Асимптотическая плоскость

[Shtorm]

Shtorm в сообщении #589466 писал(а):

Я-то всегда привык представлять гиперболический параболоид в виде лошадиного седла, особо не задумываясь – как оно там дальше тянется,…Если бы Вы не написали эту функцию – я так бы и считал, что у гиперболического параболоида – нет никаких асимптотических плоскостей, ибо он весь такой вывернутый и изогнутый…Но сечения, перпендикулярные оси $z$ показывают семейство гипербол, проекции асимптот которых совпадают….Даже не знаю.

Прошу помощи - как Вы считаете, есть тут на самом деле асимптотические плоскости или нет? (я спрашиваю не с точки зрения того определения, а вообще с геометрической точки зрения?)

Итак, сам же себе и отвечаю: По определению, сформулированному совместно Алексеем К., мной и ИСН, - асимптотические плоскости (А.П.) есть! По рисунку, построенному в специальном масштабе, тоже очень чётко видно наличие у гиперболического параболоида А.П. Поэтому со всех точек зрения, гиперболический параболоид имеет А.П.!

ИСН в сообщении #588773 писал(а):

Я возьму функцию $z=e^{(y-2x)(y-x/2)}$, и что? И где будут те пределы?

Итак, применяем те формулы и видим, что по ним получается, что А.П. нет.

ИСН в сообщении #589011 писал(а):

По свойству нет, а по определению есть. Что будем делать?

А оказывается делать надо было то, что внимательно читать своё же собственное свойство:

Shtorm в сообщении #588332 писал(а):

То, уравнения вида (2), задают наклонные асимптотические плоскости поверхности (1).

Итак, подчёркиваю – наклонные асимптотические плоскости (Н.А.П.), а не любые! У функции $z=e^{(y-2x)(y-x/2)}$ - вертикальные асимптотические плоскости (В.А.П.) и у гиперболического параболоида – то же В.А.П. Поэтому те формулы и не подходят.
Для поиска же уравнений В.А.П., явно заданной функции двух переменных, придётся строить семейство параллельных плоскостей, которые перпендикулярны оси $OZ$, в этих плоскостях отыскивать уравнения кривых, а потом по стандартным методикам искать уравнения асимптот. Уравнения этих асимптот, записанные в трёхмерном пространстве дадут уравнения В.А.П.

Итак, те формулы работают, Алексей К., все контрпримеры провалились.

[ИСН]

У моей функции есть горизонтальная А.П. $z=0$.

[Shtorm]

ИСН в сообщении #590167 писал(а):

У моей функции есть горизонтальная А.П. $z=0$.

Откуда она там? Нет там горизонтальных А.П. При сечении различными плоскостями, перпендикулярными плоскости $OXY$ получаем в экспоненте $x$ или $y$ в квадрате (кроме младших слагаемых) и перед этим квадратом будет знак "плюс". Это такие кривульки чем-то похожие на параболу, но резче возрастающие.

[ИСН]

От верблюда.
Вы их (секущие) все пробовали, что ли? Очевидно, нет. Попробуйте плоскость $x=y$.

[Shtorm]

Да, точно....вот......надо думать, почему всё так...почему такая нескладная система..

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #590127 писал(а):

Итак, те формулы работают, Алексей К., все контрпримеры провалились.

LOLать особо не спешите. Тот контрпример был к вполне конкретной ситуации, когда Вы предел по двум переменным подменяли пределом по траектории $y=x$. И никуда он не провалился. Вы просто чуть поумнели и придумали $y=Cx$.

И всё равно Ваши гениальные формулы, записанные теперь невыносимо громоздко, по-прежнему малограмотны
(они слишком тривиальны, чтобы быть неверными).
Предел по двум переменным так не считается. И не надо больше цитировать Фихтенгольца --- Вы читать не умеете (уже здесь было), и легко подкладываете прочитанное под себя.

Shtorm в сообщении #587778 писал(а):

Цитирую Г. М. Фихтенгольц "Курс дифференциального и интегрального исчисления", том 1, Глава пятая, пункт 166:

Заголовок: "Сведение к случаю варианты".
"Рассмотрим в $n$-мерном пространстве последовательность точек
......................................................
Я уж не буду всё цитировать, там дальше он всё доказывает, рассматривает различные случаи и примеры.

