Один вопрос про связность.

[Bulinator]

Alex-Yu в сообщении #550467 писал(а):

Как-то у меня не дошли руки до доказательства этого утверждения.

Теорема Нэша о регулярных вложениях
Вы об этой?

[*@z@zello*]

Bulinator в сообщении #550457 писал(а):

Стоп. Сначала. Я запутался. Пусть имееся расслоение с базой $B$ и слоем $F$. . Связность это такая штука, которая берет вектор из $TB$, вектор из $TF$ и перетаскивает все это в $TF$. Т.е. При преобразованиях базы не затрагивающих слой, она ведет себя как 1форма. В случаее же касательного расслоения, слой $F$ совпадает с $TB$ и вы не можете преобразовывать базу не затрагивая слоя.

Это вопрос или что?
Если вы не знали, то, вообще, линейная (и аффинная) связность вводится локально без обращения к общей теории связностей в векторных расслоениях.
Если $\[{\psi ^a}(x)\]$ есть поле в пространстве $\[{{\rm{R}}^n}\]$ со значениями в вещественном векторном пространстве, то ковариантная производная поля задается как

$\[{\nabla _k}{\psi ^a} = {\partial _k}{\psi ^a} + \Gamma _{kb}^a(x){\psi ^b}\]$,

где $\[\Gamma _{kb}^a(x)\]$ - набор матричнозначных функций в пространстве $\[{{\rm{R}}^n}\]$ со значениями в алгебре Ли некоторой группы G. При этом величины $\[\Gamma _{kb}^a(x)\]$ при заменах по $\[x\]$ образуют тензор. А, при преобразованиях вида
$\[{\psi ^a} \to g(x){\psi ^a},{\rm{ }}g \in G\]$ удовлетворяют калибровочным преобразованиям из группы G, представление которой образуют матрицы якоби замен координат принадлежащие $\[GL(n,R)\]$.

[Bulinator]

Так, сейчас подождите, *@z@zello*. По порядку:

*@z@zello* в сообщении #550536 писал(а):

При этом величины при заменах по $x$ образуют тензор.

Т.е. Вы слой не трогаете. В полном соответствии с тем, что я писал.

*@z@zello* в сообщении #550536 писал(а):

А, при преобразованиях вида
$\[{\psi ^a} \to g(x){\psi ^a},{\rm{ }}g \in G\]$ удовлетворяют калибровочным преобразованиям из группы G, представление которой образуют матрицы якоби замен координат принадлежащие $\[GL(n,R)\]$.

Т.е. при преобразовании слоя, в общем случае преобразуется Бог знает как. Зависит от задачи. Опять же, не противоречит тому, что я писал.

*@z@zello* в сообщении #550536 писал(а):

Это вопрос или что?

Это размышления вслух.
Агаа!!! Я теперь начинаю понимать слова

*@z@zello* в сообщении #550378 писал(а):

И этот объект ведет себя как тензор.

Я просто никогда не сталкивался с пространствами с кручением и был сбит с толку от того, что в, на первый взгляд, более общем классе пространств с кручением- это тензор а в простых- не тензор. Кстати вопрос "не напутали ли Вы чего-нибудь" был вполне искреннен. Т.е. в пространствах с кручением видимо слой с базой как-то хитро завязаны. Так, что, видимо, можно менять базу не трогая слоя. Да?


Тогда, какой-нибудь пруфлинк скиньте, пожалуйста.

[*@z@zello*]

Bulinator в сообщении #550542 писал(а):

Цитата:

Я просто никогда не сталкивался с пространствами с кручением и был сбит с толку от того, что в, на первый взгляд, более общем классе пространств с кручением- это тензор а в простых- не тензор. Кстати вопрос "не напутали ли Вы чего-нибудь" был вполне искреннен. Т.е. в пространствах с кручением видимо слой с базой как-то хитро завязаны. Так, что, видимо, можно менять базу не трогая слоя. Да?

Да, можно, если речь идет о связности на расслоении реперов, которое представляет собой главное расслоение L(M) c базой M, dimM=n и структурной группой (типичный слой) GL(n,R) не имеющей структуру векторного пространства. Произвольный репер можно разложить по координатному базису касательного расслоения (координатный репер)

$\[{e_a} = e_a^i{\partial _i}\]$.

