Структура вещества в ЧД

[Утундрий]

myhand в сообщении #699113 писал(а):

Вам ведь был интересен ответ на вопрос, или я что-то упустил?

Мне было интересно узнать. А так я лишь принял к сведению.

[schekn]

KVV в сообщении #698927 писал(а):

Я на время вообще забываю о существовании уже найденных до меня метрик и СК. У меня есть уравнения Эйнштейна и примерный вид интервала, какой я хочу в итоге получить, налагая определенные условия. Первое - я хочу, чтобы СК была синхронной (ЛЛ2, п. 97), а значит я задаю , . Второе - я хочу, чтобы СК была центрально-симметричной, а потому у меня функции , не зависят от и , и одна из неизвестных функций пропорциональна . Все. Дальше дело техники - тензор Риччи и решение системы ДУЧП относительно , . Что тут непонятного?

Вы просто выписали путь как получить метрику Леметра и собственно ее в конце и привели, а не
метрику Эддингтона-Финкельштейна. Это первое. И второе, мне не нравится один момент именно в ЛЛ-2, но я сейчас не готов конкретно обсудить его, может в отдельной теме, как будет время.

-- 22.03.2013, 12:29 --

VladTK в сообщении #698907 писал(а):

Нет конечно. apv же в post697068.html#p697068 пояснил, что это невозможно.Расчет можно провести в декартовых координатах, как сказал KVV. Было бы интересно посмотреть на точный результат...

Он как бы пояснил, но еще больше запутал. Вы можете пояснить, почему неожиданно такая " тяга" к декартовым координатам в данном вопросе? Не есть ли это противоречие к общим положениям ОТО? И еще, если я хочу посчитать полную энергию поля вне шара радиуса $r=r_g+\varepsilon$,
где $\varepsilon$ - малая величина, то как следует поступать?

[SergeyGubanov]

Цитата:

И еще, если я хочу посчитать полную энергию поля...

Всё никак в толк не возьму чем вы сейчас тут занимаетесь . Энергия есть значение Гамильтониана взятое на решении уравнений движения. В ОТО значение Гамильтониана равно нулю в силу "$00$" уравнения Эйнштейна-Гильберта

$$H = \int \left( T_{0 0} - \frac{c^4}{8 \pi k} G_{0 0} \right) \sqrt{-g} \, d_3 x = 0$$

Чего сопли разводить про какую-то там нелокализуемость плотности энергии в ОТО если она всё равно всюду равна нулю?

[KVV]

Munin в сообщении #699591 писал(а):

KVV в сообщении #699583 писал(а):

Считать в конечном объеме бессмысленно, ибо нелокализуемость.

Нет, ну не настолько же. В смысле островной системы, наверное, локализуемо. И можно взять асимптотику для бесконечного радиуса...

Я имел в виду, что абсурдно считать (полную) энергию гравитационного поля в конечном объеме, не охватывающем все это поле. : )
Получим зависящую от координат (и разных суперпотенциалов) неинвариантную ерунду.

schekn в сообщении #699721 писал(а):

Вы просто выписали путь как получить метрику Леметра и собственно ее в конце и привели, а не метрику Эддингтона-Финкельштейна.

Я запутался с фамилиями. Точно, Леметра. Но к сути это отношения не имеет. Я показал, что к СК Леметра можно прийти тем же путем, что и к СК Шварцшильда - напрямую решая уравнение Эйнштейна.

schekn в сообщении #699721 писал(а):

Он как бы пояснил, но еще больше запутал. Вы можете пояснить, почему неожиданно такая " тяга" к декартовым координатам в данном вопросе?

Пфуу... Чем вы читали то, что написал apv? По условию, для вычисления интегральных потоков система координат должна быть галилеевой на бесконечности. Метрика Шварцшильда в сферических координатах таковой не является. Метрика Шварцшильда в декартовых координатах - галилеева на бесконечности.

schekn в сообщении #699721 писал(а):

Не есть ли это противоречие к общим положениям ОТО?

Нет.

schekn в сообщении #699721 писал(а):

И еще, если я хочу посчитать полную энергию поля вне шара радиуса $r=r_g+\varepsilon$,
где $\varepsilon$ - малая величина, то как следует поступать?

Полную энергию поля вы таким образом не получите.

[Munin]

schekn в сообщении #699721 писал(а):

Вы просто выписали путь как получить метрику Леметра и собственно ее в конце и привели, а не метрику Эддингтона-Финкельштейна. Это первое.

