2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61 ... 67  След.
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение01.07.2014, 08:35 


12/02/14
808
Да всё дифференцирование, интегрирование и ОДУ в равномерном контексте гораздо толще, а именно они и нужны технарям и физикам. Вообще вопросы существования тоньше, чем вопроры "как это посчитать," и часто, когда понятно как посчитать, существование тоже становится понятным.

-- 01.07.2014, 01:47 --

g______d в сообщении #882597 писал(а):
По-моему, как раз отказ от принципа исключённого третьего с интуитивной точки зрения совершенно неестественен;

Ну что Вы прицепились к этому? Вопрос же совсем не о том.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение01.07.2014, 08:49 
Заслуженный участник


11/05/08
31548
mishafromusa в сообщении #882599 писал(а):
Да всё дифференцирование, интегрирование и ОДУ

Прежде чем дифференцировать, интегрировать и одить -- разберитесь сначала с максимумами. Сможете?

mishafromusa в сообщении #882599 писал(а):
и часто, когда понятно как посчитать, существование тоже становится понятным.

А ещё чаще -- наоборот. В тех же ОДУ: существует ли решение у краевой задачи? Пока не разберёшься с этим вопросом -- будешь до посинения всё считать, считать... Причём именно до посинения, т.к считать придётся, естественно, численно. Аналогично -- с суммированием рядов и вычислением несобственных интегралов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение01.07.2014, 08:52 


12/02/14
808
g______d в сообщении #882597 писал(а):
Физикам как раз гораздо ближе классическая математика, а не конструктивная.
Хорошо, пускай будет классическая, но что им интереснее: дифуры или компактность?

-- 01.07.2014, 01:56 --

ewert в сообщении #882605 писал(а):
Прежде чем дифференцировать, интегрировать и одить -- разберитесь сначала с максимумами. Сможете?
А почему? Потому что Вам удобнее иметь один учебник на всех, и написанный так, что без глав 3 и 4 не понять главу 5? Или лень сначала объяснить про дифференцирование, интегрирование и ОДУ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение01.07.2014, 08:58 
Заслуженный участник


11/05/08
31548
mishafromusa в сообщении #882606 писал(а):
А почему?

Потому, что этот вопрос фундаментальнее и интуитивно проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение01.07.2014, 09:00 


12/02/14
808
И вообще Коши не знал о равномерной непрерывности и дифференцируемости, если бы знал -- не стал бы заниматься поточечными.

-- 01.07.2014, 02:02 --

ewert в сообщении #882609 писал(а):
mishafromusa в сообщении #882606 писал(а):
А почему?

Потому, что этот вопрос фундаментальнее и интуитивно проще.
Фундаментальнее с чисто логической точки зрения, и совсем не проще, особенно существование, при этом дифференцирование помогает вычислять минимумы и максимумы, так что начинать с максимумов -- это задом наперёд.

-- 01.07.2014, 02:19 --

mishafromusa в сообщении #882611 писал(а):
А ещё чаще -- наоборот.
По-разному бывает, существование решения краевой задачи можно доказать, начав с метода конечных разностей, существование интеграла -- методом прямоугольников или трапеций, итд. И пока мы не видели ни производных, ни интегралов, ни ОДУ, существование чего доказывать-то?

-- 01.07.2014, 02:57 --

Между прочим, Дедекинд не публиковал свои сечения лет 10, потому что считал их совершенно неинтересными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение01.07.2014, 10:10 
Заслуженный участник


11/05/08
31548
mishafromusa в сообщении #882611 писал(а):
существование решения краевой задачи можно доказать, начав с метода конечных разностей,

Нельзя, ибо нужен критерий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение01.07.2014, 12:14 


12/02/14
808
ewert в сообщении #882625 писал(а):
Нельзя, ибо нужен критерий.
Критерий чего? А что делать, если нету критерия, а решить позарез надо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение01.07.2014, 15:53 


12/02/14
808
ewert в сообщении #882094 писал(а):
Но потом всё равно свалился в математику -- у нас на физфаке была достаточно крутая математическая школа.
Интересно... Вы может и с Бирманом встречались?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение01.07.2014, 17:26 
Заслуженный участник


11/05/08
31548

(Оффтоп)

mishafromusa в сообщении #882782 писал(а):
Вы может и с Бирманом встречались?

Может, и встречался. И хотя это и оффтопик -- он был не в пример сознательнее Вас.

