Асимптотическая плоскость

[ИСН]

Ага. По какой прямой она пересекает нашу плоскость (напоминаю, $z=C$)? А по какой кривой она пересекает нашу поверхность? Состоят ли эта прямая и эта кривая в некоторых, эээ, взаимоотношениях друг с другом?

[Shtorm]

Плоскость $x=x_{0}$ пересекает плоскость $z=C$ по прямой, задаваемой системой

$$ \begin{cases} x=x_{0},&\\ z=C,&\\ \end{cases} $$

Плоскость $x=x_{0}$ пересекает поверхность $z=\sin x+e^{-y^2}$ по кривой, задаваемой системой

$$ \begin{cases} x=x_{0},&\\ z=\sin x+e^{-y^2},&\\ \end{cases} $$

Иными словами, в плоскости $x=x_{0}$ получим кривую $z=\sin x_{0}+e^{-y^2}. Асимптотой этой кривой будет прямая, лежащая в плоскости $x=x_{0}$ и и имеющая уравнение $z=\sin x_{0}. Следовательно, та прямая, являющаяся пересечением плоскостей - это асимптота этой кривой. Но если мы возьмём вместо $x_{0}$ другое значение, то и асимптота уже не будет лежать в плоскости $z=C. А в определении сказано - семейство параллельных плоскостей. А у нас для каждой плоскости, перпендикулярной оси $OX$ - будет своя асимптота - и следовательно своя асимптотическая плоскость? Вы это хотите сказать?

[ИСН]

Shtorm в сообщении #587991 писал(а):

Но если мы возьмём вместо $x_{0}$ другое значение, то и асимптота уже не будет лежать в плоскости $z=C

Смотря какое. Я возьму $x_0+2\pi$. Можно? Потом возьму $x_0+4\pi$...
Вообще-то тут следовало сразу уточнить, что такое "семейство". Может, Вы под этим понимаете все плоскости, параллельные данной? Но нет, это было бы нелогично.

[Shtorm]

ИСН в сообщении #587995 писал(а):

Вообще-то тут следовало сразу уточнить, что такое "семейство". Может, Вы под этим понимаете все плоскости, параллельные данной? Но нет, это было бы нелогично.

Я именно так и понимал - все плоскости, параллельные данной. А почему же это было бы нелогично?

[ИСН]

Потому что у нас может быть ситуация, когда одна из них не пересекается с поверхностью как следует - и что, из-за этого рушить всё определение? Вот $z={1\over xy}$. Асимптота очевидна. Возьмём семейство перпендикулярных ей плоскостей $x=C$... нет, при $x=0$ засада. Тогда, может, $y=C$? Ах ты чертяка, ведь опять!

[Shtorm]

ИСН в сообщении #588014 писал(а):

Потому что у нас может быть ситуация, когда одна из них не пересекается с поверхностью как следует - и что, из-за этого рушить всё определение? Вот $z={1\over xy}$. Асимптота очевидна. Возьмём семейство перпендикулярных ей плоскостей $x=C$... нет, при $x=0$ засада. Тогда, может, $y=C$? Ах ты чертяка, ведь опять!

Хорошо, согласен, что некоторые плоскости, параллельные изучаемому семейству, выпадают из рассмотрения автоматически. Это было видно и по другим функциям ранее в теме. Но я не считаю, что это даёт повод, выбрасывать из рассмотрения многие целые куски поверхности, не подходящие под данное свойство. Тем более - выбрасывать периодические куски, как в только, что рассмотренной функции. Может быть тогда следует сказать, что рассматриваемое семейство плоскостей, должно иметь ту же область определения, что и функция задающая поверхность?
Ну и ещё, я по-прежнему считаю, что это семейство не должно быть "пространственно ограничено слева или справа" - ну то есть, коэфициент $D$ не должен принадлежать только конечному интервалу.

[ИСН]

Что такое область определения у плоскости, особенно вертикальной?

Теперь давайте поговорим про коэффициент D. Допустим, нам тёмный властелин разрешил брать только те плоскости, у которых $-1\le D\le1$. Плоскость $x+y+z+1=0$, очевидно, можно. А плоскость $2x+2y+2z+2=0$? Нет? Минуточку, а в каких она отношениях с предыдущей?

[Shtorm]

ИСН в сообщении #588027 писал(а):

Что такое область определения у плоскости, особенно вертикальной?

Сколько раз уже сам себе говорил, что сначала надо думать, а потом писать. Ну ничего, к концу этой темы, я точно этому научусь!

Ну тогда так: Для указанного свойства - не рассматривать те плоскости из семейства, проекции которых на плоскость $OXY$ совпадают с прямыми разрыва функции двух переменных.

