Теория поля

[Munin]

Sicker в сообщении #884356 писал(а):

А вот если ничего не фиксировать? Те нам нужно найти такие векторные поля потнциалов и токов, чтобы при любых вариациях потенциалов и токов вариация действия была равна нулю

Для этого надо записать действие немного более длинное. Потому что если варьировать токи, то должна "включиться и работать" та часть действия, которая касается только этих токов - но не поля. Для отдельных массивных релятивистских частиц это будет слагаемое $S_\mathrm{p}=-\sum\int mc\,ds,$ где интегралы берутся по траекториям частиц в пространстве-времени. Это всё написано в Ландау-Лифшице "Теория поля", вы опять пренебрегаете чтением учебника!

Sicker в сообщении #884356 писал(а):

Я так догадываюсь, в этом случае нет пондемоторных сил

Во-первых, называются они пондеромоторные.

Во-вторых, они как раз будут, из-за варьирования члена действия $S_\mathrm{int}=-\int j^\mu A_\mu d^4x$ по токам. Это аналогично тому, как в механике при варьировании члена взаимодействия возникает сила, действующая на одно тело, и равная и противоположная сила, действующая на другое тело - 3 закон Ньютона. В данном случае, при варьировании члена взаимодействия по токам возникают пондеромоторные силы - сила Лоренца $\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+[\mathbf{vB}]/c),$ - а при варьировании этого же члена по полю возникают источники электромагнитного поля - члены $4\pi\rho$ и $4\pi\mathbf{j}/c$ в правой части уравнений Максвелла. Так что можно считать, что эта взаимосвязь - аналог 3 закона Ньютона. Без неё никуда. Исчезнет одно - автоматически исчезнет и другое.

-- 06.07.2014 00:17:25 --

ivvan в сообщении #884366 писал(а):

Где? И где встречаются "седловые" функционалы? И почему там не будет важна минимальность?

Минимальность нужна в квантовании методом фейнмановского интеграла по траекториям. Точнее, нужна знакоопределённость. Если мы имеем знакоопределённый экстремум, то соседние траектории дают вклады, как зоны Френеля в волновой оптике - первая зона наибольший вклад, а дальше всё быстро убывает.

А вот если экстремум не знакоопределённый - то "зон Френеля" не получается. По крайней мере, мне так кажется. Но я в этом ещё не имел возможности толком разобраться, так что может быть, вру.

Чисто абстрактно-математически, пример "седлового" функционала - это геодезическая линия в пространстве Минковского, если точки разделены пространственно-подобным интервалом. Тогда отклонение линии в пространственном направлении даёт рост длины, а во временно́м - уменьшение.

[Red_Herring]

На самом деле я погорячился утверждая о неуниверсальности множителей Лагранжа—но надо их применять очень аккуратно. Во что значит, что $\partial_\nu A^\nu=0$ везде? Это значит что $\partial_\nu A^\nu(y)=0$ т.е. достаточно формально

$$ \int \partial_\nu A^\nu(x)\delta (x-y)\,d^4x=0 \iff -\int A^\nu (x)\partial_{\nu} \delta (x-y)=0. $$

Это континуум условий ($\forall y$), т.е. нам нужен континуум множителей Лагранжа $\phi(y)$ и мы должны включить в функционал

$$ \iint A^\nu (x)\partial_{\nu} \delta (x-y)f\lambda (y)\,d^4xd^4y=\int A^\nu (x)\partial_{\nu} \phi (x)\,d^4x $$

что и даст такой же результат.

[Sicker]

Munin
Я читал "Теорию Поля")
Я как раз под лагранжеаном подразумавал сумму лагранжиана поля, взаимодействия и соответственно лагранжиан самих заряженных частиц
А под пондеромоторными силами я имел ввиду силы неэлектромагнитного происхождения)

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #884372 писал(а):

Я как раз под лагранжеаном подразумавал сумму лагранжиана поля, взаимодействия и соответственно лагранжиан самих заряженных частиц
А под пондеромоторными силами я имел ввиду силы неэлектромагнитного происхождения)

Munin в сообщении #884368 писал(а):

Для этого надо записать действие немного более длинное. Потому что если варьировать токи, то должна "включиться и работать" та часть действия, которая касается только этих токов - но не поля.

Ну, тогда все будет хорошо и вдобавок к уравнениям поля мы получим еще уравнения движения частиц.

