О физическом смысле

[migmit]

Munin в сообщении #634003 писал(а):

migmit в сообщении #633924 писал(а):

Вот если вы меня спросите "есть ли у этого уравнения корни в поле $\mathbb{R}$", то я пойму.

Зато я не пойму. Я привык считать, что алгебраическая система (группа, кольцо, поле, алгебра, представление группы, модуль, векторное пространство, например) первична, и только задав её, а также смысл в ней различных символов ($\cdot,+,=$), мы имеем право писать уравнения и обсуждать их решения.

Конечно. Но мне до сих пор казалось, что корни многочленов определены не только в том кольце, из которого берутся коэффициенты. Они определены в любой алгебре над этим кольцом (если переменных несколько - то в любой коммутативной алгебре). Тем более, если эта алгебра - расширение полей.

Неужели вы не слышали формулировки типа "любая матрица является корнем своего характеристического многочлена"?

Munin в сообщении #634003 писал(а):

Если подходить совсем педантично, то $x^2+1=0$ - даже не элемент $\mathbb{R}[x],$ это $x^2+1$ - элемент $\mathbb{R}[x].$

Конечно, вы правы.

Munin в сообщении #634003 писал(а):

Но допустим. Вы говорите, что на вопрос "есть ли у этого элемента $\mathbb{R}[x]$ корни в $\mathbb{C}$" у вас ответ - есть. Но я задал другой вопрос, в переводе на ваш: "есть ли у этого элемента $\mathbb{R}[x]$ корни".

Есть стандартное умолчание: говоря "корни" об элементе $K[x]$, мы говорим о "корнях в $K$". Но это именно что умолчание. И в таком виде ваш вопрос эквивалентен моему первому варианту. Только я опять не вижу, в чём проблема.

Munin в сообщении #634003 писал(а):

$\mathbb{R}$ может быть вложено много куда, канонически вложено, и подразумевать постоянно вложение в $\mathbb{C}$ - это мне кажется неоправданной расхлябанностью. Оправданной, может быть, в некоторых прикладных областях, где постоянно только с $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$ и приходится иметь дело.

Естественно. Но поскольку $\mathbb{C}$ явным образом фигурирует в сообщении Профессора Снэйпа, мне кажется бессмысленным притворяться, что мы об этом каноническом вложении не знаем.

[shwedka]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #634003 писал(а):

shwedka в сообщении #633922 писал(а):
Это, как воспринимать: как предложение руки и сердца?

Огосоподи... Я думал, швед - это обозначение множества, а не индивидуума. Прошу простить.

УУУУ!
Это ж надо!!
Как я даже ЗУ напугала! Боятся меня как Валькирию! Или Вальпургию! Или Пургению! Учтем!

Но поскольку $\mathbb{C}$ явным образом фигурирует в сообщении Профессора Снэйпа,

Цитата:

явным образом фигурирует

Не фигурирует ни в одном глазу!!!
Явным образом написано, что оператор рассматривается в вещественном пространстве!
Все остальное - от лукавого.

[migmit]

shwedka в сообщении #634055 писал(а):

Не фигурирует ни в одном глазу!!!
Явным образом написано, что оператор рассматривается в вещественном пространстве!

Гм. Я точно видел там

Профессор Снэйп в сообщении #632996 писал(а):

вектор с комплексными координатами и комплексным собственным значением.

[shwedka]

migmit в сообщении #634064 писал(а):

shwedka в сообщении #634055 писал(а):

Не фигурирует ни в одном глазу!!!
Явным образом написано, что оператор рассматривается в вещественном пространстве!

Гм. Я точно видел там

Профессор Снэйп в сообщении #632996 писал(а):

вектор с комплексными координатами и комплексным собственным значением.

НО!!!
До того написано, что оператор рассматривается в вещественном пространстве.
Явно.
Очень явно!!!

Коллега!
Я Вас ни в чем не хочу уличить!
НО!
Представьте себе, что Вы студентов учите.

Вы сначала им объясняете, что такое оператор в линейном пространстве и его собственные векторы и числа.
А потом себя опровергаете, говоря, что при нужде на комплексное поле тензорим. Или не тензорим, как хозяину понравится.

Я учу моих студентов НИЧЕГО не додумывать в задачах. Зарплату за додумывание платят мне, а не им.

[migmit]

shwedka в сообщении #634066 писал(а):

Представьте себе, что Вы студентов учите.

Вы не спутали форум с кафедрой?