Причем $\[e_a^i\]$ - это координаты на пространстве главного расслоения, а не функции от $\[x\]$. Гладкими функциями $\[e_a^i(x) \in U\]$ будет сечение расслоения реперов.
Репер - это набор объектов $\[\left\{ {x,{e_a}} \right\},{\rm{ }}a = 1,..,n\]$. Множество всех реперов образует дифференцируемое многообразие размерности $\[n + {n^2}\]$.
На базе M задается линейная связность $\[\nabla \]$, или 1-формы $\[\Gamma _k^i = d{x^l}\Gamma _{lk}^i\]$. Если рассматривать $\[e_a^i\]$ как координаты на L(M), то

$\[\nabla e_a^i = de_a^i + e_a^i\Gamma _i^k\]$

является 1-формой на координатной окрестности расслоения реперов. И, следовательно, форма связности

$\[\Gamma _a^b = e_i^b\nabla e_a^i\]$

не зависит от выбора системы координат. То есть получаем то, что я писал в калибровочной трактовке

*@z@zello* в сообщении #550536 писал(а):

$\[{\nabla _k}{\psi ^a} = {\partial _k}{\psi ^a} + \Gamma _{kb}^a(x){\psi ^b}\]$,

где $\[\Gamma _{kb}^a(x)\]$ - набор матричнозначных функций в пространстве $\[{{\rm{R}}^n}\]$ со значениями в алгебре Ли некоторой группы G. При этом величины $\[\Gamma _{kb}^a(x)\]$ при заменах по $\[x\]$ образуют тензор.

Но, в ОТО все не так. Здесь определяется касательное расслоение, типичным слоем которого является векторное пространство $\[{{\rm{R}}^n}\]$. Вводится связность на касательном расслоении, которая есть аффинная связность. При преобразовании координат преобразуется также базис 1-форм, то есть слой.

По поводу пространств с кручением и неметричностью, то там связность не будет римановой. Поэтому, если симметричная часть полной связности равна нулю, то получаем истинный тензор.

[Утундрий]

У меня вопрос.

*@z@zello* в сообщении #550128 писал(а):

m@x в сообщении #550122 писал(а):

Правильно ли я понимаю, связность общего вида
$\[{\nabla _i}{e_k} = \Gamma _{ki}^l{e_l}\]$ - это тензор?

Да.

Вы все еще придерживаетесь такой точки зрения?

P.S. Тут я имею в виду, что "связность общего вида" в вашем понимании это

*@z@zello* в сообщении #550152 писал(а):

$\[\Gamma _{\nu \rho }^\mu = \left\{ \begin{array}{l} \mu \\ \nu \rho \\ \end{array} \right\} - \frac{1}{2}S_{\nu \rho }^\mu - {g^{\mu \omega }}{g_{\sigma (\nu }}{S^\sigma }_{\rho )\omega }\]$

то есть обычная риманова связность плюс какая-то (не суть важно, какая) тензорная добавка.

[*@z@zello*]

Утундрий в сообщении #550598 писал(а):

У меня вопрос.

*@z@zello* в сообщении #550128 писал(а):

m@x в сообщении #550122 писал(а):

Правильно ли я понимаю, связность общего вида
$\[{\nabla _i}{e_k} = \Gamma _{ki}^l{e_l}\]$ - это тензор?

Да.

Вы все еще придерживаетесь такой точки зрения?

P.S. Тут я имею в виду, что "связность общего вида" в вашем понимании это

*@z@zello* в сообщении #550152 писал(а):

$\[\Gamma _{\nu \rho }^\mu = \left\{ \begin{array}{l} \mu \\ \nu \rho \\ \end{array} \right\} - \frac{1}{2}S_{\nu \rho }^\mu - {g^{\mu \omega }}{g_{\sigma (\nu }}{S^\sigma }_{\rho )\omega }\]$

то есть обычная риманова связность плюс какая-то (не суть важно, какая) тензорная добавка.