[Sicker]

(Оффтоп)

Все, все счастливы

[Munin]

Sicker в сообщении #884372 писал(а):

А под пондеромоторными силами я имел ввиду силы неэлектромагнитного происхождения)

А они будут возникать, если лагранжиан заряженных частиц включает в себя какие-то взаимодействия неэлектромагнитного происхождения.

[Sicker]

Вы имеете ввиду лагранжиан взаимодействия? Потому что лагранжиан самих частиц вполне определен(релятивистских)

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #884360 писал(а):

$\partial_\nu J^\nu=0$; и замена $j^\nu$ на $J^\nu$ как раз и убирает градиентную составляющую.

А, ну да.

-- Вс июл 06, 2014 03:52:59 --

Red_Herring в сообщении #884360 писал(а):

На самом деле здесь мини-жульничество есть: для полной строгости нужно разбираться с интегрированием по частям, т.е. накладывать условия на рост на бесконечности

Ну это-то как раз дело обычное и ясное.

В общем математически все становится более-менее ясно. Но физически --- абсолютно не ясно, странно все это...

[Sicker]

Хотя сумму лагранжеана частицы и лаграджианавзамодействия с неэлектрическими силами можно обозначить за лагранжеан частицы, а лагранжиан взаимодействия это тогда только с электрлмагнитным полем

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884254 писал(а):

А вот это можно показать на какой-нибудь конечномерной аналогии?

Это как раз просто. Даже конкретно здесь. Разложим поле и ток по некой системе базисных функций. Даже обрезать набор функций можем, тогда все конечномерное станет. Тогда у нас получается такое действие

$$ S=L_{ij}a_ia_j + j_ia_i $$

Здесь индексы не имеют никакого отношения к векторам, они просто нумеруют базисные функции.

Всегда можно сделать преобразование к новым пременным $a_i$ и $j_i$ такое, что матрица $L_{ij}$ станет диагональной. При этом часть собственных чисел окажется нулевой. Т.е. степени свободы $a_i$ ЯВНО разделятся на калибровочные, нефизические (те номера, где собственное число нулевое) и физические (где ненулевое).

Далее два варианта. Или мы варьируем по ВСЕМ $a_i\,$, тогда мы обязаны потребовать сохранение тока, т.е. $j_i$ соответствующие нефизическим номерам должны оказаться нулем. Иначе просто получается ноль равен не нулю. Или мы можем варьировать ТОЛЬКО по физическим степеням свободы, тогда ток может быть каким угодно, но работать будут все равно только те компоненты $j_i\,$, что соответствуют физическим степеням свободы. Несохраняющаяся часть тока в этом варианте просто ни на что не влияет, она убирается некой операцией проектирования.

Ясно что меня "смущало" с этим дополнительным $\phi$. Я неявно, интуитивно предполагал, что здесь появляется дополнительный произвол. Что конечно же действительно бред с физической точки зрения. Но никакого произвола нет, поле $\phi$ жестко определяется исходным током из уравнения

$$ \partial_{\mu}(j_{\mu} - \partial_{\mu}\phi)=0 $$

Собственно это и есть некое "функциональное проектирование" несохраняющегося тока на (функциональное) пространство сохраняющихся токов. При этом все физические величины зависят ТОЛЬКО от такой проекции, несохраняющаяся часть тока просто ни на что физическое не влияет.

P.S. Подозреваю, что здесь можно найти связь с тем фактом, что при квантовании мы не можем наложить калибровочное условие на оператор поля, только на его среднее фактически (по Гупта-Блейеру). Ну и с фотонным пропагатором в разных калибровках. Последнее так и вообще сразу почти ясно. Так что обсуждение, как это ни удивительно, оказалось в чем-то полезным.

[Munin]

Sicker в сообщении #884379 писал(а):

Вы имеете ввиду лагранжиан взаимодействия? Потому что лагранжиан самих частиц вполне определен(релятивистских)

Дык вообще заряды может переносить не множество частиц, а какое-то другое вещество. В принципе, лагранжиан этого вещества (в общем произвольный) может быть разложен в лагранжианы отдельно самих частиц и их взаимодействия, но это просто не играет здесь роли.

Sicker в сообщении #884384 писал(а):

Хотя сумму лагранжеана частицы и лаграджианавзамодействия с неэлектрическими силами можно обозначить за лагранжеан частицы,

Уже не частицы, а вещества.