А вот между собой эти координаты соотносятся уже безо всяких сингулярных преобразований, так что это строго одна и та же метрика на одном и том же многообразии Вам мат.

schekn в сообщении #699721 писал(а):

Вы можете пояснить, почему неожиданно такая " тяга" к декартовым координатам в данном вопросе? Не есть ли это противоречие к общим положениям ОТО?

-- 22.03.2013 14:55:03 --

KVV в сообщении #699794 писал(а):

По условию, для вычисления интегральных потоков система координат должна быть галилеевой на бесконечности. Метрика Шварцшильда в сферических координатах таковой не является. Метрика Шварцшильда в декартовых координатах - галилеева на бесконечности.

Простите, а что такое галилеевость, не напомните?

[KVV]

СК с метрическим тензором $g_{00}=1$, $g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1$, $g_{ik}=0$, если $i\ne k$. А к чему вопрос?

[Munin]

Просто уточнил. Нигде, кроме Ландау-Лифшица, это понятие не применяется. В МТУ, например, - нормальные координаты.

[KVV]

У Пенроуза в СПВ тоже упоминаются.

[VladTK]

KVV в сообщении #699583 писал(а):

Ну и прекрасно. Единственная возможность получить здесь что-то осмысленное - интегрировать по поверхности сферы бесконечного радиуса, чтобы охватить гравитационное поле полностью. Считать в конечном объеме бессмысленно, ибо нелокализуемость. Перечитайте МТУ и Вайнберга.

KVV, все уже давно перечитано. А нелокализуемость тоже должна иметь свои пространственные пределы, иначе невозможно будет объяснить обмен энергией-импульсом между гравитационным полем и веществом (особенно в случае с гравитационными волнами). Рассчитываемая энергия-импульс сферы конечного радиуса, между прочим, тоже не является локальной величиной. Так что не все так радужно...

Munin в сообщении #699591 писал(а):

KVV в сообщении #699583 писал(а):

Считать в конечном объеме бессмысленно, ибо нелокализуемость.

Нет, ну не настолько же. В смысле островной системы, наверное, локализуемо. И можно взять асимптотику для бесконечного радиуса...

Если брать метрику со вторыми поправками (105.16), то интеграл для 4-импульса становится неоднозначным: разные суперпотенциалы дадут разное значение. Проще всего это увидеть с обобщениями суперпотенциала Ландау-Лифшица (из монографии Н.В.Мицкевича "Физические поля в ОТО" - формула (3.7.37) )

$$ h^{\alpha \sigma \tau}=\frac{c^4}{16 \pi G} \partial_{\beta} \left \{ (-g)^A (g^{\alpha \sigma} g^{\beta \tau}-g^{\alpha \tau} g^{\meta \sigma} ) \right \} $$

где $A$ - произвольное действительное число. При любом $A$ такой суперпотенциал удовлетворяет всем необходимым требованиям (в том числе он симметричен, при $A=1$ мы имеем суперпотенциал Ландау-Лифшица). Если мы берем метрику в первом приближении ( (105.2) из ЛЛ-2 ), то первая поправка к определителю метрики исчезает, и все такие суперпотенциалы дают одно и тоже значение для 4-импульса. Во втором же приближении для метрики поправка к определителю метрики уже ненулевая и разные суперпотенциалы дают разные интегралы. Данная неоднозначность, как ясно из изложенного, несущественна для полного 4-импульса. Но для сферы конечного радиуса это крайне неприятный результат.

schekn в сообщении #699721 писал(а):

VladTK в сообщении #698907 писал(а):

Нет конечно. apv же в post697068.html#p697068 пояснил, что это невозможно.Расчет можно провести в декартовых координатах, как сказал KVV. Было бы интересно посмотреть на точный результат...

Он как бы пояснил, но еще больше запутал. Вы можете пояснить, почему неожиданно такая " тяга" к декартовым координатам в данном вопросе? Не есть ли это противоречие к общим положениям ОТО? И еще, если я хочу посчитать полную энергию поля вне шара радиуса $r=r_g+\varepsilon$,
где $\varepsilon$ - малая величина, то как следует поступать?

"Тяга" к декартовым координатам в данном вопросе объясняется классическими определениями энергии-импульса в СТО. Именно в инерциальных СО (т.е. в декартовых координатах с галилеевой метрикой) эти определения формулируются максимально строго. Для недекартовых СК, как я понимаю, возникает определенный произвол в определении этих величин. Поэтому плохое поведение псевдотензоров в СК, которые не стремятся к декартовым на бесконечности (с галилеевой метрикой), обусловлено плохой определенностью самих искомых величин.

