О физическом смысле

[Munin]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #634362 писал(а):

Раз есть овеществление и комплексификация, должна быть и натурализация, тогда натурально плоскость — это плоскость после натурализации…

Нет, не годится: не говорим же мы "вещественно плоскость" и "комплексно плоскость". Разве только "действительно плоскость", и несколько в других обстоятельствах

Руст в сообщении #634435 писал(а):

Двум комплексно сопряженным собственным значениям действительного линейного оператора соответствует одна и та же плоскость. Причем в разных ориентациях.

Гоните вы что-то, дяденька. Вектор в $\mathbb{C}^2$ имеет однозначный результат умножения на $i,$ разных ориентаций тут быть не может.

bayak в сообщении #634536 писал(а):

если использовать векторно-полевую интерпретацию

(Оффтоп)

(Какой хороший смайлик сделали!)

[Руст]

Munin в сообщении #634560 писал(а):

Гоните вы что-то, дяденька. Вектор в $\mathbb{C}^2$ имеет однозначный результат умножения на $i,$ разных ориентаций тут быть не может.

Вы не можете умножать действительный вектор на комплексное число и остаться в действительном пространстве. Чтобы это интеппретировать, вам необходимо вложить комплексную плоскость (представляющей множество множителей (коэффициентов) комплексного вектора) в пространство. Единица из комплексной плоскости отобразится в некоторый образ заданного комплексного вектора. Сюда же отобразится комплексно сопряженный вектор, вместе они определяют ориентацию образа плоскости (ответ на вопрос shvedki). Если вы такие элементарные вещи не понимаете, то я пас.

[timots]

Руст
Вы не могли бы все это выразить через формулы?

[Руст]

Когда вы комплесируете вещественное пространство, получаете $R^n+iR^n$. Соответственно комплексному вектору соответствует плоскость натянутая на два вектора $x+iy\to (x,y)$. Они же определяют там ориентацию, причем комплексно сопряженному вектору соответствует противоположная ориентация. Умножение на комлексное число $\lambda=rexp(i\phi)$ действует на векторы этой плоскости растяжением в r раз и поворотом на угол $\phi$.

[migmit]

Руст в сообщении #634630 писал(а):

Когда вы комплесируете вещественное пространство

Какой прелестный термин: "комплесируете".

[Munin]

Руст в сообщении #634593 писал(а):

Если вы такие элементарные вещи не понимаете, то я пас.

Я не понимаю, в чём смысл наезжать. Всё, что вы говорите, я понимаю. Проблема только в одном: вложить комплексную плоскость в 4-мерное действительное пространство нельзя с двумя разными ориентациями. Чтобы искать ориентацию вложения, надо брать не образы $e$ и $e^*$ (это будет не всегда пара, позволяющая восстановить ориентацию), а образы $e$ и $ie$ - они всегда зададут в образе плоскости два перпендикулярных вектора, и всегда одной и той же ориентации.

Руст-у и его оппонентам: всё это гуглится по теме кэлерова метрика (Kähler metric), в данном случае без кривизны, то есть эрмитова метрика (Hermitian metric) на комплексном евклидовом пространстве. Эрмитова метрика - это положительно-определённая симметричная полуторалинейная (sesquilinear) форма $h(\bar{w},z),$ то есть линейная по $\bar{w}$ и по $z,$ и удовлетворяющая $h(\bar{w},z)=\overline{h(\bar{z},w)},$ $\forall z\ne 0\colon h(\bar{z},z)>0.$ Эрмитова метрика определяет две структуры: риманову (здесь евклидову) метрику $g=\tfrac{1}{2}(h+\bar{h}),$ и комплексную структуру - линейное преобразование действительного линейного пространства $J,$ такое что $J^2=-1.$ Собственно, не будь метрики, любое комплексное линейное пространство - это то же самое, что действительное пространство вдвое большей размерности, плюс комплексная структура на нём.

Вот только $J$ однозначно задаёт ориентацию на всех действительных образах комплексных прямых, здесь я утверждения Руст-а не понимаю.

[bayak]

Руст в сообщении #634630 писал(а):

Когда вы комплесируете вещественное пространство, получаете $R^n+iR^n$. Соответственно комплексному вектору соответствует плоскость натянутая на два вектора $x+iy\to (x,y)$.

