Если число принадлежит всему отрезку, но не принадлежит правому полуотрезку, то оно принадлежит левому, потому что весь отрезок минус правый полуотрезок -- это левый полуотрезок минус средняя точка.
Не понимаю этого "потому что". Определение разности множеств:
![$B\setminus A=\{x\in B\colon x\notin A\}$ $B\setminus A=\{x\in B\colon x\notin A\}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/b/68b7708b7a4bf2cd41187508afd5b20a82.png)
. Равенство
![$B=A\cup(B\setminus A)$ $B=A\cup(B\setminus A)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/2/4129c8af1f448452947e8d54a428507a82.png)
– это не определение, а теорема, и доказывается она от противного. Можно, конечно, эту теорему постулировать, но тогда придётся доказывать первое равенство; и, кроме того, если мы постулируем второе равенство, мы фактически принимаем за аксиому принцип исключённого третьего, которого достаточно более-менее для всех доказательств от противного.
И потом вот что: принцип исключённого третьего не избавляет нас от противоречий в наших теориях, т.е. доказательства от противного остаются второсортными.
Этого вообще не понял. От противоречий нас не избавляет ничего. А принцип исключённого третьего гласит, что если отрицание
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
приводит к противоречию, то
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
верно; в принципе, конечно, может оказаться, что теория противоречива, но тогда
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
тем более верно.