2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение20.03.2012, 18:56 
Заслуженный участник


21/08/10
2454
Oleg Zubelevich в сообщении #550414 писал(а):
Alex-Yu в сообщении #550395 писал(а):
Если вся связность сводится только к кручению

а это как? просто объясните внятно с формулами желательно


Ну Вы же крутой по самое немогу. Вот сами и соображайте. Я, кстати, не уверен, что получится тензорный закон. Что и отметил вопросительным знаком в скобках. А проверять мне лениво. Но что-то такое смутно вроде помнится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение20.03.2012, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
*@z@zello* в сообщении #550415 писал(а):
Калибровочное поле - это то же пример локальной связности и, последняя, ведет себя как ковектор при заменах .

Где $x$- координаты чего? В калибровочных теория связность- 1-форма принимающая значения на $TF$($F$-это слой). При преобразованиях координат базы- она не преобразуется ковариантно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение20.03.2012, 19:07 


10/02/11
6786
Alex-Yu в сообщении #550417 писал(а):
Ну Вы же крутой по самое немогу. Вот сами и соображайте. Я, кстати, не уверен, что получится тензорный закон. Что и отметил вопросительным знаком в скобках. А проверять мне лениво. Но что-то такое смутно вроде помнится.

Вот-вот. Ну я так и понял. :mrgreen:

Вот больше надо таких веток, я давно так не ржал. Вот и сейчас чуть чаем клавиатуру не залил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение20.03.2012, 19:09 
Заслуженный участник


21/08/10
2454
Oleg Zubelevich в сообщении #550428 писал(а):
Вот-вот. Ну я так и понял.



Кстати, утверждение действительно правильное, проверил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение20.03.2012, 19:12 


10/02/11
6786
Alex-Yu в сообщении #550430 писал(а):
Oleg Zubelevich в сообщении #550428 писал(а):
Вот-вот. Ну я так и понял.



Кстати, утверждение действительно правильное, проверил.

выложите проверочку, пожалуйста, и формулировку утверждения

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение20.03.2012, 19:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12409
Alex-Yu в сообщении #550325 писал(а):
Любое многообразие может быть рассмотрено как гиперповерхность в пространстве бОльшей размерности (достаточно не более чем на 2). Если рассматривать связность, индуцированную евклидовой структурой этого более многомерного пространства и писать векторы в виде компонент по глобальному базису этого бОльшего пространства,

Вот теперь все вещи названы своими именами.

*@z@zello* в сообщении #550378 писал(а):
Действительно, допустим ($\[e_\mu ^{} \equiv {\partial _\mu }\]$)

$\[R_{\beta \mu \nu }^\alpha {u^\beta } = {u^\alpha }_{;\mu \nu } - {u^\alpha }_{;\nu \mu }\]$

Сделаем преобразование в одной и той же точке O

$\[{u^\alpha }(O) \to {u^{\alpha '}}(O) = f{u^\alpha }\]$

В результате, получаем

$\[f{u^\alpha }_{;\mu \nu } - {u^\alpha }_{;\mu \nu } = {u^\alpha }{f_{;[\mu \nu ]}} \ne R_{\beta \mu \nu }^\alpha {u^\beta }\]$

Линейный же оператор $\[R\]$ не должен зависеть от такого преобразования. Поэтому тензор кривизны определяется по-другому.

Ошибка предложенного рассуждения в том, что преобразование компонент вектора рассматривается само по себе, между тем как рассматривать его необходимо в качестве следствия преобразования координат. Само доказательство (очень хочется поставить тут это слово в кавычки) тензорности $R$ сводится к выписыванию закона преобразования коммутатора ковариантных производных да к однократному применению теоремы Дирака "о частном".

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение20.03.2012, 19:19 


17/03/12
45
Bulinator в сообщении #550424 писал(а):
Где $x$- координаты чего? В калибровочных теория связность- 1-форма принимающая значения на $T*F$($F$-это слой). При преобразованиях координат базы- она не преобразуется ковариантно.


