Асимптотическая плоскость

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #581026 писал(а):

Может, Вы просто увлечённый вики-писатель, и нашли там незаполненную асимптотическую дыру?

Никогда, ничего не писал ни в Википедии, ни в Викизнании, но возможно придётся. Вы правильно выразились про асимптотическую дыру в теории. Казалось бы такой элементарный вопрос и недоработан. Не странно ли?
Я вообще когда затевал эту тему, думал, что мне напишут, почитай книжку академиков Петрова, Иванова, Сидорова "Полный курс аналитической и дифференциальной геометри для чайников в 5-ти томах, с примерами и рисунками" Уважаемый ИСН сначала отстаивал позицию, что данный вопрос является просто частным случаем и решается как элементарная задачка, по аналогии с плоскими кривыми. Затем он признался, что здесь возможно своя теория. Уважаемый ewert, сначала говорил, что такое поведение функций "неестественно", но я ему на примерах доказал, что таких функций много и они вполне естественны. Затем он сказал, что определение "Асимптотической плоскости" бессмысленно, но так и не сказал почему. Ведь так можно сказать и про асимптоты плоских кривых - что они бессмысленны. Но раз они имеют смысл, то тем более и асимптотические плоскости имеют смысл.
Уважаемый Алексей К., сильно мне помог, вырабатывая определение "Асимптотической плоскости" и приводя наглядные примеры. Но странно читать от него:

Алексей К. в сообщении #581669 писал(а):

Изучаемое свойство, хоть до сих пор и не определённое,...

Мы же дали аж целых два определения и на примерах показали!!
Может пора эту тему перенести в "Дискуссионные темы?"
Кстати у функции $z=\dfrac {1}{x^2+y^2}+\sqrt{1+x^2}$ две асимптотические плоскости. И вообще я опробировал вышеприведённые формулы на ряде функций и убедился в их правильности. И можно было бы сказать, что всё элементарно по аналогии с плоскими кривыми, но остаётся строгое доказательство утверждения

Цитата:

Вычисляем пределы: $k_{1}=\lim \limits_{x\to +\infty} \frac {f(x,y)}{x}$ и $k_{1}=\lim \limits_{x\to -\infty} \frac {f(x,y)}{x}$

А если в обоих пределах получились в ответе выражения, зависящие от y - то однозначно асимптотических плоскостей нет.

Если это не рассмотрено в учебниках, может пора публиковать статьи, уважаемые коллеги?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #583184 писал(а):

Мы же дали аж целых два определения

Первое

Shtorm в сообщении #580021 писал(а):

Асимптотическая плоскость - плоскость, касающаяся данной поверхности в бесконечно удаленной точке, но не лежащая вся в бесконечности. Ну, то есть полная аналогия с асимптотой функции одной переменной, только в трехмерном пространстве и не прямая, а плоскость.

Второе

Shtorm в сообщении #580148 писал(а):

Асимптотическая плоскость - плоскость, обладающая тем свойством, что расстояние от точек некоторой прямой, лежащей на поверхности, до этой плоскости стремится к нулю при перемещении этой прямой вдоль поверхности в бесконечность.

Третье

Shtorm в сообщении #580148 писал(а):

Асимптотическая плоскость - плоскость, обладающая тем свойством, что расстояние от точек некоторой прямой, лежащей на поверхности, до этой плоскости стремится к нулю при перемещении этой прямой вдоль поверхности в бесконечность.

Четвёртое (со статусом гипотезы)

Shtorm в сообщении #580480 писал(а):

Рискну выдвинуть гипотезу: "Если поверхность имеет асимптотическую плоскость, то всегда найдётся линия, лежащая на поверхности, расстояния от каждой точки которой до асимптотической плоскости - все равны друг другу. (конечно под расстоянием понимаются перепендикуляры опущенные из точек линии на плоскость)

Пятое

Shtorm в сообщении #580838 писал(а):

Просто необходимо переформулировать гипотезу таким образом:

Шестое

Shtorm в сообщении #581637 писал(а):

Плоскость $P$ называется асимптотической плоскостью поверхности $S$, если существует такое семейство параллельных плоскостей $N_{i}\perp P$, что прямая, образованная пересечением любой плоскости $N_{i}$ и $P$ , будет асимптотой кривой, образованной пересечением той же $N_{i}$ и $S$.

