Структура вещества в ЧД

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #701010 писал(а):

В ОТО плотность энергии равна нулю по определению энергии и с этим ничего не поделаешь. Наивный псевдотензорный подход противоречит основам дифференциальной геометрии. Не каким-то там глубинам, а самым элементарным основам.

Ну и что? Интересно ведь получить хоть и ограниченно, но всё ж таки чем-то полезный интеграл. А не строго чему-то там соответствующий пшик.

[KOSMOLOG]

Theoristos в сообщении #700532 писал(а):

Munin в сообщении #694332 писал(а):

В ЧД вещества нет, оно всё давно упало в сингулярность.

По нашим часам?

Странное представление о наличии вещества в ЧД
Сколько раз само на себя перемножен коэффициент замедления времени?
Кажись, 4 раза? Поэтому про сингулярность, как про центральную точку в ЧД, забудьте, господа. Нет её там. Вещество не падает в условный центр. Оное, достигнув сферы Шварцшильда, начинает расширяться по законам обычной физики - по законам падения средней плотности ЧД (исключительно в моменты возрастания массы ЧД).

[VladTK]

Munin в сообщении #700342 писал(а):

Я вас не понял. Сформулируйте грамматически однозначно. И, желательно, более осмысленно.

Как я понял ваши с KVV слова, вы имели ввиду неоднозначность интеграла по сфере конечного радиуса вследствие неоднозначности определения классического ТЭИ

$$ T^{ik '}=T^{ik}+\partial_{l} \psi^{ikl} $$

где добавок антисимметричен по последним двум индексам

$$ \psi^{ikl}=-\psi^{ilk} $$

Для негравитационных теорий эта неоднозначность не важна. Для теории гравитации с принципом эквивалентности (когда ТЭИ становится источником гравитационного поля) это становится недопустимым и необходимо четкое определение ТЭИ. ОТО лишь частично решила эту проблему: для полей вещества такое определение было дано, а для самого гравитационного поля нет.

Вместе с тем очевидно, что практически всякая физическая система (без разницы островная она или нет) будет создавать некоторый поток энергии-импульса через сферу. Причем этот поток вполне измерим и никакой неоднозначности в теории быть не должно.

schekn в сообщении #700819 писал(а):

Может Вы все таки ошиблись и потеряли двойку? У Моллера вроде сошлось и получилось $mc^2$. Я сейчас приведу 5 условий Моллера, а вот какое не выполняется , пока мне непонятно.

Да ошибся. Только не я, а тот кто писал лекции Петрова. Перечитал "Теорию относительности" Меллера - там в суперпотенциале в знаменателе нет двойки. Так что действительно все суперпотенциалы при интегрировании по сфере бесконечного радиуса для островных систем дают верный результат.

epros в сообщении #700872 писал(а):

Это и удивительно, потому что для определения какой бы то ни было «массы» выбор пространственных координат как раз не имеет никакого значения.

Т.е. для расчета 4-импульса (96.16) из ЛЛ-2 можно использовать, например, Шварцшильдову метрику в сферических координатах? Как, не подскажите?

schekn в сообщении #700904 писал(а):

Для VladTK загрузил 5 условий...
...Моллер показал, что одновременно они не могут выполняться, то есть одно условие в его суперпотенциале не выполняется. Хотелось бы узнать какое? (У Петрова выписаны только 4 условия)...

Ответ есть в книге Н.В.Мицкевича "Физические поля в ОТО" - параграф 3.8 . Суперпотенциал Меллера не удовлетворяет условию 4.

SergeyGubanov в сообщении #701010 писал(а):

VladTK в сообщении #700117 писал(а):

Во-первых, Вы идите против мэйнстрима Эта идея ("плотность полной энергии равна нулю") была предложена Лоренцем и Леви-Чивита в 1916 году. Она встретила активную критику, в частности со стороны Эйнштейна и в настоящее время практически не вспоминается. Мэйнстримный подход с использованием суперпотенциалов дает ненулевую (правда и неоднозначную) величину энергии-импульса. Во-вторых, мой вопрос касался не локальных, а интегральных величин. Попробуйте посчитать 4-импульс сферы радиуса $r$ через тензор Эйнштейна для решения Шварцшильда

