Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[g______d]

mishafromusa в сообщении #882193 писал(а):

сначала докажите, что матан непротиворечив, а потом пользуйте.

Индукцию тоже не признаёте?

Сказали бы сразу, что интуиционист, я бы время не тратил.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #882195 писал(а):

mishafromusa в сообщении #882193 писал(а):

сначала докажите, что матан непротиворечив, а потом пользуйте.

Индукцию тоже не признаёте?

Странная догадка.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #882200 писал(а):

Странная догадка.

Мне казалось, что доказательство по индукции тоже не является конструктивным доказательством и не признаётся интуиционистами. Впрочем, по-видимому, есть разные варианты, я в логике плохо разбираюсь.

В любом случае, этот подход к математике является значительно менее распространённым, чем традиционный, и основывать на нём массовый курс анализа как минимум спорно.

[mishafromusa]

Непрерывные функции признают даже интуиционисты, но я лично ни к какой идеологии не принадлежу, хотя и считаю доказательства от противного второсортными, и не люблю когда ими злоупотребляют.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #882204 писал(а):

считаю доказательства от противного второсортными, и не люблю когда ими злоупотребляют.

Студенты не должны от этого страдать.

-- Пн, 30 июн 2014 01:51:25 --

Ну т. е. Вы, разумеется, вправе рассказывать студентам без доказательств от противного. Но речь шла не об этом, проследим: Вы говорили, что доказательство теоремы о достижении максимума занудно. Я предложил менее занудный вариант (абсолютно стандартный, кстати). Вы сказали, что он плохой, потому что использует доказательство от противного.

Давайте определимся, с чем мы боремся: с занудством (которого, как я по-прежнему считаю, нет при нормальном изложении) или с доказательствами от противного?

[ewert]

g______d в сообщении #882211 писал(а):

Я предложил менее занудный вариант

Он чуть-чуть жульнический (методологически): прибегая к половинному делению, Вы фактически дублируете доказательство принципа компактности.

На самом деле наиболее экономный вариант -- доказывать обе части теоремы Вейерштрасса одновременно. Принцип компактности принимаем за святое. Тогда так.

Пусть $M$ -- супремум значений функции на данном отрезке (случай $M=+\infty$ заранее не исключается). Выберем такую последовательность точек $\{x_n\}$ отрезка, что $f(x_n)\to M$. Согласно принципу компактности, некоторая подпоследовательность этих точек сходится к какой-то точке отрезка: $x_{n_k}\to z$. Тогда в силу непрерывности функции $\lim\limits_{k\to\infty}f(x_{n_k})=f(z)$, и в то же время $\lim\limits_{k\to\infty}f(x_{n_k})=M$. В частности, это означает, что $M\neq+\infty$, т.е. что функция ограничена сверху. Ч.т.д.

[Munin]

g______d в сообщении #882201 писал(а):

В любом случае, этот подход к математике является значительно менее распространённым, чем традиционный, и основывать на нём массовый курс анализа как минимум спорно.

А вот это, кстати, интересно. Когда ученики слушают курс матанализа, они сами ещё ни традиционалисты, ни интуиционисты. Встаёт вопрос, "обращать ли их в свою веру".

[ewert]

Munin в сообщении #882310 писал(а):

Встаёт вопрос, "обращать ли их в свою веру".

Munin в сообщении #882310 писал(а):

как минимум спорно.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #882317 писал(а):

Принцип компактности принимаем за святое.

Умом компактность не понять, аршином общим не измерить: её б за аксиому взять -- в компактность можно только верить.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #882453 писал(а):

Умом компактность не понять, аршином общим не измерить: её б за аксиому взять -- в компактность можно только верить.

В чем проблема ее доказать (в одну строчку), если полнота уже известна? Кстати, слабо доказать компактность без отпротивного?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #882465 писал(а):

слабо доказать компактность без отпротивного?

Не слабо, а противно.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #882470 писал(а):

Не слабо, а противно.

Хм, то есть доказательства без "от противного" Вам противны тоже. Что же тогда остается?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #882465 писал(а):

В чем проблема ее доказать

Для этого нужно принять на веру, что мы можем решить какая половина отрезка содержит бесконечное число членов последовательности, и сделать это решение бесконечное число раз.

-- 30.06.2014, 16:06 --

mishafromusa в сообщении #882474 писал(а):

Что же тогда остается?

Пардон, не заметил 'без,' надо подумать, хотя это идеологическая часть предмета, ближе к общей топологии.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #882474 писал(а):

Пардон, не заметил 'без,' надо подумать, хотя это идеологическая часть предмета, ближе к общей топологии.

Это довольно серьезный момент. Пока что получается, что Вы не признаете никаких доказательств, использующих компактность; ну или как минимум считаете их противными и недостойными рассказывания студентам.

[Munin]

g______d в сообщении #882465 писал(а):

Кстати, слабо доказать компактность без отпротивного?

Пгостите, а не поясните ли мне незнакомый термин "слабо доказать"? :-)