[shwedka]

migmit в сообщении #634068 писал(а):

shwedka в сообщении #634066 писал(а):

Представьте себе, что Вы студентов учите.

Вы не спутали форум с кафедрой?

Коллега,
Я не решаюсь излагать на форуме то, что неправильно может быть понято моими студентами.

[migmit]

Это как хотите, я-то (или Профессор Снэйп) тут при чём?

[shwedka]

migmit в сообщении #634075 писал(а):

Это как хотите, я-то (или Профессор Снэйп) тут при чём?

Давайте спросим Уважаемого ТС, что он имел в виду и что он умолчал,
сей увлекательный разговор инициируя!

[Профессор Снэйп]

shwedka в сообщении #634078 писал(а):

Давайте спросим Уважаемого ТС, что он имел в виду и что он умолчал,
сей увлекательный разговор инициируя!

Хотел открыть себе третий глаз и увидеть нечто интересное

Народ. Ну я прекрасно знаю, что в $\mathbb{R}$ мнимых единиц, а в $\mathbb{R}^2$ векторов с мнимыми координатами нет. Но я ведь завёл тему в "дискуссионном разделе", а не где-нибудь ещё. Если бы речь шла об учебной задаче, с чётко определёнными понятиями, я бы выбрал другой раздел.

При решении физических задач иногда возникает такая ситуация, что полученное решение отбрасывается, как не имеющее физического смысла. Какие-нибудь отрицательные объёмы, отрицательные плотности и т. п. Но если напрячь фантазию, ты смысл всё же можно увидеть. Простейший пример - отрицательная скорость: тело просто движется в противоположном направлении...

Я надеялся, что здесь тоже кто-нибудь сподобится увидеть "физический" или, может быть точнее, "геометрический" смысл...

[migmit]

Профессор Снэйп в сообщении #634083 писал(а):

Я надеялся, что здесь тоже кто-нибудь сподобится увидеть "физический" или, может быть точнее, "геометрический" смысл...

А мой вариант с гармоническими колебаниями вам не понравился?

[Профессор Снэйп]

migmit в сообщении #634084 писал(а):

А мой вариант с гармоническими колебаниями вам не понравился?

Понравился.

[Руст]

Профессор Снэйп в сообщении #634083 писал(а):

Я надеялся, что здесь тоже кто-нибудь сподобится увидеть "физический" или, может быть точнее, "геометрический" смысл...

О геометрическом смысле уже говорили. Если собственное значение $\lambda =rexp(i\phi)$ комплексное, то ему соответствует плоскость (действительный), что преобразование в этой плоскости сводится масштабированию в r раз и повороту на угол $\phi$. При необходимости можно придать этому и физический смысл, связанный с некоторым полем (гидродинамический, упругость, электромагнитный и т.д.)

[Munin]

migmit в сообщении #634012 писал(а):

Конечно. Но мне до сих пор казалось, что корни многочленов определены не только в том кольце, из которого берутся коэффициенты.

Эта мысль глубокая, её надо думать.

Если многочлены - формальная конструкция, то под "корень многочлена" я понимаю делимость исходного многочлена на $x-a,$ где $a$ - корень. Тут, очевидно, корень должен принадлежать тому же кольцу.

Если многочлены - выражения в смысле операций некоторого кольца (или алгебраической системы, допускающей операции сложения, умножения на коэффициент и возведения в степень), то под "корень многочлена" естественно понимать значение, подстановка которого в выражение обращает его в ноль (единицу по сложению). Тогда да, корни могут быть не из кольца коэффициентов.

migmit в сообщении #634012 писал(а):

Неужели вы не слышали формулировки типа "любая матрица является корнем своего характеристического многочлена"?

Слышал, но всегда понимал как некоторый slip of tongue, как и некоторые другие похожие обороты.

migmit в сообщении #634012 писал(а):

Есть стандартное умолчание: говоря "корни" об элементе $K[x]$, мы говорим о "корнях в $K$". Но это именно что умолчание. И в таком виде ваш вопрос эквивалентен моему первому варианту.

Я не вижу здесь эквивалентности: я говорю "есть ли у этого элемента $\mathbb{R}[x]$ корни в $\mathbb{R}$", вы говорите "есть ли у этого элемента $\mathbb{C}[x]$ корни в $\mathbb{R}$".

migmit в сообщении #634012 писал(а):

Естественно. Но поскольку $\mathbb{C}$ явным образом фигурирует в сообщении Профессора Снэйпа, мне кажется бессмысленным притворяться, что мы об этом каноническом вложении не знаем.