В ОТО плотность энергии равна нулю по определению энергии и с этим ничего не поделаешь. Наивный псевдотензорный подход противоречит основам дифференциальной геометрии. Не каким-то там глубинам, а самым элементарным основам. Последовательное применение псевдотензоров (не противоречащее дифференциальной геометрии) делается с помощью биметрического формализма. Вводятся две метрики, одна из них обзывается физической, а другая так себе. Геометрически биметрический формализм явление вполне нормальное, а вот его применение к гравитации выполненое Логуновым столкнулось с рядом трудностей. Бурланков с Фаддеевым где-то этот ряд трудностей публиковали. На вскидку, там, например, вроде есть проблема со сверхсветовым движением в той метрике, которая от балды обозвана физической...

В биметрическом формализме псевдотензора и не нужно :) А по критике биметризма Логунова, если я правильно помню, то он вроде отвечал на критику и показывал что никакого сверхсветового движения в РТГ не может быть.

SergeyGubanov в сообщении #701010 писал(а):

...Далее, вот вы говорите про интегральный 4-импульс... Это опять противоречит основам дифференциальной геометрии: интегрировать можно только скаляры...

Интересно, что на это скажет epros? И как тогда вообще определить полную энергию?

SergeyGubanov в сообщении #701010 писал(а):

...Метрику Шварцшильда к виду (3) привёл Пенлеве в 1921 году

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr - V dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2, \quad V = \pm \sqrt{\frac{2 k M}{r}} \eqno (4)$$

Плотность энергии гравитационного поля равна нулю:

$$\varepsilon^{\rm (grav)} = 0$$

...

Т.е. Вы хотите сказать, что пространство-вреям Шварцшильда - это вакуум гравитационного поля?

SergeyGubanov в сообщении #701010 писал(а):

...А теперь пример гравитационного поля с ненулевой плотностью энергии (Эйнштейн-де Ситтер или плоский Фридман)

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( H t \right)^{4/3} \left( dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2 \right) \eqno (5)$$

Плотность энергии гравитационного поля:

$$\varepsilon^{\rm (grav)} = - \frac{c^2}{6 \pi k \, t^2}$$

Как видите никаких псевдотензоров не понадобилось: плотность энергии гравитационного поля не нуль...

А почему в данном случае плотность энергии гравитационного поля убывает со временем? И меняется ли со временем полная энергия гравитационного поля?

SergeyGubanov в сообщении #701010 писал(а):

...Если хочется пощупать ненулевую плотность энергии гравитационного поля, то вместо того чтобы пытаться нашаманить из круглого нуля псевдо-тензорный-не-ноль, лучше просто взять другое решение, в котором настоящая плотность энергии не ноль без всякого шаманства. Известна куча глобально гиперболических метрик вида (3) с ненулевой плотностью энергии гравитационного поля (при этом все остальные компоненты тензора Эйнштейна равны нулю), если вдруг кому-то интересно, то могу их показать.

Было бы интересно взглянуть.

[epros]

VladTK в сообщении #701039 писал(а):

epros в сообщении #700872 писал(а):

Это и удивительно, потому что для определения какой бы то ни было «массы» выбор пространственных координат как раз не имеет никакого значения.

Т.е. для расчета 4-импульса (96.16) из ЛЛ-2 можно использовать, например, Шварцшильдову метрику в сферических координатах? Как, не подскажите?

Я про импульс ничего не говорил. Разумеется, $\theta$-тая и $\varphi$-тая «компоненты глобального импульса» так не получатся. Я говорил только про более или менее осмысленное определение «глобальной массы».

[apv]

epros в сообщении #701044 писал(а):

Я говорил только про более или менее осмысленное определение «глобальной массы».

Я не понял, а что значит "осмысленное определение"? Все хотят получить массу вычисляя поток, Вы имеете другое определение массы?

[epros]

apv в сообщении #701065 писал(а):

epros в сообщении #701044 писал(а):

Я говорил только про более или менее осмысленное определение «глобальной массы».

Я не понял, а что значит "осмысленное определение"? Все хотят получить массу вычисляя поток, Вы имеете другое определение массы?

То же самое, я же говорил. А осмысленность заключается в независимости от выбора пространственных координат.