А цитировать надо было мелочь, несколько строк, написанных курсивом. Я их смотрел тогда, неделю назад, и было там слово "всегда". Типа берём последовательность точек, строим последовательность значений функции, и она всегда сходится в одно и то же место...
"Всегда" означает что проделывать это надо, как минимум, утром, днём, и вечером. Чем в Вашем описании акта взятия предела и не пахнет.
Или "всегда" брать новую последовательность, до опупения. Что, конечно, ещё сложнее.

Для Ваших целей действительно было бы достаточно пределов при $r\to+\infty$ по радиальным направлениям, $x=r\cos\varphi,\: y=r\sin\varphi,$ что есть просто предел функции одной переменной, и не заводить дополнительный сюжет. И с плюс-минусами мудрить не надо. Возможно, в каком-то диапазоне углов.

[Алексей К.]

$z=|x|^y$. Типа как $x^2,\:x^4,\: x^{88},\:\ldots$. Донышко $(|x|<1)$ уплощается, уплощается, к оси прижимается прямоугольничком... Можно, наверное, голосование устраивать --- есть она тут или нет? Аналогично $z=|\varphi|^r,\;\varphi\in(-\pi;\pi].$

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #590702 писал(а):

$z=|x|^y$. Типа как $x^2,\:x^4,\: x^{88},\:\ldots$. Донышко $(|x|<1)$ уплощается, уплощается, к оси прижимается прямоугольничком... Можно, наверное, голосование устраивать --- есть она тут или нет? Аналогично $z=|\varphi|^r.$

Если действовать по "Вашему определению", то рассекаем семейством плоскостей $x=C$ и получаем $z=|C|^y$. То есть получили семейство показательных функций, каждая из которых имеет горизонтальную асимптоту $z=0$. Следовательно, по поводу горизонтальной асимптотической плоскости (Г.А.П.), заданной уравнением $z=0$ голосовать не придётся - она есть. Про другие плоскости не знаю, надо подумать.

[ИСН]

Вы в других местах выдвигали требования, чтобы там было не просто какое-то, а какое надо семейство. А какое надо? А здесь какое?

[Shtorm]

ИСН в сообщении #590773 писал(а):

Вы в других местах выдвигали требования, чтобы там было не просто какое-то, а какое надо семейство. А какое надо? А здесь какое?

Так $x$ тут стоит по модулю, то есть можем брать и отрицательные значения $C$ - то есть с этой точки зрения бесконечное множество. А....Вы имели ввиду, что если C по модулю меньше единицы, то показательная функция по другому себя ведёт? Но все равно у них получается $z=0$. Ну и точки локальных неоднородностей типа $1^y$ как мы с Вами говорили выше - не влияют на глобальное свойство поверхности.

-- Сб июн 30, 2012 21:29:47 --

Алексей К., а как Вы оцениваете определение, которое дал Oleg Zubelevich???

[ИСН]

А, ну да, там же это самое. Тогда ОК.

-- Сб, 2012-06-30, 22:51 --

Определение со словами

Oleg Zubelevich в сообщении #589744 писал(а):

Будем говорить, что линейное многообразие $L$ является асимптотическим к многообразию $M$ если найдется гладкое подмногообразие $N\subseteq M$ удовлетворяющее условию (...)

- плохо тем, что не оговаривает никаких требований к подмногообразию N. А что если это всего одна узенькая полоска? По такому определению получается, что поверхность с единственной $H_\perp$ (выше где-то был пример) имеет А.П.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #590777 писал(а):

Алексей К., а как Вы оцениваете определение, которое дал Oleg Zubelevich?

(Оффтоп)

А я не понимаю, что там написано. Первые фразы я способен перевести на старославянский без словаря, а начиная с "проектора" не могу. И ту главную формулу не умею читать. С тех пор, как меня учили, язык математики сильно поменялся, и я не дал себе труда освоить новую версию (меня больше привлекали PostScript, французский и др.). Знакомый переводчик ещё 3 недели будет в отпуске.

Алексей К. в сообщении #583439 писал(а):

Я никогда не соглашусь на должность одабривателя определений.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #590777 писал(а):

Так $x$ тут стоит по модулю, то есть...

Модуль не принципиален, поставлен для симметрии, никаких "то есть" от него быть не может. Можно его убрать, сузить область определения. Останется половинка полосы.

