Цитата:
Я просто никогда не сталкивался с пространствами с кручением и был сбит с толку от того, что в, на первый взгляд, более общем классе пространств с кручением- это тензор а в простых- не тензор. Кстати вопрос "не напутали ли Вы чего-нибудь" был вполне искреннен. Т.е. в пространствах с кручением видимо слой с базой как-то хитро завязаны. Так, что, видимо, можно менять базу не трогая слоя. Да?
Да, можно, если речь идет о связности на расслоении реперов, которое представляет собой главное расслоение L(M) c базой M, dimM=n и структурной группой (типичный слой) GL(n,R) не имеющей структуру векторного пространства. Произвольный репер можно разложить по координатному базису касательного расслоения (координатный репер)
.
Причем
- это координаты на пространстве главного расслоения, а не функции от
. Гладкими функциями
будет сечение расслоения реперов.
Репер - это набор объектов
. Множество всех реперов образует дифференцируемое многообразие размерности
.
На базе M задается линейная связность
, или 1-формы
. Если рассматривать
как координаты на L(M), то
является 1-формой на координатной окрестности расслоения реперов. И, следовательно, форма связности
не зависит от выбора системы координат. То есть получаем то, что я писал в калибровочной трактовке
,
где
- набор матричнозначных функций в пространстве
со значениями в алгебре Ли некоторой группы G. При этом величины
при заменах по
образуют тензор.
Но, в ОТО все не так. Здесь определяется касательное расслоение, типичным слоем которого является векторное пространство
. Вводится связность на касательном расслоении, которая есть аффинная связность. При преобразовании координат преобразуется также базис 1-форм, то есть слой.
По поводу пространств с кручением и неметричностью, то там связность не будет римановой. Поэтому, если симметричная часть полной связности равна нулю, то получаем истинный тензор.