[emir1]

Простите за вопрос, но какова толщина радиуса Шварцшильда? Как я непонимаю, это подобно стенкам мыльного пузыря. Возникает вопрос о "толщине" этой стенки, раз она может разделить виртуальные частицы... как острая бритва. Толщина горизонта событий не может быть бесконечно малой.
ПС: И как я читал, вся масса ЧД может быть сконцентрирована именно в этом мыльном пузыре. Такое возможно?

И второй вопрос: у нейтронной звезды притяжение мало, чтобы "остановить" свет, но если 2 нейтронные звезды вращаются по элл.орбитам вокруг общего центра масс, то их суммарное притяжение может стать таким же, как у ЧД, при их максимальном сближении (критический гравитационный радиус), и временно возникнет горизонт событий. Что в теории на этот счет?

[apv]

epros в сообщении #701070 писал(а):

То же самое, я же говорил.

Простите, я давно сюда не заглядывал, мог чего и пропустить.

epros в сообщении #701070 писал(а):

А осмысленность заключается в независимости от выбора пространственных координат.

С этим можно согласится, но как? Было бы интересно посмотреть на расчеты.

В МТУ предлагают вычислять потоки в координатах Минковского (что под этим они имеют ввиду, или галилееву метрику, или же любую другую плоскую но метрику, не сказано). Наверное нужно думать что "координаты Минковского" - галилеевы координаты (определение в ЛЛ2§105, формула (105.1) ), потому что дальше они намекают, что

Цитата:

(и, в частности, попытки просто применять их без изменения в криволинейных координатах), легко и неизбежно ведут к абсурду.

можно как-то и в криволинейных координатах с какими-то изменениями, но все равно в плоском пространстве.

Понять, почему в плоском можно, ибо только в плоском пространстве мы знаем, как определять массу через теорему Гаусса, или по-другому. Как можно еще по-другому (хотя , если придраться, то это тоже через теорему Гаусса), проилюстрировано в книге Taylor, Wheeler Exploring Black Holes (стр. 104), где определяется энергия системы звезда-спутник. Зная массу звезды (которыя может быть определена аналогично), определяется энергия спутника.

Цитата:

Измеряение энергии маленького спутника, вращающегося на кроуговой орбите вокруг звезды, находясь на бесконечности. Измерительный буй, вращается на удаленной круговой орбите вокруг системы звезда-спутник. Из ускорения буя, можно получить массу $M_{total}$ системы звезда-спутник исспользуя механику Ньютона. Вычитая массу звезды $M$ из $M_{total}$ получим энергию одного лишь спутника $E$, "наблюдаемую на бесконечности". Эта общая энергия объединяет потенциальную энергию Ньютоновской механики, плюс кинетическую энергию и энергию покоя специальной теории относительности.

[epros]

apv в сообщении #701115 писал(а):

epros в сообщении #701070 писал(а):

А осмысленность заключается в независимости от выбора пространственных координат.

С этим можно согласится, но как? Было бы интересно посмотреть на расчеты

Всё зависит от того, как определён суперпотенциал. Вот смотрите какая штука: В ньютоновской механике гравитационная масса определяется потоком ускорения свободного падения через замкнутую поверхность. В ОТО определение должно соответствовать тому же самому, причём ускорение свободного падения представляется соответствующими компонентами суперпотенциала. Разумеется, и элемент пространственной поверхности, и ускорение свободного падения — это вещи, независимые от выбора пространственных координат. Если суперпотенциал определён таким же образом, то и определённая через него глобальная масса тоже не будет зависеть от выбора пространственных координат.

[apv]

epros в сообщении #701147 писал(а):

Всё зависит от того, как определён суперпотенциал.

Ну это понятно, по другому, какой вид имеет суперпотенциал, который удовлетворяет необходимым требованиям? Или еще более конкретно, какой суперпотенциал удовлетворяет хотя бы 4-му и 5-му условиям Мёллера, упомянутых здесь? Если верить Владимирову, который узнал у Мёллера, то все сразу условия удовлетворить низя.

[Munin]

schekn в сообщении #700819 писал(а):

Я Вам почти верю, но хотелось бы живьем посмотреть такие преобразования от метрики Леметра к метрики Эддингтона-ФИнкельштейна.

