2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение19.03.2012, 22:39 
Заслуженный участник


21/08/10
2454
Oleg Zubelevich в сообщении #550149 писал(а):
:mrgreen:
Изображение



И что? Если намбла это обычная производная, то символы Кристоффеля можно определить именно так. Иначе, безотносительно ко всему прочему, получается довольно странная затея: чтобы определить ковариантную производную нужны символы Кристоффеля, а чтобы определить символы Кристоффеля, нужна ковариантная производная :-) Хотя формально может и правильно. Обычная производная от компоненты базисного вектора это ноль (производная от константы).

В общем случае символы Кристоффеля, конечно, не обязаны выражаться через метрику. Этим и отличаются символы Кристоффеля в римановой геометрии от общего случая произвольной связности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение19.03.2012, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12409
m@x в сообщении #550156 писал(а):
Я как раз и имел ввиду под намблой ковариантную производную

Чудно, с $\[\nabla _i \]$ разобрались. Осталось выяснить, что такое $e_i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение19.03.2012, 22:40 
Заслуженный участник


21/08/10
2454
*@z@zello* в сообщении #550152 писал(а):
Это верно только для аффинной связности с нулевым кручением. В общем случае нет.



В частном случае утверждение не верно, а в общем -- верно? Это сильно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение19.03.2012, 22:48 


05/03/12
26
Утундрий в сообщении #550161 писал(а):
m@x в сообщении #550156 писал(а):
Я как раз и имел ввиду под намблой ковариантную производную

Чудно, с $\[\nabla _i \]$ разобрались. Осталось выяснить, что такое $e_i$.

Базисные вектора. Можно и так записать
$\[\left\langle {{\omega ^i},{\nabla _k}{e_l}} \right\rangle  = \Gamma _{lk}^i\]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение19.03.2012, 22:53 


17/03/12
45
Утундрий в сообщении #550154 писал(а):
Мне вот любопытно, вы всерьез вознамерились очередным пинусомерием заняться страниц на двадцать, не дожидаясь реакций ТС? Темка-то, промежду нами говоря, вполне себе учебненькая и тому кто первый вывалит стандартный закон преобразования коэффициентов связности вполне могут впаять предупреждение. Но это только обостряет процесс мерянья пинусами, не правда ли? :mrgreen:

Вперед, напишите. Жду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение19.03.2012, 22:54 
Заслуженный участник


21/08/10
2454
Alex-Yu в сообщении #550140 писал(а):
Вот если под намблой понимать обычную производную, то символы Кристоффеля можно определить именно так. Иначе это не символы Кристоффеля.



Тут я, пардон, немножко перепутал обозначения: смволы Кристоффеля можно определить так:

$$
\frac{\partial {\bf e}_k}{\partial x^i}=\Gamma^j_{ki}{\bf e}_j
$$

рассматривая базисные векторы ${\bf e}_j$ не в компонентах, а как самостоятельные объекты (что изображается полужирным шрифтом). Тогда:

$$
\frac{\partial {\bf A}}{\partial x^i}=\frac{\partial A^k {\bf e}_k}{\partial x^i}=
\frac{\partial A^k}{\partial x^i}{\bf e}_k + A^k \frac{\partial {\bf e}_k}{\partial x^i}
$$

А последний член можно, естественно, разложить по базисным векторам.

$$
 \frac{\partial {\bf e}_k}{\partial x^i}=\Gamma_{ki}^j{\bf e}_j
$$

Что дает:

$$
\frac{\partial {\bf A}}{\partial x^i}=\frac{\partial A^k}{\partial x^i}{\bf e}_k + A^k \Gamma^j_{ki}{\bf e}_j
$$

Возможен такой, несколько необычный, подход, в котором кристоффели появляются в результате дифференцирования произведения. Но это чисто риманова геометрия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение19.03.2012, 23:06 


17/03/12
45
Цитата:
$$
\frac{\partial {\bf e}_k}{\partial x^i}=\Gamma^j_{ki}{\bf e}_j
$$

Такой формулы не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение19.03.2012, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12409
*@z@zello* в сообщении #550168 писал(а):
Вперед, напишите. Жду.