Alex-Yu в сообщении #884429 писал(а):

Всегда можно сделать преобразование к новым пременным $a_i$ и $j_i$ такое, что матрица $L_{ij}$ станет диагональной. При этом часть собственных чисел окажется нулевой. Т.е. степени свободы $a_i$ ЯВНО разделятся на калибровочные, нефизические (те номера, где собственное число нулевое) и физические (где ненулевое).

Здорово. Хорошо бы примерчик, наглядный, но при этом реалистичный.

Alex-Yu в сообщении #884429 писал(а):

Далее два варианта. Или мы варьируем по ВСЕМ $a_i\,$, тогда мы обязаны потребовать сохранение тока, т.е. $j_i$ соответствующие нефизическим номерам должны оказаться нулем. Иначе просто получается ноль равен не нулю. Или мы можем варьировать ТОЛЬКО по физическим степеням свободы, тогда ток может быть каким угодно, но работать будут все равно только те компоненты $j_i\,$, что соответствуют физическим степеням свободы. Несохраняющаяся часть тока в этом варианте просто ни на что не влияет, она убирается некой операцией проектирования.

При этом, как я понимаю, обязательно выбрать конкретную калибровку (то есть, задать функцию $a_\text{нефизические}(a_\text{физические})$), на которой мы находимся, = операцию проектирования. Кстати, не обязательно линейную.

Вообще, замечательно вы форму

Alex-Yu в сообщении #884429 писал(а):

$$ S=L_{ij}a_ia_j + j_ia_i $$

выбрали, с ней всё становится яснее! Такое впечатление, что я вам подал сырую идею, а вы доделали и довели до ума.

Предлагаю ещё один вопрос: написать такое уравнение Максвелла, которое будет давать решение для $F_{\mu\nu}$ однозначно, и в котором будет фигурировать только внешний ток, несмотря на его несохранение. То есть, какую производную надо взять от уравнения $\partial_\mu F^{\mu \nu}=J^\nu=j^\nu+\partial_\nu\phi,$ чтобы исключить $\phi,$ и сохранить само уравнение. Подозреваю, это ротор, то есть

$$\partial_{[\lambda}\partial_\mu F_{\mu\,\nu]}=\partial_{[\lambda}J_{\nu]}=\partial_{[\lambda}j_{\nu]}+\partial_{[\lambda}\partial_{\nu]}\phi=\partial_{[\lambda}j_{\nu]}.$$

Но будет ли оно задавать однозначно $F_{\mu\nu},$ я не знаю, хотя "чувствую", что да.

-- 06.07.2014 11:00:17 --

Огромное спасибо Red_Herring за главную часть insight-а!

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884448 писал(а):

При этом, как я понимаю, обязательно выбрать конкретную калибровку

Ну если явно разделить степени свободы на физические и нефизические (что, впрочем, возможно нетривиально, если без разложения по базисным функциям), то даже и не обязательно. По нефизическим степеням свободы мы просто не варьируем, да какие угодно они. Даже могут зависеть и даже нелинейно от физических $a_i$. Какие угодно и есть какие угодно

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #884429 писал(а):

P.S. Подозреваю, что здесь можно найти связь с тем фактом, что при квантовании мы не можем наложить калибровочное условие на оператор поля, только на его среднее фактически (по Гупта-Блейеру).

Кстати, а здесь, мне кажется, мы вполне можем проквантовать модель "по оригинальному рецепту Фейнмана" $S\to e^{iS},$ $\delta S=0\to A=\int e^{iS}.$ Это будет просто экспонента от квадратичной формы на пространстве $a_i.$ И при этом мы вполне можем наложить калибровочное условие на оператор поля, единственное, что надо следить, чтобы в данном случае как раз проецирование было линейным (иначе не совпадёт мера интегрирования). Или добавить множитель якобиана под интеграл.

Интересно-интересно!

Alex-Yu в сообщении #884429 писал(а):

Ну и с фотонным пропагатором в разных калибровках. Последнее так и вообще сразу почти ясно.

А вот тут я не понял, о чём вы. Можно поподробнее?

-- 06.07.2014 11:17:54 --

Alex-Yu в сообщении #884453 писал(а):

Ну если явно разделить степени свободы на физические и нефизические (что, впрочем, возможно нетривиально, если без разложения по базисным функциям), то даже и не обязательно.