Не извращайте смысл. Точка зрения, которой я придерживаюсь может быть любой.
То что есть в действительности, я писал выше, используя соответствующий формализм. Вот, если находите что-то не верным, то укажите и спрашивайте по-существу.

[m@x]

Простой был вопрос. А, столько дискуссии. Коэффициенты связности не образует тензор, без вариантов. Я, это уже давно понял.

[Утундрий]

*@z@zello* в сообщении #550616 писал(а):

Точка зрения, которой я придерживаюсь может быть любой.

Это я уже заметил...

*@z@zello* в сообщении #550616 писал(а):

То что есть в действительности, я писал выше, используя соответствующий формализм.

Когда мне захочется накушаться "соответствующего формализма", я в очередной раз открою "Многообразия Эйнштейна" Артура Бессе, чтобы еще раз, закрыв его, укрепиться в мнении о практической бесполезности излишних умствований.

*@z@zello* в сообщении #550616 писал(а):

Вот, если находите что-то не верным, то укажите и спрашивайте по-существу.

Покамест я еще ничего не нахожу, а только пытаюсь выяснить верно ли я уразумел вашу позицию по стартовому вопросу данной темы. Из уже вами сказанного, по моему мнению, следует ровно и только то, о чем я писал выше. Если вы видите какое-то "извращение", приведите "православную" версию.

-- Ср мар 21, 2012 02:08:26 --

m@x в сообщении #550621 писал(а):

Коэффициенты связности не образует тензор

Я тоже так думаю, но *@z@zello* кажется не согласен.

[*@z@zello*]

Утундрий в сообщении #550622 писал(а):

Покамест я еще ничего не нахожу, а только пытаюсь выяснить верно ли я уразумел вашу позицию по стартовому вопросу данной темы.

Нет, не верно.

[Утундрий]

*@z@zello* в сообщении #550623 писал(а):

Нет, не верно.

Придерживаетесь ли вы в таком случае противоположной позиции?

[*@z@zello*]

m@x в сообщении #550621 писал(а):

Коэффициенты связности не образует тензор, без вариантов.

Смотря когда и где.
Вообще, связность - это геометрический объект, существующий независимо от координат. Его различные представления - это другое дело.

[Утундрий]

*@z@zello* в сообщении #550625 писал(а):

Смотря когда и где.

С этим согласиться не могу, так как считаю, что компоненты связности образуют тензор никогда и нигде. В подтверждение ваших слов, таким образом, вам достаточно привести хоть один контрпример.

[*@z@zello*]

Утундрий в сообщении #550624 писал(а):

*@z@zello* в сообщении #550623 писал(а):

Нет, не верно.

Придерживаетесь ли вы в таком случае противоположной позиции?

Я придерживаюсь вот чего: вы высказываете свою "позицию" по поводу геометрических объектов (или чего там еще) и обосновываете ее, а я либо с вами соглашаюсь, если нахожу это верным, либо нет, если это обоснование ложно или не полно.

-- 21.03.2012, 02:26 --

Утундрий в сообщении #550628 писал(а):

*@z@zello* в сообщении #550625 писал(а):

Смотря когда и где.

С этим согласиться не могу, так как считаю, что компоненты связности образуют тензор никогда и нигде. В подтверждение ваших слов, таким образом, вам достаточно привести хоть один контрпример.

Где - в аффинной геометрии. Когда - всегда.

[Утундрий]

*@z@zello* в сообщении #550632 писал(а):

Где - в аффинной геометрии. Когда - всегда.

Риманова связность одновременно является аффинной, а для римановой связности ваше утверждение ложно. Так что не всегда. Но может хоть иногда? Укажите, а то примера все еще не наблюдается.

[*@z@zello*]

Утундрий в сообщении #550637 писал(а):

*@z@zello* в сообщении #550632 писал(а):

Где - в аффинной геометрии. Когда - всегда.

Риманова связность одновременно является аффинной, а для римановой связности ваше утверждение ложно.

Вы, видно, сами не понимаете, что написали. Связность называется аффинной (так же римановой при отсутствии кручения), если она преобразуется как тензор при аффинных преобразованиях координат. Группа всех аффинных преобразований порождает соответствующую геометрию (на всякий случай добавлю, - не риманову).