Предвидя Вашу возможную попытку упомянуть определения Фока для энергии-импульса-момента импульса в недекартовых СК в СТО, сразу скажу - я эти определения не понимаю в той мере, чтобы их адекватно использовать. Это показало одно обсуждение с epros-ом проблемы законов сохранения на этом форуме.

SergeyGubanov в сообщении #699778 писал(а):

Цитата:

И еще, если я хочу посчитать полную энергию поля...

Всё никак в толк не возьму чем вы сейчас тут занимаетесь . Энергия есть значение Гамильтониана взятое на решении уравнений движения. В ОТО значение Гамильтониана равно нулю в силу "$00$" уравнения Эйнштейна-Гильберта

$$H = \int \left( T_{0 0} - \frac{c^4}{8 \pi k} G_{0 0} \right) \sqrt{-g} \, d_3 x = 0$$

Чего сопли разводить про какую-то там нелокализуемость плотности энергии в ОТО если она всё равно всюду равна нулю?

А за счет чего тогда меняется энергия частицы, движущейся по геодезической? Так как, например, показано в (114.21) из ЛЛ-2.

KVV в сообщении #699794 писал(а):

schekn в сообщении #699721 писал(а):

И еще, если я хочу посчитать полную энергию поля вне шара радиуса $r=r_g+\varepsilon$,
где $\varepsilon$ - малая величина, то как следует поступать?

Полную энергию поля вы таким образом не получите.

Если schekn не против - я отвечу: а мы разве полную энергию поля считаем? KVV не подменяйте понятия.

[SergeyGubanov]

VladTK в сообщении #699931 писал(а):

А за счет чего тогда меняется энергия частицы, движущейся по геодезической? Так как, например, показано в (114.21) из ЛЛ-2.

Не помню что там показано в (114.21) из ЛЛ-2, а под рукой сейчас этой книжки нет, но, вы меня очень удивили.

Вообще-то, каноническая-гамильтонова энергия свободно падающей частицы есть константа. А какой-то другой энергии (не канонической-гамильтоновской) я не знаю.

То что каноническая-гамильтонова энергия сохряняется вот, смотрите:

По числу координат у нас есть произвол в выборе четырёх из десяти компонент метрического тензора. Воспользуемся этим произволом и выберем $g^{00} = 1$, оставшиеся девять компонент метрического тензора обозначим следующим образом:

$$g^{00} = 1, \quad g^{0 i} = \frac{1}{c} V^i, \quad g^{i j} = \frac{1}{c^2}V^i V^j - \gamma^{i j}$$

$$g_{00} = 1 - \frac{1}{c^2}\gamma_{i j} V^i V^j, \quad g_{0 i} = \frac{1}{c}\gamma_{i j} V^j, \quad g_{i j} = - \gamma_{ij}$$

$$\sqrt{-g} = \sqrt{\gamma}$$

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j} \left( dx^i - V^i dt \right) \left( dx^j - V^j dt \right)$$

Лагранжиан свободной частицы:

$$L= - m c^2 \sqrt{1 - \frac{1}{c^2} \gamma_{i j} \left( \frac{dx}{dt}^i - V^i \right) \left( \frac{dx}{dt}^j - V^j \right) }$$

Канонический импульс:

$$P_i = \frac{\partial L}{\partial \frac{dx}{dt}^i} = \frac{m \gamma_{i j} \left( \frac{dx}{dt}^j - V^j \right) }{\sqrt{1 - \frac{1}{c^2} \gamma_{i j} \left( \frac{dx}{dt}^i - V^i \right) \left( \frac{dx}{dt}^j - V^j \right) }}$$

Гамильтониан:

$$H = P_i \frac{dx}{dt}^i - L = c \sqrt{m^2 c^2 + \gamma^{i j} P_i P_j} + V^i P_i$$

$$\frac{1}{c^2}\left(H - V^i P_i \right)^2 - \gamma^{i j} P_i P_j = m^2 c^2$$

Гамильтоновы уравнения движения:

$$\frac{d p_i}{dt} = - \frac{\partial H}{\partial x^i}$$

$$\frac{d x^i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}$$

Гамильтониан сохраняется:

$$\frac{dH}{dt} = 0, \quad H = \operatorname{const}$$

В частности, частота фотона ($m = 0$) в выбранной системе координат тоже константа, а его гравитационное красное смещение объясняется тем, что в точке испускания и в точке поглощения собственное время $\tau$ источника и поглотителя течёт с разной скоростью:

$$d\tau = dt \sqrt{1 - \frac{1}{c^2}\gamma_{i j} V^i V^j} = \sqrt{g_{00}} \, dt$$

[KVV]

VladTK в сообщении #699931 писал(а):

KVV, все уже давно перечитано.

