовой динамике известным аналитическим решением является задача о распаде разрыва.

(Оффтоп)

Цитата:

...Аналитически, конечно, аналитически...

Наши предшественники прошлых двух веков к нашему всеобщему дискомфорту использовали "наивный эфир", хотя и получили яркие по тем временам результаты. Вы я знаю из Ваших сообщений прекрасно владеете пакетом Ansys Fluent. Может у Вас уже есть какое-то численное решение - аналогия, хотя бы подтверждающая те решения, но возможно и развивающая.

[Munin]

(Оффтоп)

Zai в сообщении #886066 писал(а):

В наших нестационарных гравитационных задачах расстояния настолько велики, что горизонты в первые очень малые времена соприкосновения будут взаимодействовать как плоские фронты. Это очень интересно, какая особенность будет превалирующей. В газовой динамике известным аналитическим решением является задача о распаде разрыва.

Какое отношение горизонты имеют к особенностям и разрывам?

[Утундрий]

Закончил в первом приближении обещанный "тетрадный опус". Доберусь до компа и начну излагать.

[Утундрий]

1. Поверхность в объемлющем пространстве. Замена координат. Касательный вектор.

Рассмотрим (псевдо)евклидово пространство $\mathbb{E}^N$ и некоторую параметрически заданную поверхность

$${\mathbf{r}} = {\mathbf{r}}\left( x \right) \in \mathbb{E}^N, \eqno (1)$$

где $x \in \mathbb{R}^n$ - параметры, обычно называемые координатами.

Пусть в каждой рассматриваемой точке $x$ линейно независимы $n$ следующих векторов

$${\mathbf{r}}_{,\mu } \equiv \frac{{\partial {\mathbf{r}}}}{{\partial x^\mu }}, \qquad \mu = 1,2 \dots n, \eqno (2)$$

что эквивалентно невырожденности матрицы

$$g_{\mu \nu } \equiv {\mathbf{r}}_{,\mu } \circ {\mathbf{r}}_{,\nu } , \eqno (3)$$

где $ \circ $ - скалярное произведение в $\mathbb{E}^N$.

Совершим обратимую замену координат

$$x' = x'\left( x \right). \eqno (4)$$

Как известно, дифференциал $d{\mathbf{r}}$ инвариантен относительно $(4)$:

$$d{\mathbf{r}} = {\mathbf{r}}_{,\mu } \cdot dx^\mu = {\mathbf{r}}_{,\mu '} \cdot dx^{\mu '}, \eqno (5)$$

что даёт следующие законы преобразования

$$dx^{\mu '} = x_{,\mu }^{\mu '} \cdot dx^\mu , \eqno (6) $$

$${\mathbf{r}}_{,\mu } = x_{,\mu }^{\mu '} \cdot {\mathbf{r}}_{,\mu '}. \eqno (7)$$

Скалярный квадрат $(5)$

$$ds^2 \equiv d{\mathbf{r}} \circ d{\mathbf{r}} = g_{\mu \nu } \cdot dx^\mu \cdot dx^\nu \eqno (8)$$

определяет метрику на поверхности $(1)$.

Глядя на $(5)$ можно сконструировать объект, неподвижный в $\mathbb{E}^N$ при заменах $(4)$

$${\mathbf{a}} \equiv {\mathbf{r}}_{,\mu } \cdot a^\mu \eqno (9)$$

зафиксировав $x$, заменив $dx$ произвольными величинами $a$ и требуя аналогичного $(6)$ закона преобразования для координат вектора $\mathbf{a}$

$$a^{\mu '} = x_{,\mu }^{\mu '} \cdot a^\mu . \eqno (10)$$

Когда координаты $a$ принимают все возможные значения, $(9)$ заметает касательную плоскость к поверхности $(1)$ в точке $x$.

2. Неподвижный базис. Тетрада.

Из $(7)$ видно, что $n$ векторов $(2)$ вращаются в $\mathbb{E}^N$ при заменах координат $(4)$. Введём вместо них $n$ неподвижных векторов

$${}_\alpha {\mathbf{e}} \equiv {}_\alpha g^\mu \cdot {\mathbf{r}}_{,\mu }. \eqno (11)$$

Тогда при замене координат коэффициенты разложения в $(11)$ преобразуются по закону

$${}_\alpha g^{\mu '} = x_{,\mu }^{\mu '} \cdot {}_\alpha g^\mu . \eqno (12)$$

Мы намереваемся использовать $(11)$ в качестве нового базиса, поэтому потребуем обратимости

$${\mathbf{r}}_{,\mu } \equiv {}^\alpha g_\mu \cdot {}_\alpha {\mathbf{e}}, \eqno (13)$$

откуда $\left\| {{}^\alpha g_\mu } \right\| = \left\| {{}_\alpha g^\mu } \right\|^{ - 1} $. При $n=4$ эти матрицы называются тетрадами.