Как я уже говорил в post633039.html#p633039 , если мы к этому вложению обращаемся, то в свою очередь бессмысленным становится притворяться, что линейный оператор $A=\left(\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}\right)$ "разворачивает плоскость на 90°". Для вектора $a=\left(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix}\right)\in\mathbb{C}^2$ скалярное произведение будет равно $(a,Aa)=-x^*y+y^*x=2\operatorname{Im}y^*x,$ что вовсе не равно тождественно нулю.

-- 22.10.2012 15:32:02 --

(Оффтоп)

shwedka в сообщении #634055 писал(а):

Как я даже ЗУ напугала!

Нет, я не согласен с такой формулировкой, как с негалантной. Скорее, меня испугала возможность такой существенной ошибки с моей стороны.

Профессор Снэйп в сообщении #634083 писал(а):

При решении физических задач иногда возникает такая ситуация, что полученное решение отбрасывается, как не имеющее физического смысла. Какие-нибудь отрицательные объёмы, отрицательные плотности и т. п. Но если напрячь фантазию, ты смысл всё же можно увидеть.

Не, вот далеко не всегда. Согласен, есть очень интересные результаты, полученные расширением применения математической модели к физике. Но тут раз на раз не приходится: иногда расширяется, а иногда нет. Заранее сказать нельзя.

[migmit]

Munin в сообщении #634114 писал(а):

migmit в сообщении #634012 писал(а):

Конечно. Но мне до сих пор казалось, что корни многочленов определены не только в том кольце, из которого берутся коэффициенты.

Эта мысль глубокая, её надо думать.
Если многочлены - формальная конструкция, то под "корень многочлена" я понимаю делимость исходного многочлена на $x-a,$ где $a$ - корень. Тут, очевидно, корень должен принадлежать тому же кольцу.

Строго говоря, тоже не вполне очевидно - если у нас имеется вложение колец, то подобная делимость имеет смысл и для элементов большего кольца.

Вообще, мне это странно. Я думал, это совершенно обычная терминология.

Munin в сообщении #634114 писал(а):

migmit в сообщении #634012 писал(а):

Естественно. Но поскольку $\mathbb{C}$ явным образом фигурирует в сообщении Профессора Снэйпа, мне кажется бессмысленным притворяться, что мы об этом каноническом вложении не знаем.

Как я уже говорил в post633039.html#p633039 , если мы к этому вложению обращаемся, то в свою очередь бессмысленным становится притворяться, что линейный оператор $A=\left(\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}\right)$ "разворачивает плоскость на 90°". Для вектора $a=\left(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix}\right)\in\mathbb{C}^2$ скалярное произведение будет равно $(a,Aa)=-x^*y+y^*x=2\operatorname{Im}y^*x,$ что вовсе не равно тождественно нулю.

Строго говоря, мы обращаемся не к вложению $\mathbb{R}$ в $\mathbb{C}$, а к вложению (каноническому) $\mathop{End}_{\mathbb{R}}\mathbb{R}^2$ в $\mathop{End}_{\mathbb{C}}\mathbb{C}^2$. При этом оператор из первого множества (разворачивающий плоскость) становится оператором из второго множества.

Munin в сообщении #634114 писал(а):

Не, вот далеко не всегда. Согласен, есть очень интересные результаты, полученные расширением применения математической модели к физике. Но тут раз на раз не приходится: иногда расширяется, а иногда нет. Заранее сказать нельзя.

Вот ТС и пытается выяснить - есть в данном случае что-то подобное, или нет.

[Munin]

migmit в сообщении #634122 писал(а):

Строго говоря, тоже не вполне очевидно - если у нас имеется вложение колец, то подобная делимость имеет смысл и для элементов большего кольца.

Да, получается, так.

migmit в сообщении #634122 писал(а):

Вообще, мне это странно. Я думал, это совершенно обычная терминология.

Может быть, она только мне незнакома.

migmit в сообщении #634122 писал(а):

При этом оператор из первого множества (разворачивающий плоскость) становится оператором из второго множества.

Не придерёшься.

migmit в сообщении #634122 писал(а):

Вот ТС и пытается выяснить - есть в данном случае что-то подобное, или нет.

Поскольку это всё, даже изначальная плоскость и её разворот, не относилось к физике, то и расширение тоже не будет :-)