(Оффтоп)

$\[
\begin{gathered}
  u^{\tilde \alpha }  \equiv x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } u^\alpha   \hfill \\
  u_{;\mu }^\alpha   \equiv u_{,\mu }^\alpha   + \Gamma _{\mu \nu }^\alpha  u^\nu   \hfill \\
  u_{;\tilde \mu }^{\tilde \alpha }  \equiv x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu }^\mu  u_{;\mu }^\alpha   \hfill \\
   \Rightarrow  \hfill \\
  u_{;\tilde \mu }^{\tilde \alpha }  = u_{,\tilde \mu }^{\tilde \alpha }  + \Gamma _{\tilde \mu \tilde \nu }^{\tilde \alpha } u^{\tilde \nu }  \hfill \\
  x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu }^\mu  \left( {u_{,\mu }^\alpha   + \Gamma _{\mu \nu }^\alpha  u^\nu  } \right) = \left( {x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } u^\alpha  } \right)_{,\mu } x_{,\tilde \mu }^\mu   + \Gamma _{\tilde \mu \tilde \nu }^{\tilde \alpha } x_{,\nu }^{\tilde \nu } u^\nu   \hfill \\
   \Rightarrow  \hfill \\
  x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu }^\mu  \Gamma _{\mu \nu }^\alpha   = x_{,\nu \mu }^{\tilde \alpha } x_{,\tilde \mu }^\mu   + \Gamma _{\tilde \mu \tilde \nu }^{\tilde \alpha } x_{,\nu }^{\tilde \nu }  \hfill \\
   \Rightarrow  \hfill \\
  \Gamma _{\tilde \mu \tilde \nu }^{\tilde \alpha }  = x_{,\alpha }^{\tilde \alpha } \left( {x_{,\tilde \mu }^\mu  x_{,\tilde \nu }^\nu  \Gamma _{\mu \nu }^\alpha   + x_{,\tilde \mu \tilde \nu }^\alpha  } \right) \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$

*@z@zello* в сообщении #550171 писал(а):
Такой формулы не существует.

Такая формула существует и эта формула верна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение19.03.2012, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Стакан попкорна ушёл. Жду, когда заговорят про связность на расслоении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение19.03.2012, 23:22 
Заслуженный участник


21/08/10
2454
Munin в сообщении #550174 писал(а):
Жду, когда заговорят про связность на расслоении.



Ну... Чего захотели :-) А как там, кстати, различать тензоры и не тензоры? Это вообще можно? Слабоват я на счет расслоений, как-то без них обычно можно обойтись. Хотя что это такое понятно.

Впрочем, наверное то, что я выше написал и можно понимать в терминах расслоений. Просто понимая ${\bf e}_k$ как абстрактную величину, лежащую в слое (для фиксированной точки базы). Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение19.03.2012, 23:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12409
Alex-Yu в сообщении #550169 писал(а):
рассматривая базисные векторы $\[{\mathbf{e}}_j \]$ не в компонентах, а как самостоятельные объекты

Между прочим, чудесный пример получившей широкое распространения привычки говорить что угодно, только не правду :mrgreen: Считать $e_j$ вектором касательного пространства действительно нельзя, иначе высказывание заведомо ложно. Однако, высказывание вполне можно сделать истинным (и более того - содержательным!) если только считать эти весторы принадлежащими... Ну, чему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение19.03.2012, 23:31 


17/03/12
45
Вот эту формулу выведите, пожалуйста,

$\[{u^\alpha }_{;\mu } = {u^\alpha }_{,\mu } + \Gamma _{\mu \nu }^\alpha {u^\nu }\]$

Утундрий в сообщении #550173 писал(а):
Такая формула существует и эта формула верна.

Не-а.

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение19.03.2012, 23:39 
Заслуженный участник


21/08/10
2454
Утундрий в сообщении #550177 писал(а):
Считать $e_j$ вектором касательного пространства действительно нельзя



В каждой точке касательное пространство свое. Вы о чем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение19.03.2012, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Alex-Yu)

Alex-Yu в сообщении #550175 писал(а):
А как там, кстати, различать тензоры и не тензоры? Это вообще можно?

Там различаются векторы вертикальные - в слое - и горизонтальные - в базе. Соответственно, можно как угодно резвиться с их тензорными произведениями. И обычная аффинная связность на римановом многообразии - одновременно является связностью на касательном расслоении. Правда, в случае касательного расслояния термины "вертикальный" и "горизонтальный" становятся немножко контринтуитивными. Дальше, для любой связности (вот не помню, что там насчёт её тензорности) вводится кривизна. И оказывается, например, что электрическое поле - это тоже кривизна, как и гравитационное.

Как-то так. А вот строго в формулах это изобразить - я лучше из зрительного зала с попкорном понаблюдаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Один вопрос про связность.
Сообщение20.03.2012, 00:11 


05/03/12
26
Я, что-то, так и не понял. Связность, вообще, это тензор или не тензор. Определение, ведь, дается через ковариантную производную. А, у Ландау, показано, что сами коэффициенты преобразуются по нелинейному закону и не образуют тензора.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 91 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group