Подставив $(13)$ в $(9)$, получим

$${\mathbf{a}} = {}_\alpha {\mathbf{e}} \cdot {}^\alpha a , \eqno (14) $$

где величины

$${}^\alpha a \equiv {}^\alpha g_\mu \cdot a^\mu \eqno (15)$$

при $n=4$ называются тетрадными компонентами вектора ${\mathbf{a}}$.

Очевидно, $(15)$ обратимо: $a^\mu = {}_\alpha g^\mu \cdot {}^\alpha a$.

3. Левая метрика. Калибровочные преобразования.

Составим скалярное произведение

$${}_{\alpha \beta }g \equiv {}_\alpha {\mathbf{e}} \circ {}_\beta {\mathbf{e}}. \eqno (16)$$

Из $(11)$ и $(3)$ имеем

$${}_{\alpha \beta }g = {}_\alpha g^\mu \cdot {}_\beta g^\nu \cdot g_{\mu \nu } . \eqno (17)$$

Из $(16)$ и $(13)$ следует обратное соотношение

$$g_{\mu \nu } = {}^\alpha g_\mu \cdot {}^\beta g_\nu \cdot {}_{\alpha \beta }g. \eqno (18)$$

Формулой $(18)$ обычно начинают разговор о тетрадах. Ну, типа, представим метрику в виде...

Базис $(11)$ хорош своей неподвижностью относительно преобразования $(4)$, но он вообще-то не один такой. Перейдём к другому, не менее неподвижному базису

$${}_{\tilde \alpha }{\mathbf{e}} = {}_\alpha {\mathbf{e}} \cdot {}_{\tilde \alpha }^\alpha M, \eqno (19)$$

где неособая матрица $M$ есть функция точки поверхности. Обозначим обратную матрицу $W$, так что

$${}_\alpha {\mathbf{e}} = {}_{\tilde \alpha }{\mathbf{e}} \cdot {}_\alpha ^{\tilde \alpha } W. \eqno (20)$$

Левая метрика $(16)$ преобразуется следующим образом

$${}_{\tilde \alpha \tilde \beta }g = {}_{\alpha \beta }g \cdot {}_{\tilde \alpha }^\alpha M \cdot {}_{\tilde \beta }^\beta M. \eqno (21)$$

Отметим, что преобразование левой метрики вида $(21)$ можно проводить в каждой точке независимо. Этим можно воспользоваться для приведения ${}_{\alpha \beta }g$ на всей поверхности к простейшему виду

$${}_{\alpha \beta }g = \operatorname{diag} \left( { \pm , \pm , \dots \pm } \right). \eqno (22)$$

В дальнейшем мы почти всегда будем пользоваться этой возможностью.

После глобального приведения левой метрики к виду $(22)$ мы ещё можем вращать базис, только должны следить за тем, чтобы не разрушить достигнутого. Такие "остаточные" преобразования, сохраняющие простейший вид левой метрики, т.е.

$${}_{\tilde \alpha \tilde \beta }g = {}_{\alpha \beta }g \cdot {}_{\tilde \alpha }^\alpha M \cdot {}_{\tilde \beta }^\beta M = {}_{\alpha \beta }g, \eqno (23)$$

будем называть калибровочными преобразованиями. Происхождение названия станет более понятным когда мы перейдём к спиновым связностям.

4. Деривационная формула поверхности. Тензоры. Ковариантное дифференцирование тензоров.

$\ldots$

5. Кривизна в мировых и тетрадных компонентах.

$\ldots$

[warlock66613]

Позвольте попробовать переформулировать вышесказанное, зайдя с другой стороны.

Пусть есть некоторое $4$-мерное многообразие и некоторый выделенный векторный базис ${}_\alpha {\mathbf{e}}$.
Коэффициенты разложения ${}^\alpha a$ произвольного вектора $\mathbf{a}$ по выделенному базису ${}_\alpha {\mathbf{e}}$ называются тетрадными компонентами вектора ${\mathbf{a}}$.
Взаимообратные матрицы
$\left\|{}_\alpha g^\mu\right\|$ из координат базисных векторов в некоторой системе координат $x^\mu$
и
$\left\|{}^\alpha g_\mu\right\|$ из тетрадных компонент векторов $x_{,\mu}$
называются тетрадами.

Всегда можно найти такой базис, что метрический тензор будет иметь канонический вид в тетрадных компонентах. Остаточные преобразования, не изменяющие тетрадные компоненты метрического тензора, будем называть калибровочными преобразованиями.

Вроде всё.

[Munin]

Начало интересное.

-- 11.07.2014 00:20:59 --

На ${}_\alpha\mathbf{e}$ никаких ортонормированностей не накладывается?

[Утундрий]

warlock66613
Вы как-то слишком много потеряли по дороге.

Munin в сообщении #886408 писал(а):

На ${}_\alpha\mathbf{e}$ никаких ортонормированностей не накладывается?

Как правило накладывается, для удобства. И к ограничению общности это не приводит.

[Munin]

Утундрий в сообщении #886426 писал(а):

Вы как-то слишком много потеряли по дороге.

Ну а чего существенного?