Да, кстати, предугадывая: с Башмаковым (которому Вы явно подражаете) -- я тоже встречался. Ответ -- ровно тот же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение01.07.2014, 20:05 


12/02/14
808
ewert в сообщении #882829 писал(а):
Да, кстати, предугадывая: с Башмаковым (которому Вы явно подражаете) -- я тоже встречался.
Башмакова ни разу не видел, и не знаком с его воззрениями, хотя и слышал фамилию, т.к. мой папа работал в герценовском. Как тесен мир.... А что, Башмаков тоже хотел начать с дифференцирования?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение02.07.2014, 01:52 


12/02/14
808
g______d в сообщении #882555 писал(а):
Деление пополам – это в чистом виде доказательство от противного (предположим, что в обеих половинках конечное количество членов последовательности. Тогда и вся последовательность конечна. Противоречие).
Я вчера утомился этим разговором, и не нашёл ответa, а теперь я вижу, что никакого доказательства от противного тут не нужно. Достаточно заметить, что если из бесконечной последовательности удалить конечное число элементов, то останется бесконечная последовательность.

К сожалению доказательства от противного часто применяются там, где они совсем ни к месту, и даже усложняют рассуждения. Зачем это делается? Ну просто иногда автору или лектору хочется покрасоваться перед аудиторией, так как доказательство от противного многие рассматривают, как знак математической изощрённости, а иногда просто по недомыслию. Вот например начало лекции Теренса Тао о простых числах: https://www.youtube.com/watch?v=lqKSXk5Xwg8 Он доказывает бесконечность простых чисел. Сначала допускает, что их конечное число, потом берёт их произведение, прибавляет 1 и говорит, что это число не делится ни на одно из простых, что противоречит основной теореме арифметики. А вот у Евклида не совсем так. Он берёт для примера 3 числа, перемножает их, прибавляет 1 и замечает, что любой простой делитель полученного числа не может быть равен ни одному из трёх взятых простых чисел. Этот приём, замечает Евклид, работает для любого конечного набора простых чисел, стало быть их бесконечно много. А вот редактор тут вмешивается и всё-таки пытается истолковать рассуждение Евклида, как доказательсво от противного т.е. предполагает, что список простых чисел конечен, и говорит, что трюк Евклида предъявляет простое число не из этого списка -- противоречие. Сразу видно, что Евклид -- отличный математик, а редактор -- так себе. Это нелепо, т.к. происходит вот что: предполагается, что теорема неверна, потом она доказывается, и объявляется противоречие. Я видел это много раз, и каждый раз удивлялся.

Ещё один пример того же самого: доказательство несчётности множества вещественных чисел. Сначала предполагают, что оно счётно, и располагают его в последовательность, потом диагональным процессом Кантора строят число, не содержащееся в этой последовательности, и объявляют противоречие. Сразу видно, что доказательство от противного тут совершенно не по делу. Можно просто взять любой счётный список вещественных чисел и диагональным процессом построить число вне этого списка, и это доказывает теорему. Вообщем, смешно и противно. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение02.07.2014, 01:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5299
mishafromusa в сообщении #882999 писал(а):
Достаточно заметить, что если из бесконечной последовательности удалить конечное число элементов, то останется бесконечная последовательность.


А как это доказывается, кроме как от противного?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение02.07.2014, 02:04 


12/02/14
808
g______d в сообщении #883002 писал(а):
mishafromusa в сообщении #882999 писал(а):
Достаточно заметить, что если из бесконечной последовательности удалить конечное число элементов, то останется бесконечная последовательность.
А как это доказывается, кроме как от противного?
А вот как: любое конечное множество натуральных чисел ограничено сверху. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение02.07.2014, 02:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5299
Хорошо. А как из этого выводится утверждение про последовательности? Т. е. почему если бесконечное множество разбито на два подмножества, то одно из них бесконечно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение02.07.2014, 02:21 


12/02/14
808
g______d в сообщении #883007 писал(а):
Хорошо. А как из этого выводится утверждение про последовательности? Т. е. почему если бесконечное множество разбито на два подмножества, то одно из них бесконечно?
Это не множество, а последовательность. Применяя предыдущее замечание к её индексам, получаем, что если одна часть конечна, то другая бесконечна. Если занумеровать элементы множества, то получится и для множеств.

-- 01.07.2014, 19:34 --

Ну вот Вы чему-то новому и научились. :D

-- 01.07.2014, 19:56 --

ewert в сообщении #882829 писал(а):
mishafromusa в сообщении #882782 писал(а):
Вы может и с Бирманом встречались?
-- он был не в пример сознательнее Вас.
Да, он был человеком очень осторожным, всё время беспокоился как бы чего не вышло, в отличии от Рохлина.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 991 ]  На страницу Пред.  1 ... 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61 ... 67  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group