Shtorm в сообщении #590761 писал(а):

Про другие плоскости не знаю, надо подумать

Проверку Вашими привычными средствами вертикальных асимптотических плоскостей можно сделать в координатах, в которых подозреваемые лягут горизонтально.

[Joker_vD]

Oleg Zubelevich в сообщении #589744 писал(а):

Пусть $M\subseteq X=\mathbb{R}^m$ -- гладкое многообразие.
Введем линейное многообразие $L=E+a$, где $a\in X$ -- некоторый фиксированный вектор, $E\subseteq X$ -- линейное пространство. И пусть $X=E\oplus U$ и $P_U:X\to U,\quad P_E:X\to E$ --соответствующие проекторы, $P_E+P_U=I$. Через $B_R$ обозначим шар радиуса $R$ с центром в нуле.

Будем говорить, что линейное многообразие $L$ является асимптотическим к многообразию $M$ если найдется гладкое подмногообразие $N\subseteq M$ удовлетворяющее условию :

для любого $\varepsilon>0$ найдется $r>0$ такое, что если $R>r$ то

$$N\mathbin{\diagdown} B_R\ne\varnothing,\quad N\mathbin{\diagdown} B_R\subseteq\{x\in X\mid\|P_U(x-a)\|<\varepsilon\}$$

Берем прямую/плоскость/гиперплоскость $L$, $E$ — это она же, параллельно сдвинутая в начало координат, а $a$ — вектор обратного сдвига. Теперь обозначаем за $U$ ортогональную к $L$ гиперплоскость/плоскость/прямую наибольшей возможной размерности. Проекторы, как следует из название, проектируют на соответствующее линейное подпространство.

Далее берем подмногообразие $N$... в случае $\mathbb R^3$ и поверхности, это будет, как правило, кривая на рассматриваемой поверхности. Оно должно быть неограниченным (первое условие), и для его точек $x\in N$, находящихся достаточно далеко от начала координат, должно быть верно такое условие: $\|P_U(x-a)\|<\varepsilon$. Что это за условие? Сдвигаем точку на $a$ ближе к началу координат, проецируем ее радиус-вектор на ортогональное к $E$ линейное подпространство, берем длину этой проекции... ха, так это же просто расстояние от $x$ до $L$! И оно должно быть сколь угодно мало для всех точек, $N$ достаточно далеких от начала координат. Так что главную формулу можно переписать так:

$$\forall \varepsilon>0\;\exists r>0\colon \forall R>r \quad N_R=N\mathbin{\diagdown} B_R\ne\varnothing,\; \forall x \in N_R \;\; \rho(x,L)<\varepsilon$$

[Shtorm]

Joker_vD в сообщении #590943 писал(а):

Далее берем подмногообразие $N$... в случае $\mathbb R^3$ и поверхности, это будет, как правило, кривая на рассматриваемой поверхности. Оно должно быть неограниченным (первое условие), и для его точек $x\in N$, находящихся достаточно далеко от начала координат, должно быть верно такое условие: $\|P_U(x-a)\|<\varepsilon$. Что это за условие? Сдвигаем точку на $a$ ближе к началу координат, проецируем ее радиус-вектор на ортогональное к $E$ линейное подпространство, берем длину этой проекции... ха, так это же просто расстояние от $x$ до $L$! И оно должно быть сколь угодно мало для всех точек, $N$ достаточно далеких от начала координат. Так что главную формулу можно переписать так:

$$\forall \varepsilon>0\;\exists r>0\colon \forall R>r \quad N_R=N\mathbin{\diagdown} B_R\ne\varnothing,\; \forall x \in N_R \;\; \rho(x,L)<\varepsilon$$

Но тем не менее, даже в такой расшифровке, гладкое многообразие $N$ по прежнему может создавать лишь одну единственную асимптоту, как сказал ИСН, а это не есть хорошо. То есть нужно усовершенствовать данное определение. Интересно было бы рассмотреть реальные примеры функций, заданных хотя бы в четырёх-мерном пространстве и посмотреть как там всё действует.
Говорю наугад: если мы с ИСН, обнаруживали локальные неоднородности в трёхмерных функциях- и эти локальные неоднородности представляли собой прямые или кривые линии, в которых асимптоты в секущих плоскостях просто не могли существовать, то в четырёхмерном пространсве могут быть локальные трёхмерные объекты, в которых не может быть требуемого гладкого многообразия $N$. Я прав?