Возьмите композицию преобразований того и другого к Шварцшильду. Обнаружите её непрерывность до $r=0.$

schekn в сообщении #700867 писал(а):

Ну если у классического учебника одно определение противорчеит другому, а один параграф не стыкуется с другим, что вы хотите от новичка?

Ответственности, серьёзности и усердия. А не расслабухи, лени и пофигизма.

[SergeyGubanov]

VladTK в сообщении #701039 писал(а):

И как тогда вообще определить полную энергию?

1) Энергия зависит от системы отсчёта, поэтому перво-наперво фиксируете систему отсчёта $e_{(a)} = e_{(a)}^{\mu} \partial_{\mu}$, $e^{(a)} = e^{(a)}_{\mu} d x^{\mu}$

2) В фиксированной системе отсчёта отыскиваете трёхмерную метрику $d\ell^2 = \gamma_{i j} dx^i dx^j$ решая следующую систему дифференциальных связей:

$$e^{(0)} = 0$$

$$d\ell^2 = \left( e^{(1)} \right)^2 + \left( e^{(2)} \right)^2 + \left( e^{(3)} \right)^2$$

3) Вычисляете следующую величину являющуюся скаляром по отношению к преобразованию системы координат:

$$\varepsilon = e_{(0)}^{\mu} e_{(0)}^{\nu} \left( T_{\mu \nu} - \frac{c^4}{8 \pi k} G_{\mu \nu}\right)$$

её можно интегрировать.

4) Вычисляете интеграл по найденному на шаге (2) трёхмерному пространству:

$$E = \int \varepsilon \sqrt{\gamma} \, d_3 x$$

Готово.

VladTK в сообщении #701039 писал(а):

Т.е. Вы хотите сказать, что пространство-вреям Шварцшильда - это вакуум гравитационного поля?

Вакуум - это квантовое понятие, а мы в классике. Решение Шварцшильда это решение с нулевой плотностью энергии. Решения с нулевой плотностью энергии - нулевые моды гравитационного поля. Решение с ненулевой плотностью энергии - ненулевые моды гравитационного поля.

VladTK в сообщении #701039 писал(а):

Было бы интересно взглянуть.

Для полноты картины начну ещё раз с Эйнштейна-де Ситтера.

Интегральная энергия в отличие от плотности энергии зависит от области интегрирования. Эйнштейн-де Ситтер в растягивающейся системе координат (разбегающиеся галактики своих координат не меняют)

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( h t \right)^{4/3} \left( dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2 \right) \eqno(1)$$

Энергия

$$\varepsilon^{\rm (grav)} = - \frac{c^2}{6 \pi k t^2} \eqno(2)$$

$$dE^{\rm (grav)} = - \frac{c^2 h^2}{6 \pi k} r^2 \sin(\theta) \, dr \, d\theta \, d\varphi \eqno(3)$$

Эйнштейн-де Ситтер в антропоцентрической системе координат (разбегающиеся галактики свои координаты меняют по закону Хаббла)

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( d\tilde{r} - V dt\right)^2 - \tilde{r}^2 d\theta^2 - \tilde{r}^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2, \, V = \frac{2 \tilde{r}}{3 t} \eqno(4)$$

Энергия

$$\varepsilon^{\rm (grav)} = - \frac{c^2}{6 \pi k t^2} \eqno(5)$$

$$dE^{\rm (grav)} = - \frac{c^2}{6 \pi k t^2} \tilde{r}^2 \sin(\theta) \, d\tilde{r} \, d\theta \, d\varphi \eqno(6)$$

Плотность энергии (2) и (5) совпадает, а вот интегральные (3) и (6) выглядят разными в силу разных радиусов $r$ и $\tilde{r}$. Чтобы интегралы от (3) и (6) совпали верхнюю границу интегрирования по $\tilde{r}$ надо брать зависящей от времени по закону Хаббла.

