Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[mishafromusa]

Deggial: Тема выделена из темы Теоретическая механика, ТММ

robot80 в сообщении #863922 писал(а):

Но я смотрю с высоты своей колокольни и вижу, что скажем математика для наших студентов - это какая-то непонятная абракадабра, которую надо просто преодолеть и пережить. Особой, ясно видимой связи между высшей математикой (матрицами, производными, интегралами, дифурами) и последующими спецпредметами у нас в нашем провинциальном ВТУЗе нет. Поэтому изучать мёртвый язык, овладевать ненужными навыками мне представляется бессмысленным.

Munin в сообщении #86419[quote="Munin в [url=http://dxdy.ru/post864198.html#p864198]сообщении #864198 писал(а):

Не знаю, пожалуй, вы правы. Действительно, интегралы, производные и дифуры для этих специальностей не нужны, но уж совсем их не дать - как-то совсем странно, так что какие-то "экскурсы" для общей эрудиции, аналогичные походу в картинную галерею, впихнуть было бы можно. Действительно, с большим количеством рукомахания и мультяшек-демонстрашек, чтобы слушатели в принципе познакомились с тем, что математика может, если им вдруг понадобится.

Вам обоим может быть интересна лекция В. А. Рохлина "Преподавание математики нематематикам" на
http://www.mathsoc.spb.ru/pantheon/rokhlin/lecture.html Мне её показала одна знакомая несколько лет назад, и она мне так понравилась, что я сразу перевёл её на английский http://mathfoolery.wordpress.com/category/calculus/ В.А. рассказывает о том, как можно было бы объяснить интегрирование по-человечески, без математического педантизма. Про дифференцирование он к сожалению не рассказал, но и его можно значительно упростить, не жертвуя "математической строгостью." Эти изменения могли бы сделать "высшую" математику гораздо доступнее для понимания, но увы, похоже, что почти ничего не изменилось за более чем 30 лет после этой лекции.

[Munin]

mishafromusa
Спасибо огромное! Замечательная лекция! Во многом созвучна тому, что я говорил и "чувствовал", и в чём пытался убедить оппонентов, например, здесь: «Об использовании математических понятий в физике»

-- 31.05.2014 15:16:58 --

«Беседа об интегралах (осознанности взятия оных)»

-- 31.05.2014 15:55:22 --

«нужно ли давать векторное произведение в школе?»

[Munin]

«Мат. аппарат квант. мех.»

[mishafromusa]

Munin в сообщении #869916 писал(а):

Замечательная лекция! Во многом созвучна тому, что я говорил и "чувствовал", и в чём пытался убедить оппонентов, например, здесь: «Об использовании математических понятий в физике»

Да, мощная дискуссия, жаль, что не удалось мне поучаствовать. Меня удручает насколько у людей мозги запудрены пределами и прочей математической идеологией. Я тоже вот 2009 году начал писать статью с идеями как подойти к дифференцированию попроще и попонятней, да так и не закончил. Почитайте, может понравится: http://www.mathfoolery.com/Article/simpcalc-v1.pdf надеюсь, что меня не выгонят с этого форума за саморекламу

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa в сообщении #869960 писал(а):

Почитайте, может понравится: http://www.mathfoolery.com/Article/simpcalc-v1.pdf надеюсь, что меня не выгонят с этого форума за самореклам

а Вы откройте ветку и объясните коротенько в чем пафос. Я думаю , что коллективными усилиями Вам мозги от пудры очистят. (не обижайтесь, термин Ваш)

[Munin]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #870016 писал(а):

Я думаю , что коллективными усилиями Вам мозги от пудры очистят.

Ну, если вам не удаётся, то почему удастся кому-то другому?

[Oleg Zubelevich]

насколько я понимаю, автор претендует на какую-то концептуальную новизну. новизны никакой нет. есть просто чудовищное сужение класса рассматриваемых функций за счет того, что липшицевость у него не локальная , а глобальная.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #870055 писал(а):

есть просто чудовищное сужение класса рассматриваемых функций

А нам надо на практике дифференцировать хоть что-то не кусочно-непрерывное?

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich, это не существенно, с локальными оценками тоже всё получается. С чисто математической точки зрения я на новизну не претендую, это скорее замечания о преподавании и содержании предмета, хотя и говорят, что новое -- это хорошо забытое старое

-- 31.05.2014, 15:47 --

Munin в сообщении #870048 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #870016 писал(а):

Я думаю , что коллективными усилиями Вам мозги от пудры очистят.

Ну, если вам не удаётся, то почему удастся кому-то другому?

Ну вот, сразу в атаку, за родную математику Хорошо, попробую открыть, хотя и не жду "тёплого приёма."