Седьмое

Shtorm в сообщении #581661 писал(а):

Хорошо, давайте напишем:

"Асимптотическая плоскость - плоскость, обладающая тем свойством, что расстояние от точек некоторой линии, лежащей на поверхности, до этой плоскости стремится к нулю при удалении линии по поверхности в бесконечность. Причём расстояния от всех точек этой линии до плоскости одинаковы, и линия не образована пересечением рассматриваемой поверхности и асимптотической плоскости."

-- 10 июн 2012, 21:55:22 --

Так писать нехорошо. "Целых два, блин, определения"...

-- 10 июн 2012, 22:01:12 --

Кстати, было у меня как-то наблюдение, что те Ваши формулы из предшествовавшего им определения никак не следовали. Или я это следование не ущучил...

[Shtorm]

Алексей К.
Но ведь я там выше писал, что Брокгауз и Ефрон - ошиблись - значит минус "первое" определение. Затем все мои первые несколько попыток самостоятельно дать определение мы забраковали и оставили только самое последнее, где уже "по поверхности" (ещё минус несколько). И Ваше определение скорректированное где, "найдётся такое семейство параллельных плоскостей....". Потому я и написал, что два определения. А все остальные отброшены, как ненужные черновики с ошибками.

-- Вс июн 10, 2012 21:12:58 --

Алексей К. в сообщении #583190 писал(а):

Кстати, было у меня как-то наблюдение, что те Ваши формулы из предшествовавшего им определения никак не следовали. Или я это следование не ущучил...

Всё верно, не следовали. Но это лишь потому, что Вы, как самый логичный и последовательный критик моей темы, окончательно не одобрили моё последнее определение. Вот я и жду - а вдруг ещё какие-то недостатки?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #583196 писал(а):

несколько попыток ... мы забраковали и оставили только самое последнее

Не думаю, что его оставили тоже "мы". Больше похоже на "они" устали.

-- 10 июн 2012, 22:23:51 --

(Оффтоп)

Shtorm в сообщении #583196 писал(а):

Вы, как самый логичный и последовательный критик моей темы,

Боюсь Вас разочаровать (хотя я признавался, что не специалист, но Вы не поверили), но, по-честному, дело в следующем: по форуму прошёл слух (точнее, ЛС-ух), что с 1 сентября всех Заслуженных Участников, набравших более 5000 сообщений, переведут в Народные. А это --- возможность бесконечно редактировать свои и чужие сообщения и бесплатный электрический велосипед. Меня привлекает последнее. Критиковать Вас очень легко, и сообщения пишутся, пишутся, и получаются как бы по делу (таковы же мотивы моей активности и в этой теме). А вот этой плоскостью, как и той теоремой, --- ну никак не могу заинтересоваться.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #583197 писал(а):

А вот этой плоскостью ну никак не могу заинтересоваться.

Ну я конечно понимаю Вас. Это всё равно, что сидишь на какой-нибудь научной конференции и естественно, что большинство докладов - совершенно не интересны (данному конкретному слушателю) Но Вы хотя бы признайте, что такая плоскость есть, а значит у неё есть и своё уравнение!!!

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #581760 писал(а):

..Записать прямую параметрически, или $ax+by+c=0$, и плевать --- вертикальная она асимптота или горизонтальная. Ну, так в большинстве тех задачек было, когда я геометрию в детстве решать любил.

Как известно из теории плоских кривых: наклонных (горизонтальных) асимптот может быть не более двух. А вертикальных - сколько угодно. А что будет, если мы повернём на угол, скажем 45 градусов, график функции $y=\tg(x)$? Все вертикальные превратятся в наклонные?
Алексей К., а вот Вам не интересно, какое максимальное количество наклонных асимптотических плоскостей может быть у поверхности? И придумать уравнение такой поверхности, чтобы было 3 или 4 асимптотических плоскости?

