Теория поля

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884624 писал(а):

В чистом виде, без импульсов, по Фейнману.

Нельзя. Ересь Если лагранжиан врожден. Вот еще почитайте про спиновые волны, выше добавил.

Ладно, мне пора...

[Munin]

Классическая вариационная задача механики звучит: каково значение набора переменных $(a_i)$ (какова точка в пространстве $(a_i)$), в которой $S=\min$ и $dS=0$? (первое условие мы "имеем в виду", второе реально ищем).

Напомню, что $a_i$ - это не просто числа, а в вашей формулировке это были коэффициенты при базисных функциях в области пространства-времени.

Квантовая задача в фейнмановской интерпретации звучит так: каковы амплитуды и вероятности для возможных значений наборов переменных $(a_i)$? Каковы амплитуды и вероятности для возможных значений функционалов от $(a_i)$? Каковы соответствующие средние?

На вопрос об амплитудах и вероятностях для $(a_i)$ сразу получается "бессмысленный" ответ: $e^{iS},$ и для любой точки единица. Но интегрирование при вычислении среднего уже осмысленно. Большие по модулю значения дают уходящие в ноль вклады (кроме как по вырожденному направлению), и поэтому можно наложить обрезание. Вырожденное направление - вообще циклическая координата, и интегрирование по ней можно заменить умножением на единицу.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884624 писал(а):

Я не против. Правда, я бы не назвал это вообще "числом калибровочных фотонов". В том взгляде, который вижу я, там фотонов (причём истинных) ровно столько же. Смещение вдоль калибровки (вырожденного направления кв. формы) фотонов не добавляет.

Если смещение вдоль калибровки не добавляет фтонов, то ЭТО И ОЗНАЧАЕТ что калибровочные степени свободы не квантуются. Правда, можно устроить квантование по Гупта-Блейеру, тогда смещение вдоль калибровки будет добавлять фотоны, но нефизические фотоны. Нефизические фотоны ни на что не влияют за счет индефенитности метрики в пространстве состояний.

Вы уж определитесь, квантуются калибровочные степени свободы или нет. Можно, в принципе, и так, и эдак, но если квантуются, то это все равно "не настоящее", нефизическое квантование. Математический трюк, не более того. Что оно есть, что его нет, ни на что не влияет (что достигается трюком с индефинитной метрикой). И не должно влиять, потому как калибровоные степени свободы не есть реальные, физические степени свободы с динамикой, определяемой лагранжианом. Просто некая избыточность конфигурационного пространства, нужная чтобы выявить скрытые симметрии.

Лучше всего бы калибровочные степени свободы вовсе не квантовать. Чтобы не иметь гемороя с превращением физических частиц в нефизические. Но не всегда это так уж просто устроить с сохранением симметрий. Поэтому устраивают трюки с индефинитной метрикой или (лучше) с духами Фаддеева-Попова. Последние, кстати, и в КЭД есть. Просто в КЭД (в отличие от неабелевых теорий) духи ни с чем не взаимодействуют. Так что их можно просто выкинуть. А вот в неабелевых теориях это несколько сложнее, там духи с реальными полями взаимодействуют и сокращают (за счет "неправильных" коммутационных соотношений, фермионных при целом спине) "неправильные" петли, возникающие за счет "нефизических квантов". В КЭД же "неправильныые петли" не возникают (нефизические фотоны ни с чем не взаимодействуют) вот и духи получаются такими же. Можно просто выкинуть и то, и другое.

Где-то так примерно. Надеюсь, что если и наврал, то не сильно

[Munin]

Кстати, я вот более всего интересовался бы последним пунктом post884524.html#p884524 , а оно что-то не привлекло внимания...

-- 06.07.2014 22:40:49 --

Alex-Yu в сообщении #884680 писал(а):

Если смещение вдоль калибровки не добавляет фтонов, то ЭТО И ОЗНАЧАЕТ что калибровочные степени свободы не квантуются.

То есть, для вас "квантоваться" = "давать фотоны"?

