Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[ewert]

mishafromusa в сообщении #882453 писал(а):

Умом компактность не понять

, и тем самым не подступиться к подавляющему большинству теорем существования, которые интуитивно очевидны, но существующие объекты в которых заведомо не обязаны быть единственными.

"-- Ты суслика видишь?
-- Нет. Шибко много их.
-- А они -- есть! И хоть где-то, да высовываются."

-- Вт июл 01, 2014 00:59:28 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #882492 писал(а):

незнакомый термин "слабо доказать"?

Ну не кокетничайте, Вы же прекрасно понимаете: доказать сильнО -- это уже с мордобоем.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #882484 писал(а):

mishafromusa в сообщении #882474 писал(а):

Пардон, не заметил 'без,' надо подумать, хотя это идеологическая часть предмета, ближе к общей топологии.

Это довольно серьезный момент. Пока что получается, что Вы не признаете никаких доказательств, использующих компактность; ну или как минимум считаете их противными и недостойными рассказывания студентам.

Да нет, можно и рассказать, просто полезно ясно объяснить какого сорта допущения принимаются на веру. Вообще компактность в основном нужна чтобы от поточечных понятий переходить к равномерным, а для равномерной теории она особо ни к чему.
Кстати, о не от противного доказательства компактности отрезка. Достаточно ограничиться счётными покрытиями, потом перейти к дуальной формулировке о пересечениях замкнутых множеств, а дальше просто, выбором сходящейся подпоследоватольности.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #882509 писал(а):

Вообще компактность в основном нужна чтобы от поточечных понятий переходить к равномерным,

Это означает лишь, что Вы никогда в жизни соображениями компактности даже и не пытались пользоваться.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert
Почём я знаю, если бывают всякие слабые сходимости, слабые неравенства, слабое что-то ещё, то почему бы не быть и слабым доказательствам?

[mishafromusa]

ewert, трудности с пониманием шуток -- один из ранних симптомов Алзхаймера.

-- 30.06.2014, 17:58 --

ewert в сообщении #882519 писал(а):

mishafromusa в сообщении #882509 писал(а):

Вообще компактность в основном нужна чтобы от поточечных понятий переходить к равномерным,

Это означает лишь, что Вы никогда в жизни соображениями компактности даже и не пытались пользоваться.

Но мы же обсуждаем не жизнь, а элементарный анализ.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #882195 писал(а):

Сказали бы сразу, что интуиционист, я бы время не тратил.

Пожалуйста, не недо навешивать на меня никакой идеологии, у меня к ним с детства аллергия.

-- 30.06.2014, 19:17 --

Munin в сообщении #882310 писал(а):

Встаёт вопрос, "обращать ли их в свою веру".

Сама формулировка намекает на то, как близка по духу математика (в особенности " чистая") к религиозной мифологии. Вообще-то многие считают, что цель образования -- научить людей думать.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #882509 писал(а):

Достаточно ограничиться счётными покрытиями,

Потому что мы в аксиому выбора верим?

mishafromusa в сообщении #882509 писал(а):

потом перейти к дуальной формулировке о пересечениях замкнутых множеств, а дальше просто, выбором сходящейся подпоследоватольности.

Что-то мне подсказывает, что Вы пытаетесь замести проблему под ковёр. Можно более подробно?

mishafromusa в сообщении #882541 писал(а):

Пожалуйста, не недо навешивать на меня никакой идеологии, у меня к ним с детства аллергия.

Я не знаю, какой идеологии Вы придерживаетесь, но студентов, похоже, предлагаете учить идеологии интуиционизма и конструктивной математики. Это просто другая математика, распространённая только среди фанатов и почти не использующаяся в приложениях. Как я уже говорил, учить ей студентов, как минимум, сомнительно.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #882547 писал(а):

но студентов, похоже, предлагаете учить идеологии интуиционизма и конструктивной математики.

Это какие-то странные домыслы, имеющие мало общего с действительностью.

-- 30.06.2014, 20:09 --

mishafromusa в сообщении #882550 писал(а):

Потому что мы в аксиому выбора верим?

Нет, это потому, что стандартная топология на отрезке имеет счётную базу.

-- 30.06.2014, 20:27 --

g______d в сообщении #882547 писал(а):

Можно более подробно?