ИСН в сообщении #588027 писал(а):

Теперь давайте поговорим про коэффициент D. Допустим, нам тёмный властелин разрешил брать только те плоскости, у которых $-1\le D\le1$. Плоскость $x+y+z+1=0$, очевидно, можно. А плоскость $2x+2y+2z+2=0$? Нет? Минуточку, а в каких она отношениях с предыдущей?

Это одна и та же плоскость. Как же тут правильно то сказать? Множество плоскостей не должно быть ограничено?

[ИСН]

Shtorm в сообщении #588042 писал(а):

:-) Сколько раз уже сам себе говорил, что сначала надо думать, а потом писать. Ну ничего, к концу этой темы, я точно этому научусь!

Буду счастлив (если доживу)
По сути. Исключать из определения отдельные плоскости "в ручном режиме" - это плохой, негодный подход. Вы ощупываете глобальное свойство, оно не должно зависеть от локальных возмущений. А если функция там определена? А если у неё там вовсе нет разрыва, просто поведение другое? Например, $z={1\over1+x^2y^2}$. Ни единого разрыва! Асимптота опять очевидна. Возьмём семейство перпендикулярных ей плоскостей $x=C$... нет, при $x=0$ нехорошо. Тогда, может... Oh shit!
И по последнему: что такое "множество плоскостей ограничено"? Ограничено бывает множество чисел, но это другое. Ещё бывают ограничены множества в пространстве, но под этот термин не подходит даже одна плоскость.

[Shtorm]

ИСН в сообщении #588049 писал(а):

По сути. Исключать из определения отдельные плоскости "в ручном режиме" - это плохой, негодный подход. Вы ощупываете глобальное свойство, оно не должно зависеть от локальных возмущений. А если функция там определена? А если у неё там вовсе нет разрыва, просто поведение другое? Например, $z={1\over1+x^2y^2}$. Ни единого разрыва! Асимптота опять очевидна. Возьмём семейство перпендикулярных ей плоскостей $x=C$... нет, при $x=0$ нехорошо. Тогда, может... Oh shit!

Мда......ну хорошо, а Вы согласны, что в той функции, которую Вы привели - нехорошо рассматривать плоскости, отстоящие друг от друга на период и оттуда делать вывод о наличие А.П.?

ИСН в сообщении #588049 писал(а):

И по последнему: что такое "множество плоскостей ограничено"? Ограничено бывает множество чисел, но это другое. Ещё бывают ограничены множества в пространстве, но под этот термин не подходит даже одна плоскость.

Множество параллельных плоскостей ограничено - если при удалении вдоль вектора нормали, найдётся такая плоскость, дальше которой плоскостей нет.

[ИСН]

Shtorm в сообщении #588061 писал(а):

Вы согласны, что в той функции, которую Вы привели - нехорошо рассматривать плоскости, отстоящие друг от друга на период

Ни да, ни нет. У меня недостаточно заинтересованности в вопросе, чтобы выработать какое-нибудь мнение. Вам не нравится, какая хрень выросла в том примере? ОК, давайте уточним определение, запретим... а что именно?

Shtorm в сообщении #588061 писал(а):

Множество параллельных плоскостей ограничено - если при удалении вдоль вектора нормали, найдётся такая плоскость, дальше которой плоскостей нет.

Вот это уже на что-то похоже. Минуточку, а зачем оно нам было нужно?

[Shtorm]

ИСН в сообщении #588063 писал(а):

Ни да, ни нет. У меня недостаточно заинтересованности в вопросе, чтобы выработать какое-нибудь мнение. Вам не нравится, какая хрень выросла в том примере? ОК, давайте уточним определение, запретим... а что именно?

Надо думать....Вы своими критическими замечаниями заставляете весьма настороженно относится к своим собственным мыслям и фразам...

ИСН в сообщении #588063 писал(а):

Shtorm в сообщении #588061 писал(а):

Множество параллельных плоскостей ограничено - если при удалении вдоль вектора нормали, найдётся такая плоскость, дальше которой плоскостей нет.

Вот это уже на что-то похоже. Минуточку, а зачем оно нам было нужно?

Это было нужно, чтобы сформулировать контропределение - что такое неограниченное множество параллельных плоскостей. А это в свою очередь возникло, на основе поверхности $z=\sin x +e^{-y^2}$, когда я рассматривал секущие плоскости $z=C$ и в каждой плоскости возникали кривые, имеющие асимптоты. Но эти секущие плоскости были ограничены - "меньше либо равно единице."

