Основания математики - элементарное рассмотрение

[vek88]

Предположим теперь, что единственной причиной неполноты наших теорий было правило $\frac{\neg B}{B}$ (т.е. при его удалении К-система полна). Тогда посредством введения в наши теории аксиомы $B$ мы снова делаем их полными.

При этом металогика полученных теорий снова становится классической!?

Не знаю кому как, но мне этот пример показывает бессмысленность не только аксиоматизации живой математики, но и бессмысленность навязывания логики, например, классической. В нашем живом примере - куда уж живей - у нас в процессе развития теорий логика была классическая, потом неклассическая, а потом снова классическая.

ЗЫ. Кстати, для правила вывода парадокса Рассела

$$\frac{x \notin x}{x \in R}$$

зачем было стучать в барабаны, кричать о капуте логики и на 100 лет уходить в кому по поводу оснований математики? Можно было бы просто добавить аксиому

$$R \in R.$$

И все будет прекрасно - и овцы целы, и волки съедены.

Ну, разумеется, это в том случае, если непонятна причина парадокса Рассела. Ведь на самом деле мы понимаем, что множество всех множеств не существует. Что и доказывает построение Рассела.

[vek88]

Вот еще повод пройтись по устоям математики - предлагаю следующий вопрос общественности.

А почему бы нам не ограничиться теорией множеств, в которой все множества счетны?

Или кто-то считает, что такая теория множеств не имеет права на существование? Тогда мы идем к вам.

ЗЫ. Меня могут спросить - а зачем такая теория множеств? Заранее отвечаю - не корысти ради, а токмо конструктивности для.

[Gortaur]

vek88
Тогда уж будет называться "теория счетных множеств". Кстати, Вы спрашивает - почему бы нам ею не ограничиться. А я спрошу - а как тогда с $\mathbb R$ работать с Вашей конструктивной теорией?

[vek88]

Gortaur в сообщении #477269 писал(а):

vek88
Тогда уж будет называться "теория счетных множеств". Кстати, Вы спрашивает - почему бы нам ею не ограничиться. А я спрошу - а как тогда с $\mathbb R$ работать с Вашей конструктивной теорией?

А что такое $\mathbb R$? В теории счетных множеств такого нет, поскольку теперь множество всех ДЧ не существует.

А вот всякие счетные множества ДЧ есть. При этом справедлива теорема: для всякого множества ДЧ существует большее по включению множество ДЧ.

И никаких проблем в матане.

ЗЫ. А ДЧ определяем, например, через фундаментальную последовательность рациональных чисел. Для такого определения нашей счетной теории множеств достаточно.

[Droog_Andrey]

vek88 в сообщении #477267 писал(а):

Вот еще повод пройтись по устоям математики - предлагаю следующий вопрос общественности.

А почему бы нам не ограничиться теорией множеств, в которой все множества счетны?

Это вполне возможно. С одной стороны, это приближает теорию множеств к реальности, но, с другой, сильно усложняет её практическое применение. Хотя, возможно, в конечном итоге это усложнение окажется целесообразным.

[vek88]

Droog_Andrey в сообщении #477335 писал(а):

vek88 в сообщении #477267 писал(а):

Вот еще повод пройтись по устоям математики - предлагаю следующий вопрос общественности.

А почему бы нам не ограничиться теорией множеств, в которой все множества счетны?

Это вполне возможно. С одной стороны, это приближает теорию множеств к реальности, но, с другой, сильно усложняет её практическое применение. Хотя, возможно, в конечном итоге это усложнение окажется целесообразным.

ИМХО рассмотрение такой "счетной" теории множеств (далее - СТМ) представляется интересным.

Относительно "усложнения" ... - мне пока это не ясно. Да, разумеется, конструктивная (основанная на понятии алгоритма или финитной формальной системы) теория ДЧ - это существенно сложнее обычного матана. Но здесь ... усложнение под вопросом. На вскидку, в традиционном матане, нам не очень то и нужно понятие множества всех ДЧ. Ведь фразу для любого ДЧ совсем не обязательно интерпретировать как $\forall x \in R.$ Эту фразу можно интерпретировать так: если $x$ действительное число, то ... .

