2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение02.09.2012, 12:05 
Заблокирован


27/08/12

23
Для Someone
Я могу пользоваться любыми установленными фактами.
А высказывания типа "чушь на уровне школьника младших классов" говорят об отсутствии аргументов в доказательстве и о соответствующем уровне культуры общения. Такие высказывания выходят за пределы правил форума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение02.09.2012, 13:53 


16/03/07

823
Tashkent
Someone в сообщении #612736 писал(а):
Господи, ну возьмите треугольник с целыми сторонами, например, $5$, $8$, $9$, и посчитайте по теореме косинусов, какие у него углы.

    Вы противоречите самому себе.
Someone в сообщении #612731 писал(а):
Если Вы просто берёте какой попало треугольник с целыми сторонами, то с какой стати он будет удовлетворять требуемому уравнению?


-- Вс сен 02, 2012 13:59:59 --

klitemnestr в сообщении #612908 писал(а):
Уважаемый Someone!
Косоугольный треугольник со сторонами $25, 36, 49$ существует, но приведенное соотношение чисел не удовлетворяет уравнению теоремы Ферма для степени $n=4$: $25^4+36^4=2070241 =(37,9319549...)^4 $.
$P.S.$ Я не претендую на доказательство теоремы Ферма, я всего лишь рассматриваю вопрос: может ли уравнение теоремы косинусов быть преобразовано в уравнение теоремы Ферма при условии, что стороны косоугольного треугольника имеют целочисленное значение.

    Докажите, что существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение02.09.2012, 16:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15883
Новомосковск
klitemnestr в сообщении #613787 писал(а):
Я могу пользоваться любыми установленными фактами.
А в чём, собственно говоря, Ваша цель? Разве не в доказательстве теоремы Ферма?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение02.09.2012, 16:35 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
klitemnestr в сообщении #612642 писал(а):
Пока вы не нашли ошибок в моем доказательстве, ...

klitemnestr,

в сообщениях, предшествующих этому, не было сформулировано какого-либо утверждения и его доказательства. Были сообщения с какими-то формулами и выводами, но подразумеваемое Вами при этом утверждение осталось тайной, которую различные читатели, возможно, по-разному трактовали.
Были два вопроса (в виде каких-либо утверждений не прозвучавшие):
klitemnestr в сообщении #611088 писал(а):
Вопрос 1: могут ли соотношения между сторонами косоугольного треугольника описываться двумя разными уравнениями: уравнением теоремы косинусов и уравнением теоремы Ферма?

Соотношения между сторонами косоугольного треугольника описываются, в частности, теоремой косинусов. Они никак не могут описываться уравнением теоремы Ферма: это теорема о неких соотношениях между целыми числами (одно из которых больше двух). К треугольникам эта теорема не имеет никакого отношения, как и к числу яблок, купленных Машей, Петей и Васей в некой другой задачке. Конечно, стороны некого косоугольного треугольника (как и упомянутые яблоки) могут удовлетворять или не удовлетворять уравнению теоремы Ферма. При этом рассмотрению подлежат только треугольники с целочисленными сторонами. Для данных сторон $a,b,c$ уравнение $a^n+b^n=c^n$ относительно $n$ решается, видимо, однозначно. Согласно теореме Ферма, целые решения c $n>2$ невозможны. Согласно теореме косинусов (треугольник косоугольный) невозможно и $n=2$. Ежели треугольник невырожденный, невозможно и $n=1$.
Что здесь неясного? В чём состоит Ваш вопрос (если он ещё остался) в точной формулировке?
klitemnestr в сообщении #611088 писал(а):
Вопрос 2: может ли уравнение теоремы косинусов быть преобразовано в уравнение теоремы Ферма и наоборот?
klitemnestr в сообщении #612908 писал(а):
Я не претендую на доказательство теоремы Ферма, я всего лишь рассматриваю вопрос: может ли уравнение теоремы косинусов быть преобразовано в уравнение теоремы Ферма при условии, что стороны косоугольного треугольника имеют целочисленное значение.

На неясность этой формулировки уже указывали. Сформулируйте, если актуально, без непонятного "преобразования уравнений". Например, в тех терминах, в которых я прокомментировал первый вопрос.

Без точных формулировок вопросов я буду считать тему исчерпанной. Если Вы что-то доказываете, сформулируйте утверждение.