Пожалуйста. Дуальная формулировка такая: возьмём счётный набор замкнутых подмножеств отрезка, такой, что любой его конечный поднабор имеет непустое персечение.Тогда и весь набор имеет непустое персечение. Занумеруем эти множества натуральными числами, и для каждого $n$ выберем точку из пересечения первых $n$ множеств. Получим последовательность. Выберем из неё сходящуюся подпоследовательность. Тогда её предел содержится в любом множестве нашего набора, т.к. все они замкнуты, стало быть, пересечение всех множеств непусто, чтд. Теперь понятно?

[g______d]

mishafromusa в сообщении #882550 писал(а):

Нет, это потому, что стандартная топология на отрезке имеет счётную базу.

И что? Вы как минимум пользуетесь тем фактом, что бесконечное множество имеет счетное подмножество.

mishafromusa в сообщении #882550 писал(а):

Получим последовательность. Выберем из неё сходящуюся подпоследовательность.

Воспользовавшись компактностью, которую мы доказываем?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #882553 писал(а):

И что? Вы как минимум пользуетесь тем фактом, что бесконечное множество имеет счетное подмножество.

Где я использую это? И вообще, в чём цель этой дискуссии? Вы хотите продемонстрировать, что я не понимаю о чём я говорю?

-- 30.06.2014, 21:45 --

g______d в сообщении #882553 писал(а):

Воспользовавшись компактностью, которую мы доказываем?

Существование сходящейся подпоследовательности доказывается последовательным делением пополам отрезка, содержащего бесконечное число членов последовательности. Вообще я уже не понимаю чего Вы от меня хотите.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #882554 писал(а):

Существование сходящейся подпоследовательности доказывается последовательным делением пополам отрезка, содержащего бесконечное число членов последовательности. Вообще я уже не понимаю чего Вы от меня хотите.

Вы вроде обещали продемонстрировать, как доказывается компактность отрезка без использования доказательства от противного. Существование сходящейся подпоследовательности – и есть компактность. И я пока не вижу, как Вы её доказываете без прибегания к указанному приёму. Деление пополам – это в чистом виде доказательство от противного (предположим, что в обеих половинках конечное количество членов последовательности. Тогда и вся последовательность конечна. Противоречие).

[mishafromusa]

g______d в сообщении #882465 писал(а):

слабо доказать компактность без отпротивного?

Наверное Вы имели в виду деление отрезка пополам и разговор о том, что одна из половин не имеет конечного подпокрытия если весь отрезок не имеет?

[g______d]

mishafromusa в сообщении #882556 писал(а):

Наверное Вы имели в виду деление отрезка пополам и разговор о том, что одна из половин не имеет конечного подпокрытия если весь отрезок не имеет?

Нет, я имел в виду именно рассуждение про подпоследовательности. Хотя проблема здесь та же самая.

Попробуйте записать своё доказательство чуть более последовательно, и я покажу, в какой там момент возникает доказательство от противного. Ну или не покажу, тогда узнаю что-то новое для себя.

[mishafromusa]

Один известный математик пришёл в Гвинею погулять. Его поймали, арестовали, велели паспорт показать. Он не показывал, а всё доказывал... Его не слушали, а взяли да и скушали.

-- 30.06.2014, 22:55 --

g______d в сообщении #882557 писал(а):

Попробуйте записать своё доказательство чуть более последовательно

Лень, где от противного? Я строю сходящуюся подпоследовательность делением отрезка пополам и выбором половины, содержащей бесконечное чисо членов, потом эта половина опять делится пополам, итд.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #882558 писал(а):

Лень, где от противного?

В утверждении "хотя бы в одном из отрезков $[0,\frac12]$ или $[\frac12,1]$ содержится бесконечно много членов последовательности".

-- Пн, 30 июн 2014 19:59:14 --

(Оффтоп)

ewert в сообщении #882498 писал(а):

доказать сильнО -- это уже с мордобоем.

Именно!

-- Пн, 30 июн 2014 20:01:28 --

mishafromusa в сообщении #882558 писал(а):

выбором половины, содержащей бесконечное чисо членов

Вот существование этой половины и доказывается от противного. Ну я по-другому не умею, по крайней мере.