$\[y = y(x){\rm{ }} \to {\rm{ }}\Gamma _{\mu b}^a(x) = \Gamma _{\nu b}^a(y)\frac{{d{y^\nu }}}{{d{x^\mu }}}\]$

$\[\Gamma _{\mu b}^a(x) \to g(x)\Gamma _{\mu b}^a(x){g^{ - 1}}(x) - \delta _b^a\frac{{\partial g(x)}}{{\partial {x^\mu }}}{g^{ - 1}}(x)\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение20.03.2012, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Стоп. Сначала. Я запутался. Пусть имеется расслоение с базой $B$ и слоем $F$. . Связность это такая штука, которая берет вектор из $T_xB$, вектор из $T_fF$ и перетаскивает все это в $T_fF$. Т.е. При преобразованиях базы не затрагивающих слой, она ведет себя как 1форма. В случаее же касательного расслоения, слой $F$ совпадает с $T_xB$ и вы не можете преобразовывать базу не затрагивая слоя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение20.03.2012, 20:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #550325 писал(а):
Любое многообразие может быть рассмотрено как гиперповерхность в пространстве бОльшей размерности (достаточно не более чем на 2).

Насколько я помню, $n+2$ недостаточно. И даже $2n$ недостаточно. Вот $n^2$ заведомо достаточно, и даже с избытком (есть меньшие оценки).

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение20.03.2012, 20:27 
Заслуженный участник


21/08/10
2454

(Оффтоп)

Munin в сообщении #550459 писал(а):
Насколько я помню, $n+2$ недостаточно.


Как-то у меня не дошли руки до доказательства этого утверждения. Поверил на слово знакомому. Как-то зашел об этом разговор. Он профессор-математик (не самый плохой), наверное не врет, говорит есть такая теорема. Где она есть и как доказывается я не интересовался, посему не настаиваю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение20.03.2012, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12409
Alex-Yu в сообщении #550430 писал(а):
Кстати, утверждение действительно правильное, проверил.

Что гаммы могут быть кососимметричны? Это невозможно, потому что в этом случае гаммы - тензоры и неоткуда взять необходимую для ковариантности всего выражения симметричную добавку $\[
x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu \tilde \nu }^\alpha  
\]
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение20.03.2012, 20:32 


10/02/11
6786
Alex-Yu в сообщении #550430 писал(а):
Кстати, утверждение действительно правильное, проверил.

Ну так где доказательство-то и формулировка. Не томите. С профессором своим знакомым посоветуйтесь :lol1:

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение20.03.2012, 20:37 
Заслуженный участник


21/08/10
2454
Утундрий в сообщении #550468 писал(а):
Что гаммы могут быть кососимметричны? Это невозможно, потому что в этом случае гаммы - тензоры и неоткуда взять необходимую для ковариантности всего выражения симметричную добавку $\[ x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu \tilde \nu }^\alpha \] $



Да, Вы правы. Косимметричная часть гаммы -- тензор (я не обратил внимания, что этого не достаточно). Но вот симметричную часть нельзя сделать нулевой в произвольной системе координат. Собственно утверждение верное, но условие этого утверждения (косимметричность гаммы) не реализуемо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение20.03.2012, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12409

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #550476 писал(а):
Собственно утверждение верное, но условие этого утверждения (косимметричность гаммы) не реализуемо.

Гм... На эту тему можно было бы развить какую-то мощную философию, но я все-таки предпочту по старинке считать такое высказывание ложным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение20.03.2012, 20:46 
Заслуженный участник


21/08/10
2454

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #550481 писал(а):
Гм... На эту тему можно было бы развить какую-то мощную философию, но я все-таки предпочту по старинке считать такое высказывание ложным.


Ну ее, философию. Корректный вывод из нереализуемого предположения. Ложно, конечно. Считайте вольностью речи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 91 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group