Конечно. Но мне до сих пор казалось, что корни многочленов определены не только в том кольце, из которого берутся коэффициенты.
Эта мысль глубокая, её надо думать.
Если многочлены - формальная конструкция, то под "корень многочлена" я понимаю делимость исходного многочлена на
где
- корень. Тут, очевидно, корень должен принадлежать тому же кольцу.
Если многочлены - выражения в смысле операций некоторого кольца (или алгебраической системы, допускающей операции сложения, умножения на коэффициент и возведения в степень), то под "корень многочлена" естественно понимать значение, подстановка которого в выражение обращает его в ноль (единицу по сложению). Тогда да, корни могут быть не из кольца коэффициентов.
Неужели вы не слышали формулировки типа "любая матрица является корнем своего характеристического многочлена"?
Слышал, но всегда понимал как некоторый slip of tongue, как и некоторые другие похожие обороты.
Есть стандартное умолчание: говоря "корни" об элементе
, мы говорим о "корнях в
". Но это именно что умолчание. И в таком виде ваш вопрос эквивалентен моему первому варианту.
Я не вижу здесь эквивалентности: я говорю "есть ли у этого элемента
корни в
", вы говорите "есть ли у этого элемента
корни в
".
Естественно. Но поскольку
явным образом фигурирует в сообщении Профессора Снэйпа, мне кажется бессмысленным притворяться, что мы об этом каноническом вложении не знаем.
Как я уже говорил в
post633039.html#p633039 , если мы к этому вложению обращаемся, то в свою очередь бессмысленным становится притворяться, что линейный оператор
"разворачивает плоскость на 90°". Для вектора
скалярное произведение будет равно
что вовсе не равно тождественно нулю.
-- 22.10.2012 15:32:02 --(Оффтоп)
Как я даже ЗУ напугала!
Нет, я не согласен с такой формулировкой, как с негалантной. Скорее, меня испугала возможность такой существенной ошибки с моей стороны.
При решении физических задач иногда возникает такая ситуация, что полученное решение отбрасывается, как не имеющее физического смысла. Какие-нибудь отрицательные объёмы, отрицательные плотности и т. п. Но если напрячь фантазию, ты смысл всё же можно увидеть.
Не, вот далеко не всегда. Согласен, есть очень интересные результаты, полученные расширением применения математической модели к физике. Но тут раз на раз не приходится: иногда расширяется, а иногда нет. Заранее сказать нельзя.