Хотелось бы со временем вопрос "усложнения" рассмотреть подробно и обстоятельно.

А пока ограничусь пояснением откуда ноги растут по поводу СТМ. ИМХО имеет место странный факт однобокой интерпретации диагонального построения Кантора. А ведь были у Кантора противники, например, если не ошибаюсь, Кронекер. Так почему же они не заметили, что возможна и другая интерпретация диагонального построения?

Например, в ответ на диагональное построение Рассела я отвечаю - оно доказывает, что множество всех множеств не существует.

Но и на построение Кантора я могу ответить тем же - множество всех ДЧ не существует.

Действительно, ведь мы говорим: предположим построено взаимнооднозначное отображение множества $N$ на множество $R$. Здесь неявно мы предположили существование $R$ - множества всех ДЧ.

Далее мы строим ДЧ, не принадлежащее образу этого отображения. Это противоречие. Но почему мы заключаем, что такого отображения нет. С таким же успехом можно заключить, что множество $R$ не существует.

[Droog_Andrey]

Требование конструктивности приводит к рассмотрению множеств, все элементы которых конструируемы (например, среди чисел будут рассматриваться только вычислимые); все такие множества не более чем счётны. Кое-что в этом направлении уже обсуждалось: topic19517.html

(Оффтоп)

Аббревиатура "СТМ" устойчиво ассоциируется со сканирующим туннельным микроскопом

[vek88]

Droog_Andrey в сообщении #477458 писал(а):

Требование конструктивности приводит к рассмотрению множеств, все элементы которых конструируемы (например, среди чисел будут рассматриваться только вычислимые); все такие множества не более чем счётны. Кое-что в этом направлении уже обсуждалось: topic19517.html

Аббревиатура "СТМ" устойчиво ассоциируется со сканирующим туннельным микроскопом

ИМХО традиционная конструктивная математика оперирует с рекурсивно перечислимыми (далее - РП) множествами, следовательно все множества конструктивной математики счетны. См., например, Мартин-Леф, Очерки по конструктивной математике.

Конструктивный подход в К-системах работает с полными К-множествами - это выходит за рамки РП множеств. Но и здесь все множества счетны. См. раздел 8.6 К-конструктивизм в Книге этой темы "Представление в ЭВМ неформальных процедур", в частности Теорему 8.9 (Теорему Тарского для полных К-множеств) на стр. 132.

Однако в контексте СТМ я не аппелирую к конкретным вариантам конструктивизма, а говорю о конструктивизме только в интуитивном смысле - ИМХО СТМ интуитивно более конструктивна, чем, например, наивная ТМ Кантора. Соответственно, предлагаю обсудить последствия принятия в ТМ аксиомы: всякое множество счетно.

ЗЫ. О термине СТМ ИМХО не буду спорить, согласен, что он занят. Но думаю в этой теме и СТМ сойдет для обозначения теории множеств с аксиомой счетности множеств.

[vek88]

Для оценки возможностей СТМ предлагаю начать с малого - пройтись по матану. Итак, открыл параграф 1 первого тома (трехтомного) Фихтенгольца.

Удивительно, но ни слова о множествах. Параграф называется скромно: Область рациональных чисел. Кстати, смутно припоминаю, что полвека назад на лекциях в МФТИ нам как-то не очень вещали про множества.

Делать нам в этом параграфе нечего, поскольку все укладывается в рамки СТМ.

Далее на очереди параграф 2: Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел. Обратите внимание - область вещественных чисел, а не множество!?

С этим параграфом нам придется поработать, чтобы перевести его на язык СТМ.

[vek88]

Фихтенгольц: Параграф 2, пункт 6 Определение иррационального числа.

Рассмотрим разбиение множества всех рациональных чисел на два множества $A, A'$. Будем называть такое разбиение сечением, если выполнены условия:

1. Каждое рациональное число попадает в одно, и только в одно, из множеств $A, A'$.
2. Каждое число $a$ из множества $A$ меньше каждого числа $a'$ из множества $A'$.