А хотя, что за примером далеко ходить $z=\sqrt {1+x^2}+\sqrt {1+y^2}$ имеет 4 асимптотические плоскости.

[Алексей К.]

Если график тангенса считать плоской кривой (а не тысячей кривых), то что нам за него цепляться?
Взяли любую кривую, типа $xy=1$, размножили её поворотами и переносами, обозвали это множество одной кривой, и получили сколько угодно каких угодно асимптот.

-- 11 июн 2012, 10:45:26 --

Shtorm в сообщении #583271 писал(а):

Вам не интересно, какое максимальное количество наклонных асимптотических плоскостей может быть

Нет, не особо интересно. Думаю, у "поверхности" $\tg(x+z)+x-z=0$ их не счесть.

-- 11 июн 2012, 10:59:15 --

Определения плоской кривой и поверхности математикам, безусловно, известны. И всякие непрерывности там наверняка фигурируют. Я всегда обходился нестрогими интуитивными представлениями. Даже когда служил главным курвологом в одной организации.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #581661 писал(а):

"Асимптотическая плоскость - плоскость, обладающая тем свойством, что расстояние от точек некоторой линии, лежащей на поверхности, до этой плоскости стремится к нулю при удалении линии по поверхности в бесконечность. Причём расстояния от всех точек этой линии до плоскости одинаковы, и линия не образована пересечением рассматриваемой поверхности и асимптотической плоскости."

Shtorm в сообщении #583196 писал(а):

Вы ... окончательно не одобрили моё последнее определение.

Я никогда не соглашусь на должность одабривателя определений. Вот в свете последнего определения, --- я возьму поверхность, не сильно горбатую, и буду ехать по ней на велосипеде. Я выберу сумерки и возьму фонарик. Световое пятно будет на поверхности, а его граница будет той самой некоторой линией. Я еду, и линия перемещается. Всё в рамках определения. И вот я съездил до бесконечности на юг, и линия удалилась со мной в бесконечность. Всё в рамках определения. И как бы получил асимптотическую плоскость. На север уже не ездил, устал. А кто-то на север съездил, и не нашёл асимптотической плоскости...

-- 11 июн 2012, 16:39:07 --

Shtorm в сообщении #583204 писал(а):

Но Вы хотя бы признайте, что такая плоскость есть,

Г. в.! Признаю без всяких "хотя бы".

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #583303 писал(а):

Если график тангенса считать плоской кривой (а не тысячей кривых), то что нам за него цепляться?
Взяли любую кривую, типа $xy=1$, размножили её поворотами и переносами, обозвали это множество одной кривой, и получили сколько угодно каких угодно асимптот.

Я только сейчас полностью убедился, что утверждение: "Плоская кривая может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот", относится только к функциям вида $y=f(x)$, то есть явно заданным функциям. А вот неявно заданные функции могут иметь сколько угодно наклонных (горизонтальных асимптот). И когда мы поворачиваем график функции $y=\tg(x)$, то получаем неявно заданную функцию (в старой системе координат). Например если мы поворачиваем на 45 градусов, то получаем $\tg(\frac {x}{\sqrt{2}}+\frac {y}{\sqrt{2}})+\frac {x}{\sqrt{2}}-\frac {y}{\sqrt{2}}=0$

Алексей К. в сообщении #583303 писал(а):

Думаю, у "поверхности" $\tg(x+z)+x-z=0$ их не счесть.

Ну естественно! Ведь Вы написали уравнение тангенциального цилиндра, образованного из обычного тангенса с коэффициентами, построенного в плоскости XOZ и повёрнутого на 45 градусов относительно начального положения.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #583660 писал(а):

Я только сейчас полностью убедился, что утверждение: "Плоская кривая может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот", относится только к функциям вида $y=f(x)$,

У Вас какое-то своё определение "плоской кривой". Приведите его, что ли... Путать кривые и графики функций --- нехорошо. Я не могу представить себе плоскую кривую с тремя и более асимптотами. А график тангенса воспринимаю как объединение бесконечного множества плоских кривых.