По сути, мы имеем не базис, а просто какую-то вырожденную квадратичную форму (параболический цилиндр, лежащий на боку), и разделение на физические и нефизические степени свободы - это нахождение направлений вырождения этой формы. Плюс выбор какой-то дополнительной плоскости, не обязательно нормальной (потому что у нас, по сути, скалярного произведения нет). Вот эта плоскость и будет калибровкой (связью).

Alex-Yu в сообщении #884453 писал(а):

Даже могут зависеть и даже нелинейно от физических $a_i$.

Вот в случае квантования нелинейно - это уже плохо.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884455 писал(а):

А вот тут я не понял, о чём вы. Можно поподробнее?

Ох, даже не знаю как подробнее. Ну вспомните фотонный пропогатор в поперечной калибровке. Он же как раз и исключает несохраняющуюся (т.е. 4-непоперечную) часть тока. Там прямо проектор стоит. Если другой пропогатор --- то ток должен сохраняться. А если поперечный --- да какой угодно ток, несохраняющаяся часть просто выпадет из ответа (выражения поля через ток).

-- Вс июл 06, 2014 14:22:28 --

Munin в сообщении #884455 писал(а):

Вот в случае квантования нелинейно - это уже плохо.

Формально-математически --- да, геморой. А физически все и так ясно: калибровочные степени свободы не квантуются. Можно проквантовать, но тогда индефенитную метрику нужно вводить, фактически убирая эту часть из квантования.

-- Вс июл 06, 2014 14:25:39 --

Alex-Yu в сообщении #884457 писал(а):

Если другой пропогатор --- то ток должен сохраняться.

Впрочем, нет, не обязательно. Хотя 4-потенциал будет зависеть от несохраняющейся части тока, при переходе к физическим величинам эта добавка все равно уйдет. Эта добавка же представляет собой чистую калибровку.

Можно устроить (а можно и не устраивать) зависимость 4-потенциала от несохраняющейся части тока. Но это ни на что физическое не влияет. Просто потому, что зависимость от несохраняющейся части тока представляет собой чистую калибровку. Эту часть можно сделать КАКОЙ УГОДНО, физически это просто безразлично.

К 4-потенциалу всегда можно добавить нечто, в фурье-представлении пропорциональное 4-волновому_вектору. Эта добавка --- чистая калибровка. В частности всегда можно добавить 4-градиент от 4-дивергенции тока. Т.е. в фурье-представлении

$$ k_{\mu}k_{\nu}j_{\nu} $$

Даже с любым множителем зависящим от $k^2$. Сохраняется ток --- тогда это просто ноль, $k_{\nu}j_{\nu}=0$ и означает сохранение тока. Не сохраняется --- ну и ладно, это чистая калибровка тогда, нефизические степени свободы можно двигать как бог на душу положит, ни на что физическое все равно не влияет

[Munin]

Попробую пофурьять поле по образцу Рубакова. Заранее приготовимся к тому, чтобы выбрать конечномерный набор функций, так что вместо $\int d^4k$ будем писать $\sum\limits_k$. Действие, напомню:

$$\textstyle S=\int d^4x\left(-\tfrac{1}{16\pi}(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)-ej_\mu A_\mu\right).$$

Итак, и потенциал, и ток будут представлять собой плоские волны:

$$\textstyle A_\mu=\sum\limits_k a_\mu\,e^{ikx},\quad \partial_\nu A_\mu=\sum\limits_k ik_\nu\,a_\mu\,e^{ikx},\qquad j_\mu=\sum\limits_k \widetilde{\jmath}_\mu\,e^{ikx}.$$

Подставляю в действие, получаю

$$\textstyle S=\int d^4x\bigl(\tfrac{1}{16\pi}\sum\limits_k(k_\mu a_\nu-k_\nu a_\mu)\sum\limits_{k'}(k'_\mu a_\nu-k'_\nu a_\mu)e^{i(k+k')x}-e\sum\limits_k \sum\limits_{k'} \widetilde{\jmath}_\mu a_\mu e^{i(k+k')x}\bigr).$$

Беря интеграл, получаем $\int e^{i(k+k')x}d^4x=\delta(k+k').$ Заменяем в результате $k'=-k$... чёрт. Дальше я на черновике писал для случая $k'=k,$ а тут больше компонент получается задействовано.