Давайте представим себе плоскую кривую, причудливо изогнутую, но имеющую участок, скажем длиной 4 сантиметра, на котором эта кривая стремится к некой прямой. Мы же не можем назвать эту прямую асимптотой этой кривой! Тогда и в трёхмерном пространстве - пусть некая поверхность стремится к асимптотической плоскости на участке в 5 сантиметров - это не обозначает, что поверхность имеет А.П.

[ИСН]

Стремиться к какой-то плоскости можно только в бесконечности. Ваши 5 сантиметров - это в ширину 5 сантиметров, а в длину бесконечность. Хотим ли мы, чтобы определение покрывало такие случаи? Я не уверен.
И независимо от решения по этому вопросу, остаётся ещё тот мой пример. Там ведь семейство плоскостей, доказывающих асимптотичность кандидата $z=C$, не было ограничено. Оно было: $x=x_0,\,x=x_0+2\pi,\,x=x_0+4\pi$... А если Вы настаиваете, чтобы в семейство обязательно входили все параллельные плоскости, то см. выше неприятный случай с $z={1\over1+x^2y^2}$.

[Shtorm]

ИСН в сообщении #588027 писал(а):

Теперь давайте поговорим про коэффициент D. Допустим, нам тёмный властелин разрешил брать только те плоскости, у которых $-1\le D\le1$. Плоскость $x+y+z+1=0$, очевидно, можно. А плоскость $2x+2y+2z+2=0$? Нет? Минуточку, а в каких она отношениях с предыдущей?

Shtorm в сообщении #588061 писал(а):

Множество параллельных плоскостей ограничено - если при удалении вдоль вектора нормали, найдётся такая плоскость, дальше которой плоскостей нет.

Как-то не по-научному звучит: «дальше которой плоскостей нет». А мне только утром в голову мысль пришла, что можно использовать тут нормальное уравнение плоскости:

$$x\cos \alpha+y\cos \beta +z\cos \gamma-p=0$$

Соответственно, можно говорить об интервалах и отрезках существования коэффициента $p$. А $p$ - это расстояние от начала координат до плоскости.

Ну и дальше, я тут подумал, раз мы исследуем глобальное свойство поверхностей и оно не должно зависеть от разных локальных неоднородностей, то почему бы тогда для поверхностей, заданных в явном виде, не сформулировать такую теорему (свойство):

Пусть задана функция

$$z=f(x,y) \ \ \ \ (1) $$

Тогда, если найдутся такие плоскости с уравнением

$$z=k_{1}x+k_{2}y+b \ \ \ \ (2)$$

где коэффициенты $k_{1}, k_{2}, b$ удовлетворяют следующим свойствам:

$$k_{1}=\lim \limits_{x\to \pm \infty} \frac {f(x,y)}{x} \ \ \ \ (3)$$

$$k_{2}=\lim \limits_{y\to \pm \infty} \frac {f(x,y)}{y} \ \ \ \ (4)$$

$$b=\lim \limits_{\substack{x\to \pm \infty \\ y\to \pm \infty}}(f(x,y)-k_{1}x-k_{2}y) \ \ \ \ (5)$$

То, уравнения вида (2), задают наклонные асимптотические плоскости поверхности (1).
Если же хотя бы один из пределов, заданных выражениями (3), (4), (5) не существует или равен бесконечности, то наклонных асимптотических плоскостей нет.

Замечание 1.

В выражениях (3), (4), (5), предел при стремлении к $+\infty$ может не существовать, а предел при стремлении к $ -\infty$ может существовать, тогда поиск ведётся дальше, только при одном виде бесконечности.

Замечание 2.
Если в пределе (3) получается выражение, зависящее от $y$ - то наклонных асимптотических плоскостей нет.
Если в пределе (4) получается выражение, зависящее от $x$ - то наклонных асимптотических плоскостей нет.

[Shtorm]

Таким образом выше данная теорема (свойство) касается только функций двух переменных заданных в явном виде. (если конечно никто из участников форума не ниспровергнет эту теорему (пытались, но пока не получилось)). А геометрическое определение – должно быть универсальным определением, которое охватывает и неявно заданные функции. Вот теперь я попытаюсь сформулировать, с учётом сделанных замечаний:

"Плоскость $H$ называется асимптотической плоскостью поверхности $S$, если существует такое семейство параллельных плоскостей $N \perp H$, заданных уравнениями вида $x\cos \alpha+y\cos \beta +z\cos \gamma-p=0$, что прямая, образованная пересечением любой плоскости семейства $N$ и $H$, будет асимптотой кривой, образованной пересечением той же $N$ и $S$. Причём параметр $p \in [0;+\infty)$, в различных уравнениях семейства, за исключением особых, отдельно взятых значений, связанных с особенностью поверхности, если таковые найдутся"