-- 12 июн 2012, 11:47:56 --

Shtorm в сообщении #583660 писал(а):

А вот неявно заданные функции

Любая явно заданная функция становится неявной при переписывании уравнения в виде $y-f(x)=0$.

[Алексей К.]

Чердак Б.М. Ограниченность кривых, заданных своими кривизнами. Уч. зап. Ленинград. пед. ин-та им. А.И. Герцена, т. 274(1965), 202–212.
Саму статью не нашёл, пересказываю по памяти: кривая имеет асимптоту, если интеграл

$$\int\limits_0^\infty s\,k(s)\,ds$$

сходится (там кривизна и длина дуги). Нормальный признак, которому наплевать на наклонность, горизонтальность и прочую чушь. Инвариантный то есть. Вторую асимптоту получим при интегрировании от нуля до $-\infty$.

Вот, берите вторую квадратичную форму поверхности, и лабайте. Если не определение, то хотя бы признак...

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #583439 писал(а):

...Вот в свете последнего определения, --- я возьму поверхность, не сильно горбатую, и буду ехать по ней на велосипеде. Я выберу сумерки и возьму фонарик. Световое пятно будет на поверхности, а его граница будет той самой некоторой линией. Я еду, и линия перемещается. Всё в рамках определения. И вот я съездил до бесконечности на юг, и линия удалилась со мной в бесконечность. Всё в рамках определения. И как бы получил асимптотическую плоскость. На север уже не ездил, устал. А кто-то на север съездил, и не нашёл асимптотической плоскости...

Приведу определение асимптоты из Пискунов Н.С. "Дифференциальное и интегральное исчисление" том 1:
"Прямая A называется асимптотой кривой, если расстояние $\delta$ , от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю."
Моё последнее определение полностью аналогично вышеприведённому определению. А теперь представим себе "плоского двумерного велосипедиста", который едет по плоской кривой, имеющей асимптоту. Предположим, что велосипедист движется по кривой $y=\ln(x)$ на "юг", в данном случае налево вниз (относительно наблюдателя, смотрящего на плоскость XOY):-) и с помощью двумерного плоского фонарика обнаруживает асимптоту, потом разворачивается и едет на "север", в данном случае направо вверх - и естественно никакой асимптоты не обнаруживает, как бы сильно он не крутил педали Так что в этом плане всё нормально с моим определением.
Возьмём теперь трёхмерный случай $z=\ln(y)$ («логарифмический цилиндр»). И уже на велосипеде катается обычный трёхмерный велосипедист с фонариком. Если он едет в отрицательном направлении оси OZ, то обнаруживает асимптотическую плоскость (А.П.), если он поедет в прямо противоположном направлении по поверхности, то не обнаружит А.П. Если же велосипедист поедет в направлении оси OX положительном или отрицательном – то тоже не обнаружится никакая А.П. Но это не противоречит моему определению, поскольку в таком случае кривая, образованная границей пятна от фонарика (широкое такое пятно :)) не будет лежать на одинаковом расстоянии от А.П., точнее её точки. Так что в этом плане всё нормально. Главное, чтобы, если А.П. обнаруживается велосипедистом на юге, то чтобы она обнаруживалась также на юго-западе и юго-востоке, иначе будет не А.П., а асимптотическое направление. А это обеспечивается в моём определении тем, что именно линия движется. «Движется широким фронтом».
Другое дело, что наблюдая за поверхностями, имеющими 4 А.П., я осознал, что линия, которая фигурирует в моём определении может не вся располагаться на поверхности. Вот в этом плане необходимо определение доработать или взять Ваше определение.

Алексей К. в сообщении #583439 писал(а):

Shtorm в сообщении #583204 писал(а):

Но Вы хотя бы признайте, что такая плоскость есть,

Г. в.! Признаю без всяких "хотя бы".

