2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение31.08.2012, 12:04 
Заблокирован


27/08/12

23
Уважаемый Someone!
Косоугольный треугольник со сторонами $25, 36, 49$ существует, но приведенное соотношение чисел не удовлетворяет уравнению теоремы Ферма для степени $n=4$: $25^4+36^4=2070241 =(37,9319549...)^4 $.
$P.S.$ Я не претендую на доказательство теоремы Ферма, я всего лишь рассматриваю вопрос: может ли уравнение теоремы косинусов быть преобразовано в уравнение теоремы Ферма при условии, что стороны косоугольного треугольника имеют целочисленное значение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение31.08.2012, 12:23 
Заслуженный участник


12/09/10
1518
Может. И здесь уже было показано, что существование решений уравнения для $n=4$ равносильно существованию треугольника с целочисленными сторонами, в котором выполняется равенство
$4(a^2+b^2)ab\cos\gamma -2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)=0$
И было сказано, что ни к чему хорошему это не приведет.
И доказательство не будет проще (если будет вообще!) известного вполне элементарного доказательства для случая $n=4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение31.08.2012, 15:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16287
Новомосковск
klitemnestr в сообщении #612908 писал(а):
Косоугольный треугольник со сторонами $25, 36, 49$ существует, но приведенное соотношение чисел не удовлетворяет уравнению теоремы Ферма для степени $n=4$
Ну и что? Во-первых, Вы пишете теорему косинусов для $a$, $b$, $c$, а не для $a^2$, $b^2$, $c^2$, так что стороны не обязаны быть квадратами. Во-вторых, из того, что данный конкретный набор чисел не удовлетворяет уравнению, не следует, что и никакой другой набор не удовлетворяет уравнению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение31.08.2012, 15:30 
Заслуженный участник


12/09/10
1518
klitemnestr в сообщении #612908 писал(а):
приведенное соотношение чисел не удовлетворяет уравнению теоремы Ферма для степени $n=4$:

Уже 3 с половиной сотни лет известно, что и не найдется таких чисел...
Есть какие-нибудь свежие идеи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение31.08.2012, 17:01 


16/08/09
304
Cash в сообщении #612970 писал(а):
Есть какие-нибудь свежие идеи?


Уважаемый Cash! За 3 с половиной сотни лет после Эйлера, Куммера, Софи Жермен? :shock: Ну уж вряд ли :D
Хотя дискуссия была чрезвычайно полезной!

-- Пт авг 31, 2012 18:36:29 --

Но вот интересная цитата от Серпински:
"Для случая $n=3$ из Великой теоремы Ферма А.Вакулич элементарным путем доказал, что нет пифагоровых треугольников, у которых катеты - кубы целых чисел."
Кто-нибудь видел это доказательство? Используется ли в нем теорема косинусов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение31.08.2012, 18:31 


16/03/07

823
Tashkent
klitemnestr в сообщении #612908 писал(а):
Уважаемый Someone!
Косоугольный треугольник со сторонами $25, 36, 49$ существует, но приведенное соотношение чисел не удовлетворяет уравнению теоремы Ферма для степени $n=4$: $25^4+36^4=2070241 =(37,9319549...)^4 $.
$P.S.$ Я не претендую на доказательство теоремы Ферма, я всего лишь рассматриваю вопрос: может ли уравнение теоремы косинусов быть преобразовано в уравнение теоремы Ферма при условии, что стороны косоугольного треугольника имеют целочисленное значение.

    Может, только при этом из теоремы косинусов получится условие, при котором это будет возможно. А это условие будет невыполнимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение01.09.2012, 10:14 
Заблокирован


27/08/12

23
Cash-y
Разность между числами может быть равна $0$, если это:
1. Равные по величине целые числа. В рассматриваемом случае $4(a^2+b^2)ab\cos\gamma$ и $2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)$ являются целыми числами, если угол $\gamma=60^0$. При этом имеем: $2(a^2+b^2)ab-3a^2b^2 =z$, где $z$ в данном случае не равно нолю.
2. Равные по величине рациональные дробные числа. В рассматриваемом случае величины $4(a^2+b^2)ab\cos\gamma$ и $2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)$ содержат единственный общий делитель $2ab$, и, главное, содержат $\cos\gamma$ и $\cos^2\gamma$ соответствено. Поэтому они не могут быть преобразованы в равные по величине рациональные дробные числа.
Следовательно, величина $z=4(a^2+b^2)ab\cos\gamma-2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)$ может с какой угодно точностью приближаться к нолю, но никогда не равна нолю.
Кстати: Величина $z$ преобразуется следующим образом: $z= 4ab\cos\gamma[(a^2+b^2)-ab\cos\gamma]-2a^2b^2$. Получается, что из дробного числа вычитается целое число. Так что число $z\ne0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение01.09.2012, 10:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16287
Новомосковск
klitemnestr в сообщении #613270 писал(а):
Разность между числами может быть равна $0$, если это:
1. Равные по величине целые числа.
Совершенно не обязательно целые. Целыми должны быть $a$, $b$, $c$. По условию. Про любые другие нужно доказывать, что они целые. У Вас же доказательства нет, только голословное заявление.