Множество $A$ называется нижним классом сечения, $A'$ - верхним классом. Сечение обозначаем $A|A'$.

Сечение, в котором нет наибольшего рационального числа в нижнем классе и наименьшего в верхнем определяет иррациональное число.

Опуская простые технические детали (см. Фихтенгольц) вещественные числа (рациональные и иррациональные) связываются с сечениями в области рациональных чисел.

Итак, мы определили вещественные числа - проблем с СТМ ИМХО пока нет.

Пункты 7-9 рассматриваемого параграфа опускаем, поскольку они не имеют отношения к нашему вопросу - проблем с СТМ в них также ИМХО нет.

А вот с пунктом 10 придется поработать.

[vek88]

10. Непрерывность области вещественных чисел.

В области рациональных чисел не у каждого сечения находилось пограничное рациональное число, производящее сечение. Это говорило о неполноте области рациональных чисел. Именно поэтому мы пополнили рациональные числа иррациональными.

Теперь возникает тот же вопрос относительно сечений в области вещественных чисел. Однако в СТМ мы не можем выразить это, т.к. множества всех вещественных чисел у нас нет.

Вопрос к общественности: можно ли обойти эту трудность в СТМ?

[vek88]

Маленькая подсказка.

Теперь надо поправить определение сечения в области вещественых чисел так, чтобы не привлекать все вещественные числа. Ведь совсем не обязательно, чтобы каждое вещественное число попадало в верхний или нижний класс сечения. Нам достаточно, чтобы верхний и нижний класс "плотно" примыкали друг к другу, тем самым определяя пограничное число между ними.

Следовательно, достаточно двух счетных множеств вещественных чисел $A, A'$ таких, которые задают некоторое пограничное число между ними.

Предложите возможные варианты определения сечения в области вещественных чисел в рамках СТМ.

[vek88]

Ну фто? Коли общественность молчит, значит ей ничего не понятно. Или уфла в подполье. Короче, сам спросил, сам отвечаю. Итак, теперь определяем сечение не аппелируя ко всем числам. Для рациональных (вещественных) чисел теперь имеем следующее.

Рассмотрим два множества рациональных (соответственно, вещественных) чисел $A, A'$. Будем называть такое разбиение сечением, если выполнены условия:

1. Для любого, сколь угодно малого $\varepsilon > 0$ существуют число $a$ из множества $A$ и число $a'$ из множества $A'$ такие, что $a' - a < \varepsilon$.
2. Каждое число $a$ из множества $A$ меньше каждого числа $a'$ из множества $A'$.

Множество $A$ называется нижним классом сечения, $A'$ - верхним классом. Сечение обозначаем $A|A'$.

ЗЫ. Разумеется, здесь все множества счетные.

[Алексей К.]

vek88 в сообщении #478285 писал(а):

Ну фто? Коли общественность молчит, значит ей ничего не понятно. Или уфла в подполье

Или неинтересно. А даже если кому и интересно, то Ваше паясничание...
Я, конечно, догадываюсь, что это попытки пофутить. Но участники форума на концерты петросяна вряд ли ходют.

[vek88]

Алексей К.

(Оффтоп)

Алексей К. в сообщении #478398 писал(а):

vek88 в сообщении #478285 писал(а):

Ну фто? Коли общественность молчит, значит ей ничего не понятно. Или уфла в подполье

Или неинтересно. А даже если кому и интересно, то Ваше паясничание...
Я, конечно, догадываюсь, что это попытки пофутить. Но участники форума на концерты петросяна вряд ли ходют.

На Вашу попытку пофутить отвечаю, что на концерты петросяна ходить не надо по простой причине - на этом форуме и без этого есть куда сходить - тем, подобных post478607.html#p478607, здесь как нерезаных собак. А это покруче петросяна.

Разумеется, личное дело каждого определять свои интересы. Но, если честно, меня удивляет патологическое желание участников массово обсуждать разного рода ахинею. Впрочем, это личное дело этих участников.

А вот Ваше выступление расцениваю как троллинг. Впрочем, тоже имеете право.