Но это так абстрактно, что уловить физический смысл тут вряд ли получится. У меня же есть "игрушка", которая комплексному числу ставит в соответствие вполне конкретную геометрическую фигуру (винтообразный линейный элемент цилиндрической поверхности). Математика этого соответствия в сообщении, но к нему добавлю одно замечание - векторные поля следует заменить на линии тока, вытекающие из одной точки цилиндра. Тогда $n$-мерные комплексные пространства можно интерпретировать как прямое произведение $n$ линейных поространств, образаванных одномерными винтообразными векторами.

Физический смысл этого соответствия состоит в том, что в мире, где движение материальных точек имеет винтообразный характер, мы с неизбежностью приходим к понятию комплексного числа.

[Munin]

bayak в сообщении #634872 писал(а):

Физический смысл этого соответствия состоит в том, что в мире, где движение материальных точек имеет винтообразный характер

По-русски: нет физического смысла :-)

[bayak]

Munin
Не физический так метафизический. Словесность не мой профиль.

[Руст]

Комплексифакация нужна только для удобства и сокращения записей. Имея линейный оператор $A:R^n\to R^n$ можно найти все собственные вектора и собственные плоскости без комплексификации. Попробую объяснить еще раз. Подпространство V пространства $R^n$ назовем собственным, если A переводит $V$ в себя. Одномерные подпространства это $ax,a\in R$, для некоторого собственного вектора х. Двумерные собственные пространства или разлагаются в прямую сумму двух одномерных подпространств, или не имеют собственных векторов, но для любого вектора х из плоскости V вектор $A^2x$ выражается в виде линейной комбинации векторов $x,Ax$. Так как в плоскости нет собственных векторов, то любой вектор из этой плоскости представляется линейной комбинацией векторов $x,Ax$. Пусть $A^2x=aAx+bx$, тогда $0=A(A^2x-aAx-bx)=(A^2-aA-b)(Ax)$, т.е. характеристические коэффициенты $a,b$ те же для всех векторов этой плоскости. Пусть $\phi(z)$ характеристический многочлен $det(z*1-A)=0$. Тогда он делится на $z^2-az-b$ (иначе поделив с остатком получим противоречие). Причем этот квадратный многочлен не имеет действительных корней. Квадратным многочленам можно сопоставить комплексные собственные значения. Но раз это меногих раздражает сопоставим им действительные пары чисел $(a,b)$Так же как для векторов, в случае отсутствия кратных собственных значений и пар собственных пространство разлагается в прямую сумму собственных одномерных и двумерных пространств. Остается только показать, что на плоскости оператор действует как растяжение и поворот на некоторый угол. Введем базис $x,y=\frac{1}{c}(Ax-\frac{a}{2}x)$, пусть $B=\frac{1}{c}(A-\frac a2 *1)$, тогда $Bx=y, By=-x$, если $c^2=-\frac{a^2+4b}{4}>0$. Соответственно действие оператора в собственном двумерном подпространстве будет эквивалентно умножению на комплексное число при сопосталению вектору $x\to 1, y\to i$ или повороту с растяжением (без всякого сопоставления).

[migmit]

Руст в сообщении #635019 писал(а):

Комплексифакация нужна только для удобства и сокращения записей.

Ещё один очаровательный термин: "комплексиФАКация".

[Munin]

Руст в сообщении #635019 писал(а):

Комплексифакация нужна только для удобства и сокращения записей. Имея линейный оператор $A:R^n\to R^n$ можно найти все собственные вектора и собственные плоскости без комплексификации. Попробую объяснить еще раз. Подпространство V пространства $R^n$ назовем собственным, если A переводит $V$ в себя.

Не найдёте ли все собственные вектора и собственные плоскости линейного оператора

$$J_\lambda=\begin{pmatrix} 0&1&0& & &\ldots&0\\ &0&1&\ddots& & &\vdots\\ & &0&\ddots& & & \\ & & &\ddots&\ddots&\ddots& \\ & & & &0&1&0\\ \vdots& & & & &0&1\\ 0&\ldots& & & & &0\\ \end{pmatrix}$$

?

Я, конечно, понимаю весь этот задор, но элементарных фактов линейной алгебры, типа ЖНФ, забывать нельзя.

[migmit]

Munin, вы не ошиблись в одной цифре? А то у этой матрицы они таки находятся, без всякой комплексификации.

[Munin]

Запросто мог ошибиться. Поясните, пожалуйста.

[Руст]

Munin в сообщении #635056 писал(а):

Я, конечно, понимаю весь этот задор, но элементарных фактов линейной алгебры, типа ЖНФ, забывать нельзя.

Вы читали это?

Так же как для векторов, в случае отсутствия кратных собственных значений и пар собственных пространство разлагается в прямую сумму собственных одномерных и двумерных пространств.