klitemnestr в сообщении #613270 писал(а):
В рассматриваемом случае $4(a^2+b^2)ab\cos\gamma$ и $2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)$ являются целыми числами, если угол $\gamma=60^0$.
А если угол не 60°?

klitemnestr в сообщении #613270 писал(а):
В рассматриваемом случае величины $4(a^2+b^2)ab\cos\gamma$ и $2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)$ содержат единственный общий делитель $2ab$, и, главное, содержат $\cos\gamma$ и $\cos^2\gamma$ соответствено. Поэтому они не могут быть преобразованы в равные по величине рациональные дробные числа.
Чушь на уровне школьника младших классов.

klitemnestr в сообщении #613270 писал(а):
Следовательно, величина $z=4(a^2+b^2)ab\cos\gamma-2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)$ может с какой угодно точностью приближаться к нолю, но никогда не равна нолю.
Определите угол $\gamma$ формулой, которую Вам уже писали, и получите точное равенство нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение01.09.2012, 11:03 
Заблокирован


27/08/12

23
Для Someone
Посмотрите дополненный текст моего последнего сообщения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение01.09.2012, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16287
Новомосковск
klitemnestr в сообщении #613270 писал(а):
Кстати: Величина $z$ преобразуется следующим образом: $z= 4ab\cos\gamma[(a^2+b^2)-ab\cos\gamma]-2a^2b^2$. Получается, что из дробного числа вычитается целое число.
Чушь на совершенно детском уровне. С чего Вы взяли, что число $4ab\cos\gamma[(a^2+b^2)-ab\cos\gamma]$ дробное? $2ab\cos\gamma=a^2+b^2-c^2$ - целое число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение01.09.2012, 17:28 


26/08/11
1751
klitemnestr в сообщении #613270 писал(а):
Cash-y
Разность между числами может быть равна $0$, если это:
1. Равные по величине целые числа. В рассматриваемом случае $4(a^2+b^2)ab\cos\gamma$ и $2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)$ являются целыми числами, если угол $\gamma=60^0$.
Т.е $\cos\gamma=\frac 1 2$. А если $\cos\gamma=\frac 1 3?$ Или 7/23 или 125/468?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение01.09.2012, 18:20 
Заблокирован


27/08/12

23
Для Someone
Допустим, что $z=0$. Тогда из приведенной мною выше формулы $c^4=a^4+b^4-z$, полученной возведением в квадрат уравнения теоремы косинусов, следует, что $c^4=a^4+b^4$ для любых чисел [a, b].

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение01.09.2012, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16287
Новомосковск
Да, следует. А в чём проблема?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение02.09.2012, 09:49 
Заблокирован


27/08/12

23
Проблема в том, что до сих пор не найдено целочисленное решение уравнения
$c^4=a^4+b^4$. Наоборот, доказано, что это уравнение не имеет решения в целых числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Ферма и теорема косинусов
Сообщение02.09.2012, 10:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16287
Новомосковск
klitemnestr в сообщении #613740 писал(а):
Проблема в том, что до сих пор не найдено целочисленное решение уравнения
$c^4=a^4+b^4$.
Мало ли чего не найдено. Это, с точки зрения необходимости доказательства, ничего не значит.

klitemnestr в сообщении #613740 писал(а):
Наоборот, доказано, что это уравнение не имеет решения в целых числах.
Вы ведь именно это хотите доказать. Поэтому ссылаться на это не имеете права. Если Вы доказываете какую-нибудь теорему, то Вы не имеете права ссылаться на то, что она верна.

Это всё означает в данном случае, что Вы не имеете права произносить слова "числа $a$, $b$, $c$ не могут быть целыми все одновременно". До тех пор, пока не закончите доказательство.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 116 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group