Асимптотическая плоскость

[ИСН]

Shtorm в сообщении #588998 писал(а):

Теперь дальше, что бы ни получилось в пределе, перед пределом уже стоит выражение, зависящее от $y$.

Этого мало: а вдруг бы там в пределе был 0? Но Вы, наверное, уже видите, что это не так.

Shtorm в сообщении #588998 писал(а):

Следовательно, по вышеозначенному свойству - никаких наклонных А.П. нет.

По свойству нет, а по определению есть. Что будем делать?

[Алексей К.]

По свойству есть, а по определению нет:

$$z=\frac{1+8xy(x^6-y^6)-56x^3y^3(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^4}\quad\left[{}=\sin 8\varphi+\frac1{r^8}\right].$$

(Думаю, можно к знаменателю единичку добавить, чтоб не мучиться с особенностью в нуле при рисовании; не должна она испортить асимптотику).
Пора бы автору самому научиться искать контрпримеры к своим фулечкам.

[INGELRII]

(Оффтоп)

О Аллах, тема до сих пор жива и пошла уже на четырнадцатую страницу! Казалось бы, о чем говорить, когда не о чем говорить? Оказывается, можно...

[Joker_vD]

Ох, перечитывать все это и проверять выкладки нет никаких сил, а тема интересная. Правильно ли я понял нынешнее определение: есть поверхность $S$. Сечем ее плоскостью $N$, на ней получается кривая $C_N=N\cap S$. У этой кривой обнаруживается асимптота $L_N$, тогда мы строим плоскость $H$ так, чтобы $H\perp N$, $H\cap N=L_N$, и называем плоскость $H$ асимптотической плоскостью поверхности $S$?

[ИСН]

Тут есть неустоявшиеся моменты. Все сходятся на том, что плоскость N должна быть не одна, а вот как именно - - -

[INGELRII]

Такая мысль посетила:

1) Берем ваще тупо все плоскости $\{N_\alpha\}$. Сечем ими нашу поверхность. Получаем множество всевозможных кривых-сечений $\{L_\alpha\}$. Если какие-то плоскости поверхность не пересекают - нам пофиг.

2) Для каждой из полученного семейства кривых $L_\alpha$ смотрим, имеет ли она асимптоту. Если имеет - строим ее как прямую $m_\alpha$. Получаем семейство асимптотических прямых для всех сечений исходной поверхности, $\{m_\alpha\}$.

3) Теперь смотрим на полученное $\{m_\alpha\}$ и рассматриваем его как множество точек. Если оно содержит в качестве своего подмножества плоскости, то собственно вот - это и есть искомые асимптотические плоскости.

[Joker_vD]

Я буду обозначать за $H_\perp$ произвольную плоскость, перпендикулярную $H$.

ИСН
Если требовать, чтобы все $H_\perp$ доставляли кривульку, асимптотой к которой будет $H\cap H_\perp$, то асимптотических плоскостей вообще не будет. Ну возьмем просто плоскую кривую в пространстве, у которой есть асимптота. Хотелось бы, чтобы у ней была и асимптотическая плоскость, причем содержащая эту асимптоту, верно?

[ИСН]

Правильно, поэтому надо на чём-то остановиться. Все $H_\perp$ нельзя и не надо. Одна из версий была: подмножество $H_\perp$, включающее все плоскости с каким-то одним фиксированным направлением нормали. Но тут тоже свои проблемы. Другая, моя (ранее не формулировал): тупо любое континуальное подмножество. Интересный вариант, не находите? Третья, от INGELRII: такое подмножество, чтобы прямые от него накрывали всю $H$...

[Joker_vD]

Четвертая: интересующие $H_\perp$ должны в совокупности высекать на $H$ множество ненулевой меры.

[Алексей К.]

INGELRII в сообщении #589288 писал(а):

Такая мысль посетила:

1) Берем ваще тупо все плоскости

Да инвертируйте поверхность относительно единичной сферы и смотрите, сколько раз оно через начало координат пройдёт, и какие там будут соприкасающиеся сферы.
Это я, пардон, повторяюсь, для новичков, которые ещё не всё познали , и которым лень читать всю эту бесконечно интересную тему. Потенциально и актуально бесконечно интересную.

[Shtorm]

ИСН в сообщении #589011 писал(а):

Shtorm в сообщении #588998 писал(а):

Теперь дальше, что бы ни получилось в пределе, перед пределом уже стоит выражение, зависящее от $y$.

Этого мало: а вдруг бы там в пределе был 0?

Точно, не учёл этот важный момент.

ИСН в сообщении #589011 писал(а):

Но Вы, наверное, уже видите, что это не так.

Вижу, слава великому Лопиталю!

ИСН в сообщении #589011 писал(а):

По свойству нет, а по определению есть. Что будем делать?

Мда…Это что, же получается: у любой поверхности, подобной гиперболическому параболоиду – есть асимптотические плоскости?...Вот я вчера, да и сегодня завис…
Я-то всегда привык представлять гиперболический параболоид в виде лошадиного седла, особо не задумываясь – как оно там дальше тянется,…Если бы Вы не написали эту функцию – я так бы и считал, что у гиперболического параболоида – нет никаких асимптотических плоскостей, ибо он весь такой вывернутый и изогнутый…Но сечения, перпендикулярные оси $z$ показывают семейство гипербол, проекции асимптот которых совпадают….Даже не знаю.

Прошу помощи - как Вы считаете, есть тут на самом деле асимптотические плоскости или нет? (я спрашиваю не с точки зрения того определения, а вообще с геометрической точки зрения?)

[svv]

Shtorm писал(а):

как Вы считаете, есть тут на самом деле асимптотические плоскости или нет? (я спрашиваю не с точки зрения того определения, а вообще с геометрической точки зрения?)

Философский момент: если об асимптотичности можно судить, опираясь на нечто под названием "геометрическая точка зрения", и именно ей наибольшее доверие, зачем искать ещё какие-то определения и признаки? Пусть те, кто может использовать в этом вопросе "геометрическую точку зрения", объяснят, как они это делают. Этот алгоритм и будет определением.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #589074 писал(а):

По свойству есть, а по определению нет:

$$z=\frac{1+8xy(x^6-y^6)-56x^3y^3(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^4}\quad\left[{}=\sin 8\varphi+\frac1{r^8}\right].$$

(Думаю, можно к знаменателю единичку добавить, чтоб не мучиться с особенностью в нуле при рисовании; не должна она испортить асимптотику).
Пора бы автору самому научиться искать контрпримеры к своим фулечкам.

По свойству: Угловые коэффициенты $k_{1}$ и $k_{2}$ получаются равными нулю. Значит при нахождении коэффициента $b$ остаётся взять предел от самой исходной функции. При подстановке $y=C_{1}x$, где $C_{1}\ne 0$ в зависимости от значений $C_{1}$ будем получать разные ответы, следовательно предел не существует, следовательно, асимптотических плоскостей по свойству нет.

[Алексей К.]

А, то есть брание предела при $x\to\infty,\:y\to\infty$ исключительно по траектории $y=x$ уже отменили...
Пардон, не заметил этого прогресса.

[Oleg Zubelevich]

затер пока