Ладно, дальше просто спишу с черновика, с оговоркой, что это надо поправить:
----------------

$$\textstyle S=\tfrac{1}{16\pi}\sum\limits_k(k_\mu a_\nu-k_\nu a_\mu)(k_\mu a_\nu-k_\nu a_\mu)-e\sum\limits_k \widetilde{\jmath}_\mu(k)\,a_\mu(k).$$

Дальше надо разобраться с направлениями 4-векторов. Для случая $k^2\ne 0$ имеем две возможные ориентации произвольного вектора:
- вектор $\parallel k$ - тогда его можно представить как $k$ умножить на скаляр;
- вектор $\perp k.$
Заметим, что это относится и к вектору потенциала $a_\mu,$ и к вектору тока $\widetilde{\jmath}_\mu.$ Для тока вторая часть составляет сохраняющийся ток, а первая - "неправильный" несохраняющийся ток, который можно представить себе как градиент того самого $\phi.$ Итак,
$k^2\ne 0,k_\mu\parallel a_\mu=k_\mu c(k)$:

$$\textstyle S=0-e\sum\limits_k\underline{\widetilde{\jmath}_\mu(k)\,k_\mu}c(k).$$

Имеем тот самый вырожденный случай, и видим, что подчёркнутая часть (по сути - дивергенция тока) не равна нулю только в случае, если ток не сохраняется - её можно заменить на только "неправильную" часть тока.
$k^2\ne 0,k_\mu\perp a_\mu$:

$$\textstyle S=\tfrac{1}{16\pi}\sum\limits_k(k_\mu a_\nu-k_\nu a_\mu)(k_\mu a_\nu-k_\nu a_\mu)-e\sum\limits_k\underline{\widetilde{\jmath}_\mu(k)\,a_\mu(k)}.$$

Здесь имеем стандартное действие для электродинамики, которое незачем дальше анализировать. Обратим внимание только на то, что подчёркнутая часть состоит из произведения тока на вектор, перпендикулярный $k,$ то есть, как раз отбрасывая "неправильную несохраняющуюся" часть.
----------------
Ветку $k^2=0$ я сначала проигнорировал, подумал, что достаточно, но в ней есть кое-какие тонкости.
----------------

-- 06.07.2014 12:45:43 --

Alex-Yu в сообщении #884457 писал(а):

Ну вспомните фотонный пропогатор в поперечной калибровке. Он же как раз и исключает несохраняющуюся (т.е. 4-непоперечную) часть тока. Там прямо проектор стоит.

Если честно, не помню, какой пропагатор в какой калибровке.

Alex-Yu в сообщении #884457 писал(а):

Если другой пропогатор --- то ток должен сохраняться. А если поперечный --- да какой угодно ток, несохраняющаяся часть просто выпадет из ответа (выражения поля через ток).

Это интересно, особенно посмотреть для других полей (массивное, неабелево, скалярное, гравитационное).

Alex-Yu в сообщении #884457 писал(а):

Формально-математически --- да, геморой. А физически все и так ясно: калибровочные степени свободы не квантуются. Можно проквантовать, но тогда индефенитную метрику нужно вводить, фактически убирая эту часть из квантования.

А вот это заклинание "не квантуются" мне как раз всегда было непонятно. Физически должно квантоваться как раз всё! И как проквантовать, я примерно изобразил идею.

-- 06.07.2014 12:51:42 --

Alex-Yu в сообщении #884457 писал(а):

Можно устроить (а можно и не устраивать) зависимость 4-потенциала от несохраняющейся части тока. Но это ни на что физическое не влияет. Просто потому, что зависимость от несохраняющейся части тока представляет собой чистую калибровку. Эту часть можно сделать КАКОЙ УГОДНО, физически это просто безразлично.

...до тех пор, пока лагранжиан у нас калибровочно-инвариантен.

Кстати, ещё имеет смысл рассмотреть частично нарушенную симметрию. Тогда у нас понятие "чистая калибровка" расщепляется в калибровку изначальной симметрии (высокой) и итоговой (пониженной). Что было калибровкой для изначальной симметрии, для пониженной может быть уже не калибровкой. И может оказаться наблюдаемой величиной. Получается, и сохранение тока тоже "расщепляется" в две ступени.

Alex-Yu в сообщении #884457 писал(а):

К 4-потенциалу всегда можно добавить нечто, в фурье-представлении пропорциональное 4-волновому_вектору. Эта добавка --- чистая калибровка.

Ну вот, я писал-писал, а вы меня опередили... :-(