Читано, но видимо, не понято. Еще раз МТУ-2 п.20.4:
http://pixs.ru/showimage/errorjpg_1837310_7476699.jpg
Перечитывайте п.20.4 полностью и по много раз, пока не поймете.

VladTK в сообщении #699931 писал(а):

А нелокализуемость тоже должна иметь свои пространственные пределы

Т.е., гравитационное поле системы тоже должно иметь пространственные пределы?

VladTK в сообщении #699931 писал(а):

Рассчитываемая энергия-импульс сферы конечного радиуса, между прочим, тоже не является локальной величиной.

Это вообще бессмысленная и бесполезная величина, как размер обуви Буратино.

VladTK в сообщении #699931 писал(а):

"Тяга" к декартовым координатам в данном вопросе объясняется классическими определениями энергии-импульса в СТО.

Декартовы координаты выбрано как первые пришедшие в голову исключительно по требованию, о котором написано в МТУ (и других учебниках) и о котором упоминал apv:

Цитата:

Резюме: Попытки использовать формулы (20.9), не учитывая граничных условий Минковского (и, в частности, попытки просто применять их без изменения в криволинейных координатах), легко и неизбежно ведут к абсурду.




Цитата:

при вычислении 4-импулъса и момента импульса линеаризованной системы интегральные потоки (20.9) необходимо применять только в координатах, асимптотически переходящих в координаты Минковского. Если такие координаты не существуют (пространство-время не является асимптотически плоским на бесконечности), то необходимо полностью отказаться от интегральных потоков и снованных на них по определению величин: полной массы, импульса и момента импульса гравитирующего источника.

VladTK в сообщении #699931 писал(а):

Если schekn не против - я отвечу: а мы разве полную энергию поля считаем? KVV не подменяйте понятия.

Я лично здесь считал именно полный 4-импульс поля.

[SergeyGubanov]

SergeyGubanov в сообщении #699965 писал(а):

VladTK в сообщении #699931 писал(а):

А за счет чего тогда меняется энергия частицы, движущейся по геодезической? Так как, например, показано в (114.21) из ЛЛ-2.

Не помню что там показано в (114.21) из ЛЛ-2, а под рукой сейчас этой книжки нет, но, вы меня очень удивили.

Добрался до ЛЛ2 (114.21). Так ведь там же речь идёт про случай когда метрический тензор зависит от времени.

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j}(t) dx^i dx^j$$

$$H = c\sqrt{m^2 c^2 + \gamma^{i j}(t) P_i P_j}$$

$$\frac{\partial H}{\partial x^i} = 0 \, \to \, P_i = \operatorname{const}$$

В этом случае, разумеется, энергия свободной частицы тоже зависит от времени (Гамильтониан частицы явно зависит от времени).

Возвращаемся к исходному тезису.

Плотность энергии $\varepsilon = \varepsilon^{\rm (mat)} + \varepsilon^{\rm (grav)}$ складывается из плотности энергии обычной материи $\varepsilon^{\rm (mat)} = T_{00}$ и плотности энергии гравитационного поля $\varepsilon^{\rm (grav)} = -\frac{c^4}{8\pi k}G_{00}$. В ОТО плотность энергии равна нулю $\varepsilon = 0$. Разумеется когда от времени зависит $\varepsilon^{\rm (grav)}$ тогда и $\varepsilon^{\rm (mat)}$ тоже будет завистеть от времени. Так что ваш вопрос мне не очень понятен. А как иначе-то? Далее сам тезис: коль скоро в ОТО плотность энергии $\varepsilon$ всё равно всюду равна нулю, то какой смысл спорить об её локализуемости?

[VladTK]

KVV в сообщении #699975 писал(а):

Читано, но видимо, не понято. Еще раз МТУ-2 п.20.4:
http://pixs.ru/showimage/errorjpg_1837310_7476699.jpg
Перечитывайте п.20.4 полностью и по много раз, пока не поймете...

