Теория поля

[ivvan]

Munin в сообщении #884273 писал(а):

Являются ли стационарные точки функционала действительно экстремалями, и при этом максимумами или минимумами, - отдельный вопрос, и он иногда интересен, но только чтобы позабавиться.

В ЛЛ-1 объясняли положительность массы как условие минимальности соответствующего лагранжиана. Можно ли рассматривать отрицательный случай?

[Sicker]

Alex-Yu
Munin
Я не понял ваши примеры, причем здесь производная поверхности? В случае с желобом мы же рассматриваем плоски кривые на ней, и кривая, лежащая на желобе, не будет удовлетворять условию нулевой вариации(как на обычной поверхности)

[Alex-Yu]

Sicker в сообщении #884278 писал(а):

и кривая, лежащая на желобе, не будет удовлетворять условию нулевой вариации(как на обычной поверхности)

А эта кривая тут ни при чем. Причем здесь то, что в любой точки желоба касательная к графику (поверхности) паралельна плоскости $xy$.

[Sicker]

все понял, те если мы рассмотрим кривую, и если рассмотреть бесконечно малое смещение этой кривой, то если при любой такой вариации длина кривой уменьшится-то это максимум(экстремум), а если увеличится-то минимум
а если в зависимости от вариации может увеличивать или уменьшаться, то седловитая точка

-- 05.07.2014, 22:05 --

Alex-Yu в сообщении #884280 писал(а):

Sicker в сообщении #884278 писал(а):

и кривая, лежащая на желобе, не будет удовлетворять условию нулевой вариации(как на обычной поверхности)

А эта кривая тут ни при чем. Причем здесь то, что в любой точки желоба касательная к графику (поверхности) паралельна плоскости $xy$.

и че? а почему бы и плоскость просто не рассмотреть?

[Alex-Yu]

Sicker в сообщении #884281 писал(а):

кривой уменьшится-то это максимум(эстремум), а если увеличится-то минимум
а если в зависимости от вариации может увеличивать или уменьшаться, то седловитая точка

А может при каких-то вариациях вообще не изменяться. Вот это и есть что-то вроде "желоба" , который я пытался проиллюстрировать просто на примере функции двух координат, а не на функционале. При движении вдоль желоба (окружности с радиусом 10) функция $f$ вообще не меняется.

[Sicker]

все понял

[Red_Herring]

Munin
Вот этот член $A_\mu A^\mu$ снимает вырождение квадратичной части (и заодно губит калибровочную инвариантность), и тем самым экстремали будут при любых токах.

Теперь уберем этот член и рассмотрим дополнительное ограничение на $A$: $\partial_\mu A^\mu =0$. Тогда у нас будет с точностью до коэффициентов

$$ \int (\partial_\mu F^{\mu \nu} - j^\nu)\delta A_\nu d^4x=0 $$

но только при доп условии $\partial_\mu A^\mu=0$. Тогда мы не можем заключить, что выражение в скобках непременно 0, только что оно будет градиентом чего-то:

$$ \partial_\mu F^{\mu \nu} - j^\nu=\partial _\nu \phi $$

или

$$ \partial_\mu F^{\mu \nu} =J^\nu:= j^\nu+\partial _\nu \phi. $$

И замена в $j$ na $J$ функционала $S$ не меняет.
%%%%

Насчет экстремума и стационарности: во-первых есть максимумы, а также всякие седла.

Более интересный пример (там седла): рассмотрим геодезические на поверхности. Скажем на сфере, там они будут большим кругами. Рассмотрим две не антиподальные точки. Их можно соединить двумя такими дугами: одна меньше $\pi$, вторая больше. Первая реализует минимум расстояния. А вторая — будет стационарной точкой функционала длины, но не минимумом. Но и не максимум.

Alex-Yu в сообщении #884271 писал(а):

У нее есть кольцевой "желоб", но не минимум (экстремум)

Ну разумеется дно этого желоба будет заполнено вырожденными минимумами.

[Munin]

ivvan в сообщении #884277 писал(а):

В ЛЛ-1 объясняли положительность массы как условие минимальности соответствующего лагранжиана. Можно ли рассматривать отрицательный случай?

Вообще можно - и отрицательный, и вырожденный.

Но вот я хотел Red Herring к этому подтолкнуть, а он что-то умолк.

Мне это встречалось в Прохорове-Шабанове, но вообще книжка не для начинающих.

Sicker в сообщении #884278 писал(а):

Я не понял ваши примеры, причем здесь производная поверхности?