-- 02 сен 2012, 17:55 --

Вариант понятной переформулировки вопроса 2:
Пусть имеется треугольник со сторонами $a,b,c$ и углом $\gamma\:\left[\gamma\lesseqgtr\frac\pi{2}\right]$, для которого сторона $c$ является противолежащей (т.е., в извращённой форме $$c^2=\left[(a-b)\cos\frac\gamma{2}\right]^2+\left[(a+b)\sin\frac\gamma{2}\right]^2;$$ может, кому-нибудь приглянется). Удовлетворяют ли числа $a,b,c$...
Нет, этот вопрос сформулировать не могу. Только тавтологии с первым получаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение02.09.2012, 17:30 


16/08/09
304
Someone в сообщении #613432 писал(а):
Чушь на совершенно детском уровне


AKM в сообщении #613882 писал(а):
Нет, этот вопрос сформулировать не могу. Только тавтологии с первым получаются.


Как-то всё затянулось для такого простого случая (а помнится самого Сорокина убеждали). :shock:
Думаю главный вопрос по теме должен звучать так: Корректно ли с точки зрения современной математики использовать теорему косинусов при доказательстве Великой теоремы Ферма?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение02.09.2012, 17:45 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Ну а как Вам видится ответ на такой вопрос, по-моему вполне аналогичный: "Корректно ли с точки зрения современной математики использовать теорему Пифагора для решения диофантова уравнения $x^2+y^2=z^2$?"

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение02.09.2012, 18:38 


16/08/09
304
AKM в сообщении #613923 писал(а):
Ну а как Вам видится ответ на такой вопрос, по-моему вполне аналогичный: "Корректно ли с точки зрения современной математики использовать теорему Пифагора для решения диофантова уравнения $x^2+y^2=z^2$?"


Многоуважаемый АКМ! Я всего лишь надеюсь увидеть четкое и простое объяснение для автора темы, почему не используют теорему косинусов для доказательства ВТФ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение02.09.2012, 20:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15883
Новомосковск
Belfegor в сообщении #613952 писал(а):
Я всего лишь надеюсь увидеть четкое и простое объяснение для автора темы, почему не используют теорему косинусов для доказательства ВТФ.
Поскольку неравенство треугольника для решений уравнения $a^n+b^n=c^n$ выполняется, то теорему косинусов формально написать можно, но это приведёт только к появлению ненужного угла. Теорема косинусов не накладывает никаких ограничений на стороны треугольника сверх простого неравенства треугольника, поэтому её использование бесполезно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение02.09.2012, 20:02 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612

(. :-) .)

Любезный Belfegor!

Очень легко убедиться, что все Ваши собеседники в теме были просто "уважаемыми". Даже Someone :-) . И лишь меня Вы произвели во "многоуважаемые". (Я, чтобы проверить свою память, воспользовался этой кнопочкой и поиском по странице). Это всего лишь из-за моего модераторского статуса? Не думаю, что я выделился здесь чем-то другим, например, какими-то обширными знаниями.

Буду признателен, если Вы меня будете трактовать, как и остальных участников. Да и сами подумайте: зайдёт сюда супермодератор, или, не дай бог, администратор --- Вам придётся неологизмы сочинять.


При попытках доказать ВТФ многие пытаются ввести некую величину (относительно малую, типа дефекта) для замены переменной $c$. Так, всем известны знаменитые переменные (или постоянные, не помню точно) $p$ и $d$ (правда, там везде перемешаны все пять буковок, $a,b,c,d,p$). Простейший и весьма распространённый случай --- что-то вроде $c=a+b-\varepsilon$. Говорить при этом, что мы "используем теорему о яблоках для доказательства ВТФ" как-то странно.

Некоторые предпочитатют более хитропопый способ введения этого дефекта, $c^2=a^2+b^2-2ab\varepsilon$. Обозначив этот $\varepsilon$ как $\cos\gamma$, этому выражению придают внешнее сходство с теоремой косинусов. А это всего лишь некое ограничение на возможные значения введённых переменных. Говорить при этом, что мы "используем теорему косинусов для доказательства ВТФ", по-моему, не менее странно. Собственно, именно это я хотел сказать, написав чуть выше эту бессмыслицу.

По моему скромному мнению "использовать теорему косинусов при доказательстве Великой теоремы Ферма" не некорректно, а бессмысленно. Вводить же дефект в той или иной форме --- почему бы и нет? Вдруг прокатит, что-то будет понятнее выглядеть?

Но, подчеркну, это не "с точки зрения современной математики", а чисто я так считаю. Возможно, кто-нибудь из современных математиков (к каковым я себя не причисляю) даст Вам ответ с интересующей Вас точки зрения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение02.09.2012, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15883
Новомосковск
klitemnestr в сообщении #613787 писал(а):
А высказывания типа "чушь на уровне школьника младших классов" говорят об отсутствии аргументов в доказательстве и о соответствующем уровне культуры общения.
Совершенно нормальное высказывание. Как я ещё могу охарактеризовать утверждение, что число $z= 4ab\cos\gamma[(a^2+b^2)-ab\cos\gamma]$ дробное? На каком основании оно дробное? Или Вы считаете, что если один из множителей в произведении не целый, то и всё произведение не целое? Я уже с таким сталкивался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение02.09.2012, 20:38 


16/08/09
304
AKM в сообщении #613979 писал(а):
(. :-) .)