Для меня "квантоваться" = "давать неопределённость, амплитуды, суперпозицию".

Фотоны - это частный случай, когда квантуется нечто, являющееся в каком-то базисе осциллятором. Тогда да, возбуждения этого осциллятора мы называем фотонами.

Alex-Yu в сообщении #884680 писал(а):

Вы уж определитесь, квантуются калибровочные степени свободы или нет.

Думаю, мы определимся, когда договоримся о словах. См. выше.

Alex-Yu в сообщении #884680 писал(а):

И не должно влиять, потому как калибровоные степени свободы не есть реальные

А на это возможны разные взгляды. Насколько я понимаю, например, в случае аномалии в классике что-то "не реально", а в квантовом случае оказывается вдруг реальным. Так что осторожнее надо, тут минное поле.

Иногда приходится доверять математике больше, чем своей "физической" интуиции. И даже больше, чем эксперименту.

Alex-Yu в сообщении #884680 писал(а):

Просто некая избыточность конфигурационного пространства, нужная чтобы выявить скрытые симметрии.

По-моему, вы заговариваетесь :-) Если профакторизовать по этой избыточности, то и симметрий скрытых не останется :-)

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884690 писал(а):

То есть, для вас "квантоваться" = "давать фотоны"?

Для меня "квантоваться" = "давать неопределённость, амплитуды, суперпозицию".

ДЛЯ ПОЛЕЙ это одно и то же. Во всяком случае на уровне ТВ.

-- Пн июл 07, 2014 01:54:23 --

Munin в сообщении #884690 писал(а):

Если профакторизовать по этой избыточности, то и симметрий скрытых не останется

Ну можно, в принципе, и так. Зафиксировали калибровку и все, нет никакой калибровочной инвариантности. А нет калибровочной инвариантности --- нет и нефизических степеней свободы. Квантуйте без затей... Но замучаетесь "перебирать" в конт. интеграле все конфигурации такого поля с фиксированной калибровкой. Впрочем, на сколько помню, в аксиальной калибровке это получается. Но лоренц-инвариантность при этом превращается в проблему (аксиальная калибровка не лоренц-инвариантна), как ее доказывать....

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #884698 писал(а):

ДЛЯ ПОЛЕЙ это одно и то же. Во всяком случае на уровне ТВ.

Что-то я пропустил, что такое "на уровне ТВ"?

Для полей это одно и то же, пока и поскольку поля суть осцилляторы. Ну а здесь внезапно не так.

Имхо, моё понимание более широкое.

Alex-Yu в сообщении #884698 писал(а):

Но замучаетесь "перебирать" в конт. интеграле все конфигурации такого поля с фиксированной калибровкой.

Это-то как раз достаточно легко.

Alex-Yu в сообщении #884698 писал(а):

Но лоренц-инвариантность при этом превращается в проблему (аксиальная калибровка не лоренц-инвариантна), как ее доказывать....

Вот это да.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884705 писал(а):

"на уровне ТВ"?

Здесь ТВ -- это теория возмущений. Не телевидение

-- Пн июл 07, 2014 02:27:08 --

Munin в сообщении #884705 писал(а):

Вот это да.

Есть тут эмпирический "закон сохранения трудностей". Устроил унитарность --- с лоренц-инвариантностью проблема. Устроил лоренц-инвариантность --- проблема с унитарностью. С этим, собственно, Фаддеев-Попов и боролись. Впрочем, первым решил проблему Девитт. Но его статья слишком долго лежала в физреве, слава досталась Фаддееву-Попову. Хотя у Девитта было всеже менее изящно.

[Munin]

Отклоняетесь от темы.

-- 06.07.2014 23:34:19 --

Даже от двух.

-- 06.07.2014 23:35:31 --

Я понимаю, что вечер воскресенья - это не когда тянет посидеть с бумажкой над выкладками... (или с выкладками над бумажкой - что-то я не уверен). Вот утро воскресенья выдалось неплохое.

Но всё-таки. Совсем чесать языки за то, что нам обоим известно, мне как-то тоже не хочется.