При том, что вариационная задача аналогична простой задаче на отыскание минимума через приравнивание производной к нулю. Только вариационная задача рассматривается в бесконечномерном пространстве, где вместо функции задан функционал (формально тоже функция, но принято называть иначе, чтобы показать уважение). И вместо дифференциала функции - вариация этого функционала. А так, кроме бесконечномерности, идейно это то же самое.

Могут быть такие стационарные функционалы, которые имеют минимум. Могут быть такие, которые имеют максимум. Могут быть такие, которые имеют "точку перегиба". Могут быть такие, которые имеют седлову точку. Могут быть такие, которые имеют точку безразличия. Это всё имеет аналоги на простейших функциях 1-2 переменных.

Sicker в сообщении #884281 писал(а):

а если в зависимости от вариации может увеличивать или уменьшаться, то седловитая точка

Не "седловитая", а седловая.

А может быть и аналог кубической параболы с точкой перегиба. При этом первая вариация равна нулю, и вторая вариация равна нулю (в отличие от названных вами вариантов), а третья - уже не равна.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #884273 писал(а):

Вам совсем не к лицу ссориться без повода. Вы бы намного продуктивней просто договорились о терминах.

А разве мы ссоримся? Мы как раз договариваемся о терминах

[Munin]

Red_Herring в сообщении #884288 писал(а):

Тогда мы не можем заключить, что выражение в скобках непременно 0, только что оно будет градиентом чего-то

А можно внести условие $\partial_\mu A^\mu=0$ в действие тем самым методом неопределённых коэффициентов?

-- 05.07.2014 22:18:33 --

Кстати, а как это "градиентом чего-то" получить из $\partial_\mu A^\mu=0$? Я понимаю, как это проверить, но это выглядит "угадали и подставили".

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #884288 писал(а):

Тогда мы не можем заключить, что выражение в скобках непременно 0, только что оно будет градиентом чего-то:

$$ \partial_\mu F^{\mu \nu} - j^\nu=\partial _\nu \phi $$

Да? Убей меня бог, если я понимаю почему.... Думаю, это просто неверно.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #884288 писал(а):

И замена в $j$ na $J$ функционала $S$ не меняет.

Понятно, и для "настоящего" $A_\mu$ просто берётся такой $\phi,$ который восстанавливает сохранение тока.

-- 05.07.2014 22:22:01 --

Alex-Yu в сообщении #884294 писал(а):

Убей меня бог, если я понимаю почему.... Думаю, это просто неверно.

Подставьте $\partial_\nu\phi$ вместо скобочки в интеграл, и перекиньте производную на $\delta A_\nu.$

-- 05.07.2014 22:22:50 --

(Оффтоп)

Чёрт, какая активная тема. Когда же я буду остальной форум-то читать? :-)

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #884295 писал(а):

Подставьте $\partial_\nu\phi$ вместо скобочки в интеграл, и перекиньте производную на $\delta A_\nu.$

Это я уже сообразил. Но физически это же бред! Ну с какой бы радости фиксация калибровки уничтожила бы сохранение тока... Парадокс какой-то, не понимаю...

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #884298 писал(а):

Парадокс какой-то, не понимаю...

Просто то $j$ которое первоначально в функционале, не ток а черт знает что (и даже физического смысла не вполне имеет ). А вот $J$ и будет током.

Вроде как убрав некую неоднозначность в $A$ мы ее по закону сохранения подлости перенесли в $j$

[Munin]

Вот тут, кажется, начинает играть неэквивалентность вариационной задачи и уравнений Лагранжа, в том смысле, что если постулировать одно, то при разных дополнительных условиях вытекает разное другое. Мы привыкли "физически" мыслить уравнениями Максвелла, даже когда и выводим их из лагранжиана электромагнитного поля (Шварцшильда).

Я вполне могу себе представить, что наложение связи приводит к отказу от требования вырожденности функционала по направлению, которое не параллельно этой связи. Например, пусть у нас была квадратичная форма $g(x,y)=x^2+0y^2$ - вырожденная по $y.$ Мы искали экстремаль, и она была в точке $x=0,\forall y.$ Потом мы наложили связь $y=0,$ и наша экстремаль находится в точке $x=y=0.$ Но раньше добавка $+ky$ уничтожала вообще экстремаль (как мне пояснили наглядно), а теперь при условии $y=0$ экстремаль по-прежнему есть, и в точке $x=y=0.$