-- 31.05.2014, 15:53 --

Munin в сообщении #870057 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #870055 писал(а):

есть просто чудовищное сужение класса рассматриваемых функций

А нам надо на практике дифференцировать хоть что-то не кусочно-непрерывное?

Вот в том то и дело, что нет, в особенности во вводном курсе для нематематиков, где всё даже кусочно-аналитическое. А для "не кусочно-непрерывного" есть обощённые функции.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #870057 писал(а):

А нам надо на практике дифференцировать хоть что-то не кусочно-непрерывное?

дело не в этом, глобальная липшицевость приводит к условиям на рост функций, например, $x^2$ глобально липшицевой функцией не является

mishafromusa в сообщении #870061 писал(а):

не существенно, с локальными оценками тоже всё получается.

вот именно, и когда Вы проработаете все эти нюансы, Вы увидите, что ничего проще общеупотребительных определений Вам не придумать, имхо, разумеетсяч

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #870097 писал(а):

дело не в этом, глобальная липшицевость приводит к условиям на рост функций, например, $x^2$ глобально липшицевой функцией не является

А я и не рассматриваю функции на всей оси, только на конечном интервале.

-- 31.05.2014, 20:51 --

Oleg Zubelevich в сообщении #870097 писал(а):

Вы проработаете все эти нюансы, Вы увидите, что ничего проще общеупотребительных определений Вам не придумать,

Цель совсем не в построении "всеобъемлющей" теории, а в том, чтобы на каждом этапе развития теории она была бы адэкватна для решения содержательных задач, не использовала зубодробительных понятий типа компактности и полноты и давала бы обоснование вычислительных методов и идеи для обобщений, позволяя двигаться от простого к сложному. Вообще простота общеупотребительных определений очень и очень иллюзорна, как указывал ещё Герман Вейль в своей книжке "Континуум."

Общепринятое определение производной приводит к серьёзным трудностям с их интегрированием и с доказательством интуитивно понятного факта, что функции с положительной производной возрастают.

И вообще зачем даже упоминать полноту вещественных чисел, общую непрерывность и пределы даже до того, как ученики познакимились с самыми простыми приложениями и задачами, которые этих понятий вовсе не требуют, в особенности если учащиеся не собираются профессионально заниматься математикой?

[mishafromusa]

Кстати об общности. Предлагаемый подход рассматривает дифференцирование, как некоторый аспект разложения на множители и применения неравенств. И с неравенствами, и с разложением на множители учащиеся уже знакомы, когда они берутся за дифференцирование. Подход элементарен и работает для широкого класса функций. Он сразу выявляет алгебраическую структуру дифференцирования и упрощает докaзательство основных теорем. С другой стороны, общепринятое определение производной является частным случаем этого подхода, когда разложение на множители происходит для функций от $x$, непрерывных в точке $a$.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #870116 писал(а):

А я и не рассматриваю функции на всей оси, только на конечном интервале.

Это ровно и называется локальной липшицевостью, только очень-очень застенчивой.

mishafromusa в сообщении #870122 писал(а):

Подход элементарен и работает для широкого класса функций. Он сразу выявляет алгебраическую структуру дифференцирования

Все эти алгебраические штучки имеют как минимум два недостатка: 1) маскируют физический смысл понятия и 2) создают иллюзию, что практические вычисления можно осуществлять точно.

[robot80]

mishafromusa
Спасибо за ссылку.
Тоже никогда не мог понять, зачем мы рассказываем студентам про эти пределы (на это тратится уйма времени). Тем более, что стиль изложения стандартных учебников обычно таков, что от пределов ничего предельного не остаётся - только набор алгебраических преобразований для раскрытия неопределённостей. Единственное место в курсе высшей математики для ВТУЗов, где пределы конструктивно используются - это исследование поведение функции вблизи асимптот: никто ведь не вычисляет производную и определённый интеграл по определению.
Более того, получается так, что теория пределов весьма разрозненная: предел последовательности - это одно, а предел функции - абсолютно другое. Использование определения по Гейне как-то скрашивает ситуацию (все сводится к последовательностям), но получаются жуткие, сложные выражения.
----------------
Определние определенного интеграла через площадь - это конечно интересно, но теряется единый взгляд и подход к определению разных интегралов.
--------------

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa в сообщении #870116 писал(а):

А я и не рассматриваю функции на всей оси, только на конечном интервале.

в Вашем тексте про это ничего не сказано

mishafromusa в сообщении #870122 писал(а):

Он сразу выявляет алгебраическую структуру дифференцирования и упрощает докaзательство основных теорем.

покажите доказательство которое упростилось по сравнению со стандартным