В принципе наименьшего действия ограничений на допустимые вариации нет. А если есть --- то метод множителей Лагранжа Вам в руки.
Напрасно Вы думаете, что метод множителей Лагранжа абсолютно универсален. В частности, он не работает, например, для ограничений того вида, который я написал. Я понимаю, что посягнул на святое, но увы

что

Да, в таком случае
Alex-Yu прав: заметим, что

зануляет

с

, т.е. квадратичная форма жутко вырождена. Поэтому если линейная часть функционала не зануляет тех же самых

, то увы и ах—экстремалей нет. А последнее условие и означает

.
Что касается "оспаривать", то пока мы не лезем в КМ где появляется Ахаронов-Бом, то

штука не наблюдаемая (вот

и

они да) и при всем уважении к Шварцшильду можно, например, дополнительно потребовать чтобы

, что не изменит

. Тогда экстремали будут существовать всегда, но уравнения изменятся; именно, вместо

в уравнении выскочат

, удовлетворяющие уравнению неразрывности. И тогда

и следует называть током.
Я намеренно рассматривал Евклидов, а не Лоренцев метрический тензор, но с последним будет аналогично. И я использую нотацию Эйнштейна.
PS. С вариационными рассуждениями гусарство чревато.