-- 06.07.2014 23:38:44 --

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #884706 писал(а):

Хотя у Девитта было всеже менее изящно.

Я знаю другой эмпирический закон: у первооткрывателей всегда всё из реек и рояльной проволоки, спаяно на весу, так и дышит на ладан и норовит рассыпаться. Те, кто идут позже, сооружают конструкцию лучше.

[espe]

Munin в сообщении #884586 писал(а):

И таки какой в какой калибровке?

http://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_fixing#R.CE.BE_gauges

[Munin]

espe
Спасибо!

А что про наши экзерсисы здесь думаете?

-- 07.07.2014 00:54:12 --

Надо попробовать повторить вычисления с $R_\xi$ членом. А там, глядишь, и до пропагатора доберёмся... Но не сегодня.

[espe]

Я за всякими частностями потерял суть проблемы. В чем собственно проблема?

Если только вопрос в пропагаторе, то его довольно легко посчитать.

[Munin]

Пропагатор как раз всплыл периферийно.

Вопрос был в том, как в вариационном выводе уравнений поля возникает требование сохранения тока (на каком этапе), а потом, когда с этим разобрались, - как вариационный формализм реагирует на засовывание в него несохраняющегося тока. И как его можно заставить его скушать. В итоге, кажется, перешли на обсуждение вообще сути калибровочной инвариантности и фиксации калибровок. Здесь ваше упоминание $R_\xi$ очень "в тему".

[espe]

Имхо, если задан не сохраняющийся ток, то это некорректно поставленная задача. По условию $\partial^\mu j_\mu\ne0$, а из уравнений движения следует $\partial^\mu j_\mu=0$. Решений нет. Как это обойти я не знаю.

[Munin]

Ну, мы немножко дальше продвинулись в понимании этого вопроса, в особенности с подачи Red Herring. Оказалось, что уравнения движения такого вида возникают уже из предположения сохранения тока.

[Alex-Yu]

espe в сообщении #885084 писал(а):

Имхо, если задан не сохраняющийся ток, то это некорректно поставленная задача. По условию $\partial^\mu j_\mu\ne0$, а из уравнений движения следует $\partial^\mu j_\mu=0$. Решений нет. Как это обойти я не знаю.

Совершенно верно, решений вариационной задачи нет, если рассматривать безусловные вариации $A_{\mu}$. При несохраняющемся токе действие не стационарно ни при каких $A_{\mu}$. Но мы знаем, что есть калибровчная инвариантность. Это означает, что $A_{\mu}$ содержит в себе как физические, так и нефизические степени свободы. По нефизическим можно и не варьировать, физически это тоже разумная постановка задачи! Тогда задача имеет решение. Например, если наложить калибровочное условие $\partial_{\mu}A_{\mu}=0$ ($k_{\mu}A_{\mu}=0$ в фурье-представлении), то получаются вполне разумные уравнения движения, содержащие вместо несохраняющегося тока $j_{\mu}$ другой ток $J_{\mu}$ (в остальном уравнения остаются теми же самыми). В фурье-представлении последний определяется так:

$$ J_{\mu}=\left(\delta_{\mu\nu}-\frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^2}\right)j_{\nu} $$

Легко заметить, что выражение в скобках --- проектор, стоящий в числителе фотонного пропагатора Ландау, и что ток $J_{\mu}$ сохраняется. Также ясно, что если исходный ток сохраняется, то $J_{\mu}=j_{\mu}\,$, так что "нормальной", обычной теории все это ни в коей мере не противоречит.


Вот, собственно, и все, остальное --- бла-бла-бла, возникшее по ходу выяснения этого вопроса. Но это тоже имеет некоторый смысл. Физика--- не математика. В физике что-то там вычислить --- лишь полдела. Вычисления нужно еще "пожевать" в физическом плане, понять что они означают в физическом аспекте. В части классики такое "жевание" по обсуждаемому поводу закончилось полным успехом. Ну а на счет расширения на квантовый случай у нас с Munin-ом возникли некоторые (впрочем несильные) разногласия.