Т.е., гравитационное поле системы тоже должно иметь пространственные пределы?...

Воспользуйтесь сами своим советом. Особенно рекомендую перечитать несколько раз главу 35 из МТУ-3.

KVV в сообщении #699975 писал(а):

VladTK в сообщении #699931 писал(а):

Рассчитываемая энергия-импульс сферы конечного радиуса, между прочим, тоже не является локальной величиной.

Это вообще бессмысленная и бесполезная величина, как размер обуви Буратино.

Да ну??? Если поток энергии-импульса через поверхность сферы (т.е практически производная по времени от 4-импульса) для вас "бессмысленная и бесполезная величина", то мне сказать нечего.

KVV в сообщении #699975 писал(а):

VladTK в сообщении #699931 писал(а):

"Тяга" к декартовым координатам в данном вопросе объясняется классическими определениями энергии-импульса в СТО.

Декартовы координаты выбрано как первые пришедшие в голову исключительно по требованию, о котором написано в МТУ (и других учебниках) и о котором упоминал apv:...

Что по требованию МТУ - это понятно. А вот почему "первые пришедшие в голову"? Вам в голову могут придти и другие варианты?

SergeyGubanov в сообщении #700052 писал(а):

Добрался до ЛЛ2 (114.21). Так ведь там же речь идёт про случай когда метрический тензор зависит от времени.

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j}(t) dx^i dx^j$$

$$H = c\sqrt{m^2 c^2 + \gamma^{i j}(t) P_i P_j}$$

$$\frac{\partial H}{\partial x^i} = 0 \, \to \, P_i = \operatorname{const}$$

В этом случае, разумеется, энергия свободной частицы тоже зависит от времени (Гамильтониан частицы явно зависит от времени)...

Да, речь шла о нестационарных гравитационных полях.

SergeyGubanov в сообщении #700052 писал(а):

...Возвращаемся к исходному тезису.

Плотность энергии $\varepsilon = \varepsilon^{\rm (mat)} + \varepsilon^{\rm (grav)}$ складывается из плотности энергии обычной материи $\varepsilon^{\rm (mat)} = T_{00}$ и плотности энергии гравитационного поля $\varepsilon^{\rm (grav)} = -\frac{c^4}{8\pi k}G_{00}$. В ОТО плотность энергии равна нулю $\varepsilon = 0$. Разумеется когда от времени зависит $\varepsilon^{\rm (grav)}$ тогда и $\varepsilon^{\rm (mat)}$ тоже будет завистеть от времени. Так что ваш вопрос мне не очень понятен. А как иначе-то? Далее сам тезис: коль скоро в ОТО плотность энергии $\varepsilon$ всё равно всюду равна нулю, то какой смысл спорить об её локализуемости?

Во-первых, Вы идите против мэйнстрима Эта идея ("плотность полной энергии равна нулю") была предложена Лоренцем и Леви-Чивита в 1916 году. Она встретила активную критику, в частности со стороны Эйнштейна и в настоящее время практически не вспоминается. Мэйнстримный подход с использованием суперпотенциалов дает ненулевую (правда и неоднозначную) величину энергии-импульса. Во-вторых, мой вопрос касался не локальных, а интегральных величин. Попробуйте посчитать 4-импульс сферы радиуса $r$ через тензор Эйнштейна для решения Шварцшильда

[Munin]

VladTK в сообщении #700117 писал(а):

Да ну??? Если поток энергии-импульса через поверхность сферы (т.е практически производная по времени от 4-импульса) для вас "бессмысленная и бесполезная величина", то мне сказать нечего.

Такой, который можно свести к любому значению, не трогая сферу? А что здесь небесполезного?

-- 23.03.2013 13:49:47 --

VladTK в сообщении #700117 писал(а):

Во-первых, Вы идите против мэйнстрима

Такие советы уместны, если вы сами получаете богатые научные результаты.

[VladTK]

Munin в сообщении #700188 писал(а):

Такой, который можно свести к любому значению, не трогая сферу? А что здесь небесполезного?...

Хотя бы то, что это дает ОТО

Munin в сообщении #700188 писал(а):

VladTK в сообщении #700117 писал(а):

Во-первых, Вы идите против мэйнстрима

Такие советы уместны, если вы сами получаете богатые научные результаты.

Пардон - это не совет, это ачепятка. Хотел написать "Вы идете против мэйнстрима."