Учту, Уважаемый АКМ! :D

-- Вс сен 02, 2012 21:46:37 --

Someone в сообщении #613977 писал(а):
Теорема косинусов не накладывает никаких ограничений на стороны треугольника сверх простого неравенства треугольника, поэтому её использование бесполезно.


Уважаемый Someone! Надеюсь это объяснение наконец-то поможет автору темы разобраться с загадкой теоремы косинусов. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение02.09.2012, 21:55 
Заслуженный участник


12/09/10
1510
Цитата:
Уважаемый Cash! За 3 с половиной сотни лет после Эйлера, Куммера, Софи Жермен? :shock: Ну уж вряд ли :D

УважаемыйBelfegor!
Внимательно прочитав мой пост - вы заметите, что это я говорил только о том, что 3 с половиной сотни лет известно об отсутствии решений уравнения $$x^4+y^4=z^\text{\large{\color{red}2}}.$$ Доказано самим Ферма.


 i  Cash,

надеюсь, Вы не против того, что я, спекулируя модераторскими правами, в частности, использованием красного цвета, подкрасил Ваше сообщение. Слово "целочисленных" (решений) вставлять не стал, все понимают. //AKM

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение02.09.2012, 23:18 


16/08/09
304
Cash в сообщении #614013 писал(а):
уравнения $$x^4+y^4=z^\text{\large{\color{red}2}}.$$ Доказано самим Ферма.


Уважаемый Cash! Принято!
Но тогда прокомментируйте и вторую часть моего сообщения. Повторюсь:
Belfegor в сообщении #613008 писал(а):
Но вот интересная цитата от Серпински:
"Для случая $n=3$ из Великой теоремы Ферма А.Вакулич элементарным путем доказал, что нет пифагоровых треугольников, у которых катеты - кубы целых чисел."

Встречалось ли Вам это доказательство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение03.09.2012, 07:44 


16/03/07

823
Tashkent
Someone в сообщении #613977 писал(а):
Поскольку неравенство треугольника для решений уравнения $a^n+b^n=c^n$ выполняется, то теорему косинусов формально написать можно, но это приведёт только к появлению ненужного угла. Теорема косинусов не накладывает никаких ограничений на стороны треугольника сверх простого неравенства треугольника, поэтому её использование бесполезно.

AKM в сообщении #613979 писал(а):
[off=". :-) ."]
По моему скромному мнению "использовать теорему косинусов при доказательстве Великой теоремы Ферма" не некорректно, а бессмысленно. Вводить же дефект в той или иной форме --- почему бы и нет? Вдруг прокатит, что-то будет понятнее выглядеть?

    Теорема косинусов – это почти физический закон для моделей чисел. Она имеет отношение в меньшей степени к треугольнику, а в большей степени ко всем арифметическим действиям, контролируя их правильность. Она накладывает ограничения на любые алгебраические уравнения, не исключая и уравнение Ферма. Она не признает нынешнее понятие числа и согласна с его определением по Пифагору. Всего не перечислить. Элементарное доказательство ВТФ будет получено только с помощью теоремы косинусов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение03.09.2012, 09:15 
Заслуженный участник


12/09/10
1510
Belfegor,

Цитирую Серпинского из его "О решении уравнений в целых числах" (1956 год)
Между тем, известное правильное доказательство уже для показателя 3 является неэлементарным

Цитата:
А.Вакулич элементарным путем доказал, что нет пифагоровых треугольников, у которых катеты - кубы целых чисел

Здесь утверждается, что получено доказательство элементарными средствами отсутствия нетривиальных целочисленных решений уравнения $x^6+y^6=z^2$, то есть не $n=3$, а $n=6$. Что вполне возможно.
Но на 100% уверен в отсутствии доказательства слова "косинус" по следующей причине. Вводя $\cos{\gamma}$ вместо $z$ мы
а) не понижаем степень исходного уравнения
б) не уменьшаем количество переменных
в) и главное, если о $z$ известно, что оно целое, то природа $\cos{\gamma}$ гораздо сложнее - известна лишь рациональность (причем не любое рациональное, а весьма специфическое). А в таком случае - ну ищите уж рациональные решения $\xi^n+\eta^n=1$

Впрочем, здесь обо всем этом уже говорил AKM

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 116 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group