В статическом Мире чёрная дыра Шварцшильда имеет нулевую плотность гравитационной энергии (используется система Пенлеве):

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr - V dt\right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2, \, V = \pm \sqrt{\frac{2 k M}{r}} \eqno(7)$$

В расширяющемся Мире Эйнштейна-де Ситтера чёрная дыра Шварцшильда даёт ненулевой вклад в плотность энергии гравитационного поля

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr - V dt\right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2, \, V = \frac{2 r}{3 t} \pm \frac{1}{t}\sqrt{\frac{R^3}{r}} \eqno(8)$$

здесь $R$ - константа интегрирования. Эффективная масса чёрной дыры зависит от времени $M(t) = R^3 / (2 k t^2)$.
Энергия

$$\varepsilon^{\rm (grav)} = - \frac{c^2}{6 \pi k t^2} \mp \frac{c^2}{4 \pi k t^2} \sqrt{\frac{R^3}{r^3}} \eqno(9)$$

$$dE^{\rm (grav)} = \left( - \frac{c^2}{6 \pi k t^2} \mp \frac{c^2}{4 \pi k t^2} \sqrt{\frac{R^3}{r^3}} \right) r^2 \sin(\theta) \, dr \, d\theta \, d\varphi \eqno(10)$$

Первое слагаемое в (9) есть плотность энергии связанная с расширением Мира Эйнштейна-де Ситтера, второе слагаемое есть плотность энергии чёрной(белой) дыры. Белая дыра обладает отрицательной плотностью энергии, а чёрная - положительной. Напомню, что все остальные компоненты тензора Эйнштейна (кроме $G_{00}$) равны нулю. Энергия гравитационного поля знаконеопределена. Решения удовлетворяющие девяти уравнениям Эйнштена (кроме десятого $G_{00}$ уравнения) могут обладать как положительной $G_{00} < 0$, так и отрицательной плотностью энергии $G_{00} > 0$.

Решение (8) - лишь одно из бесконечной серии аналогичных решений когда поле скоростей $V$ зависит от $t$ и $r$

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr - V dt\right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2 \eqno(11)$$

Уравнение на функцию $V(t, r)$:

$$V^2 + 2 r (V \, \partial_r V + \partial_t V) = 0 \eqno(12) $$

имеет бесконечное количество решений, которое можно записать в неявном виде так:

$$F \left( \sqrt{r} \, V(t,r), \, \sqrt{r} \left[ \frac{2}{3}r - t \, V(t,r) \right] \right) = 0 \eqno(13) $$

$F(\alpha, \beta)$ - произвольная функция.
Энергия

$$\varepsilon^{\rm (grav)} = - \frac{c^2}{8 \pi k r^2} \partial_r \left(r V^2 \right) \eqno(14) $$

$$dE^{\rm (grav)} = - \frac{c^2}{8 \pi k} \partial_r \left(r V^2 \right) \sin(\theta) \, dr \, d\theta \, d\varphi \eqno(15) $$

Энергия знаконеопределена. В ноль энергия обращается только у чёрной(белой) дыры в статическом пространстве $r V^2 = 2 k M$.

Ещё одна бесконечная серия решений с ненулевой плотностью энергии гравитационного поля (все остальные компоненты тензора Эйнштейна равны нулю)

$$ds^2 = c^2 dt^2 - e^{W} \left( dr^2 + r^2 d\theta^2 \right) - r^2 \sin(\theta)^2 \left( d\varphi - \Omega \, dt \right)^2 \eqno(16)$$

Функция $\Omega(r, \theta)$ удовлетворяет линейному уравнению. Функция $W(r, \theta)$ вычисляется по известной $\Omega(r, \theta)$.
Я выпишу здесь лишь первое решение этой серии.

$$\Omega = \frac{Q}{r^3} \eqno(17)$$

$$W=\frac{9 Q^2}{8 c^2 r^4}\sin(\theta)^4 \eqno(18)$$

Энергия

$$\varepsilon^{\rm (grav)} = \frac{9 c^2 Q^2 e^{-W}}{8 \pi k r^6} \sin(\theta)^2 \eqno(19)$$

$$dE^{\rm (grav)} = \frac{9 c^2 Q^2}{8 \pi k r^4} \sin(\theta)^3 \, dr \, d\theta \, d\varphi \eqno(20)$$

Энергия положительно определена. Энергия шарика радиуса $R$:

$$E^{\rm (grav)} = \frac{c^2 Q^2}{k R^3} \eqno(21)$$

[Munin]

VladTK в сообщении #701039 писал(а):

Для теории гравитации с принципом эквивалентности (когда ТЭИ становится источником гравитационного поля) это становится недопустимым и необходимо четкое определение ТЭИ. ОТО лишь частично решила эту проблему: для полей вещества такое определение было дано, а для самого гравитационного поля нет.