Вот это меня сильно радует, потому что, уважаемый ewert, просто шокировал меня своим заключением «неестественное поведение для поверхностей».

[Алексей К.]

А Вы не шокируйтесь, а прислушивайтесь. Полагаю, уважаемый ewert повидал столько функций двух переменных, сколько нам вместе взятым и не снилось.

Пискунов и многие другие умеют употреблять аббревиатуры с "бесконечностью" в том смысле, что по первому требованию предъявят расшифровку без употребления этого нечёткого слова. Ваше "движение в бесконечность" я лично расшифровать не могу. Уверен --- и Вы не справитесь.

А вообще у меня получилось простое и, по-моему, вполне конструктивное определение.
Но мне пока жалко его так вот просто выкладывать. Вот напишу статью типа в ДГ, если рецензенты не обкакают --- буду купаться в лучах асимптотической славы. Будет, если не ошибаюсь, вторая решённая мной 3D-задачка.

[Shtorm]

Shtorm в сообщении #583660 писал(а):

Я только сейчас полностью убедился, что утверждение: "Плоская кривая может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот", относится только к функциям вида $y=f(x)$, то есть явно заданным функциям. А вот неявно заданные функции могут иметь сколько угодно наклонных (горизонтальных асимптот)...

Алексей К. в сообщении #583748 писал(а):

У Вас какое-то своё определение "плоской кривой". Приведите его, что ли... Путать кривые и графики функций --- нехорошо. Я не могу представить себе плоскую кривую с тремя и более асимптотами...

Ну давайте так напишем, любая функция $y=f(x)$, выраженная через элементарные функции и не кусочно-заданная может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.

Алексей К. в сообщении #583748 писал(а):

Любая явно заданная функция становится неявной при переписывании уравнения в виде $y-f(x)=0$.

Думаю, что никто с этим спорить не будет
Ну давайте уточним, любая неявно заданная функция одной переменной, может иметь любое количество наклонных (горизонтальных) асимптот. Нуль, одна, две асимптоты - это тоже входит в состав "любое количество". Но если неявно заданную функцию, можно превратить в явно заданную, выразив y через x, то такая неявно заданная функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот. Повторюсь, речь идёт о функциях , выраженных через элементарные и не кусочно-заданные.

-- Вт июн 12, 2012 20:23:20 --

Алексей К. в сообщении #583768 писал(а):

Чердак Б.М. Ограниченность кривых, заданных своими кривизнами. Уч. зап. Ленинград. пед. ин-та им. А.И. Герцена, т. 274(1965), 202–212.
Саму статью не нашёл, пересказываю по памяти: кривая имеет асимптоту, если интеграл

$$\int\limits_0^\infty s\,k(s)\,ds$$

сходится (там кривизна и длина дуги). Нормальный признак, которому наплевать на наклонность, горизонтальность и прочую чушь. Инвариантный то есть. Вторую асимптоту получим при интегрировании от нуля до $-\infty$.
...

А в этом интеграле k(s) - это кривизна, а s - длина дуги? То есть это криволинейный интеграл?

-- Вт июн 12, 2012 20:26:41 --

Алексей К. в сообщении #583916 писал(а):

Ваше "движение в бесконечность" я лично расшифровать не могу. Уверен --- и Вы не справитесь.

Не вижу каких-то сложностей и непоняток. Бесконечность она и в Африке бесконечность.

Алексей К. в сообщении #583916 писал(а):

А вообще у меня получилось простое и, по-моему, вполне конструктивное определение.
Но мне пока жалко его так вот просто выкладывать. Вот напишу статью типа в ДГ, если рецензенты не обкакают --- буду купаться в лучах асимптотической славы. Будет, если не ошибаюсь, вторая решённая мной 3D-задачка.

Ну вот, а я то надеялся, что мы вместе опубликуем.

[AKM]

Shtorm в сообщении #584016 писал(а):

А в этом интеграле k(s) - это кривизна, а s - длина дуги? То есть это криволинейный интеграл?

Это, очевидно, обычный интеграл. Прямолинейный, если угодно.