Теория поля

[Red_Herring]

Munin
Все правильно. В классической механике вагон и маленькая тележка разных вариаций принципа "наименьшего" (т.е. на деле стационарного) действия (Мортепюи, не помню. OZ наверняка помнит), но все они приводят в конце концов к эквивалентным уравнениям.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #884314 писал(а):

В классической механике вагон и маленькая тележка разных вариаций принципа "наименьшего" (т.е. на деле стационарного) действия (Мортепюи, не помню. OZ наверняка помнит), но все они приводят в конце концов к эквивалентным уравнениям.

Не-не-не, упаси нас Друма, речь не об этом.

Остановимся на стандартном принципе "наименьшего"-стационарного действия, носящем у педантов имя Гамильтона, хотя основанного на функции Лагранжа.

Рассмотрим конечномерный лагранжиан вида $L=\tfrac{1}{2}g_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j+A_i\dot{q}^i-V(q),$ где кинетическая часть фиксирована, а $V(q)$ зависит от условий. И попробуем понакладывать на него разные линейные связи. В таких терминах можете пересказать сюжет post884246.html#p884246 ?

[ivvan]

Munin в сообщении #884289 писал(а):

Вообще можно - и отрицательный, и вырожденный.

А почему ЛЛ выводят именно положительность?

[Red_Herring]

N

Munin в сообщении #884323 писал(а):

ассмотрим конечномерный лагранжиан вида $L=\tfrac{1}{2}g_{ij}\dot{q}^i\dot{q}^j+A_i\dot{q}^i-V(q),$ где кинетическая часть фиксирована, а $V(q)$ зависит от условий. И попробуем понакладывать на него разные линейные связи

Ну, самая какава потеряется, потому как условия типа $\partial_\nu A^\nu=0$ особо интересны при случае хотя бы 2 независимых переменных.

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #884304 писал(а):

Просто то $j$ которое первоначально в функционале, не ток а черт знает что (и даже физического смысла не вполне имеет ). А вот $J$ и будет током.

Вроде как убрав некую неоднозначность в $A$ мы ее по закону сохранения подлости перенесли в $j$

Я всеже склоняюсь к тому, что принцип калибровочной инвариантности --- наиболее фундаментальный принцип. А действие с несохраняющимся током не является калибровочно инвариантным.

Но всетаки это все как-то странно. Ощущение какого-то обмана Вроде того, как в 7-8 классах мы "доказывали", что 5=7 (за счет "заметенного под ковер" сокращения на ноль ).

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #884336 писал(а):

Ощущение какого-то обмана Вроде того, как в 7-8 классах мы "доказывали", что 5=7 (за счет "заметенного под ковер" сокращения на ноль ).

Никакого обмана. Просто если наложить ограничение $\partial_\nu A^\nu=0$, то $j^\nu$ в действительности в функционал входит только частично (его градиентная составляющая на самом деле отсутствует). Так что в действительности аналогия $5\equiv 7 \pmod 2$

[Munin]

ivvan в сообщении #884331 писал(а):

А почему ЛЛ выводят именно положительность?

На самом деле, тут есть некоторая "подгонка под ответ". Именно в смысле положительности. Не в смысле ничего другого. Потом в физике эта положительность ещё пригодится.

Red_Herring в сообщении #884333 писал(а):

Ну, самая какава потеряется, потому как условия типа $\partial_\nu A^\nu=0$ особо интересны при случае хотя бы 2 независимых переменных.

Очень трудно понимать, что такое связи, и как они работают, в случае 2 независимых переменных. В случае 1 мы можем хоть как-то худо-бедно механическую интуицию привлечь. Постарайтесь уж. Матрицу $g_{ij},$ которую можно сделать вырожденной, я вам уже заготовил.

Alex-Yu в сообщении #884336 писал(а):

Я всеже склоняюсь к тому, что принцип калибровочной инвариантности --- наиболее фундаментальный принцип.

Ну понятно, но это на физическом уровне, "что мы считаем глубокими законами и симметриями природы". А задачу-то математическую надо тоже решать и понимать, и понимать хорошо. А то вдруг мы о симметриях договоримся, а математика у нас засбоит?

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #884347 писал(а):

Никакого обмана. Просто если наложить ограничение $\partial_\nu A^\nu=0$, то $j^\nu$ в действительности в функционал входит только частично (его градиентная составляющая на самом деле отсутствует).

Это математически без обмана. Я хочу понять, в чем физический обман. Он должен быть, но где он...

[Munin]

Red_Herring в сообщении #884347 писал(а):

Просто если наложить ограничение $\partial_\nu A^\nu=0$, то $j^\nu$ в действительности в функционал входит только частично (его градиентная составляющая на самом деле отсутствует).

О-о-о-о-о!

Thanks a lot.

-- 05.07.2014 23:45:28 --

Alex-Yu в сообщении #884350 писал(а):

Я хочу понять, в чем физический обман. Он должен быть, но где он...

Физический обман начинается с того, что лагранжиан и уравнения Максвелла - всё-таки не одно и то же. И говоря о них, мы говорим о двух разных электродинамиках.

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #884347 писал(а):

(его градиентная составляющая на самом деле отсутствует).

Тогда и в уравнениях поля эта градиентная часть должна отсутствовать! Разве не так? Если уж она с самого начала не входит. А выглядит как раз наоборот.

Тогда физически ДОЛЖНО быть, что градиентаная добавка к току НЕ МЕНЯЕТ поля ${\bf E}$ и ${\bf H}$ (ладно, с заменой $A_{\mu}$ я еще как-нибудь соглашусь).

[Sicker]

А вот если ничего не фиксировать? Те нам нужно найти такие векторные поля потнциалов и токов, чтобы при любых вариациях потенциалов и токов вариация действия была равна нулю

-- 05.07.2014, 23:52 --

Я так догадываюсь, в этом случае нет пондемоторных сил

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #884353 писал(а):

Тогда и в уравнениях поля эта градиентная часть должна отсутствовать! Разве не так? Если уж она с самого начала не входит. А выглядит как раз наоборот.

Так она на самом деле и отсутствует: присутствует там $J^\nu =j^\nu+\partial_\nu \phi$ с неизвестной $\phi$ и чтобы уравнения выполнялись нужно, чтобы $\partial_\nu J^\nu=0$; и замена $j^\nu$ на $J^\nu$ как раз и убирает градиентную составляющую.

На самом деле здесь мини-жульничество есть: для полной строгости нужно разбираться с интегрированием по частям, т.е. накладывать условия на рост на бесконечности или что-либо еще в таком духе; если же рассматривать внутри области, то тоже надо думать про граничные условия. Но это уже детали и хотя в определенных вариационных задачах дьявол в них, здесь все это мелочи.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #884353 писал(а):

Тогда и в уравнениях поля эта градиентная часть должна отсутствовать! Разве не так?

Вот она и отсутствует, когда в уравнениях поля настоящий $j$ подменяется на $J,$ отличающийся именно на эту градиентную составляющую.

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #884356 писал(а):

любых вариациях потенциалов и токов

Понедельник начинается в субботу писал(а):

Не советую, гражданин… Мнэ-э… Не советую. Съедят.

Если Вы разрешите любые вариации токов, то получите в точности $A^\nu=0$. Если Вы разрешите только вариации токов с $\partial_\nu j^\nu=0$, то получите $A^\nu =\partial^\nu \chi$

[ivvan]

Munin в сообщении #884349 писал(а):

Потом в физике эта положительность ещё пригодится.

Где? И где встречаются "седловые" функционалы? И почему там не будет важна минимальность?