О нет. Для теории гравитации с принципом эквивалентности, которой является ОТО, это становится недопустимым - но только касательно ТЭИ вещества. ОТО решила эту проблему для ТЭИ вещества. А для гравитационного поля - нет, но это для ОТО и не нужно.

VladTK в сообщении #701039 писал(а):

Вместе с тем очевидно, что практически всякая физическая система (без разницы островная она или нет) будет создавать некоторый поток энергии-импульса через сферу. Причем этот поток вполне измерим и никакой неоднозначности в теории быть не должно.

Это из серии вещей, которые "очевидны", но на самом деле неверны. Тот поток, который вы пишете формулами, что неопределённый в теории поля, что неопределённый в ОТО, - неизмерим. Измеримые вещи - однозначны во всех теориях. И с этим проблем никаких нет.

VladTK в сообщении #701039 писал(а):

Т.е. Вы хотите сказать, что пространство-вреям Шварцшильда - это вакуум гравитационного поля?

Равенство нулю энергии - это ещё не значит, что вакуум. Тензор Римана не нуль (а он неустраним) - значит, и не вакуум.

emir1 в сообщении #701097 писал(а):

Простите за вопрос, но какова толщина радиуса Шварцшильда? Как я непонимаю, это подобно стенкам мыльного пузыря. Возникает вопрос о "толщине" этой стенки, раз она может разделить виртуальные частицы... как острая бритва.

Это неправильное представление. Виртуальные частицы "делятся" не по "острию бритвы", а по своей дальнейшей окончательной судьбе. Одна виртуальная частица стукается обо что-то вне чёрной дыры, другая - обо что-то внутри чёрной дыры. Вот так и определяется, что одна оказывается вовне, а другая внутри.

emir1 в сообщении #701097 писал(а):

И второй вопрос: у нейтронной звезды притяжение мало, чтобы "остановить" свет, но если 2 нейтронные звезды вращаются по элл.орбитам вокруг общего центра масс, то их суммарное притяжение может стать таким же, как у ЧД, при их максимальном сближении (критический гравитационный радиус), и временно возникнет горизонт событий. Что в теории на этот счет?

При этом они сколлапсируют в единую чёрную дыру. Ничего "временного" в этом уже не будет, выйти из такого состояния нельзя.

apv в сообщении #701115 писал(а):

Понять, почему в плоском можно, ибо только в плоском пространстве мы знаем, как определять массу через теорему Гаусса, или по-другому.

Можно всё-таки и не в плоском. Окружить систему узкой полоской пространства, и измерять на этой полоске поля с любыми производными. Можно assume, что снаружи всё плоско, и применить теорему Гаусса, хотя на самом деле снаружи чего-то ещё.

epros в сообщении #701147 писал(а):

Разумеется, и элемент пространственной поверхности, и ускорение свободного падения — это вещи, независимые от выбора пространственных координат.

Но не пространственно-временных.

[epros]

Munin в сообщении #701234 писал(а):

epros в сообщении #701147 писал(а):

Разумеется, и элемент пространственной поверхности, и ускорение свободного падения — это вещи, независимые от выбора пространственных координат.

Но не пространственно-временных.

Я и сказал пространственных, а не пространственно-временных, так что нечего фейспалмить.

[SergeyGubanov]

VladTK в сообщении #701039 писал(а):

Для теории гравитации с принципом эквивалентности (когда ТЭИ становится источником гравитационного поля) это становится недопустимым и необходимо четкое определение ТЭИ. ОТО лишь частично решила эту проблему: для полей вещества такое определение было дано, а для самого гравитационного поля нет.

Да, кстати, а чего это вдруг $-\frac{c^4}{8 \pi k} G_{\mu \nu}$ вам не угоден в качестве тензора энергии импульса гравитационного поля? Не можете смириться с тем, что для Шварцщильда он даёт нуль? Зато для космологических задач (например, для Эйнштейна-де Ситтера из моего предыдущего сообщения) он даёт правильное значение плотности энергии гравитационного поля (с этим то вы согласны?). Не может же такого быть, чтобы для космологических задач $-\frac{c^4}{8 \pi k} G_{\mu \nu}$ давал правильную плотность энергии, а для других задач внезапно неправильную?