2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 30, 31, 32, 33, 34, 35  След.
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение01.11.2011, 09:55 


15/10/09
1344
Droog_Andrey в сообщении #498051 писал(а):
Фишка в том, что требования нужно проверить для всех рациональных чисел, а их бесконечно много. Получаются те же грабли, что и при выборе элемента из несчётного множества.
ИМХО в последних постах у нас получилось по принципу: ну, ты сказал - ну ты спросил. Т.е. смысл Вашего высказывания мне не понятен. Хотя и согласен, что мои высказывания тоже не золото.

Попробую пересказать более понятно свои мысли. Итак, мы предположили, что с множеством рациональных чисел нас все в порядке. Это значит, что любые условия по поводу множеств рациональных чисел (далее РЧ) и отношений между РЧ непротиворечивы и им уже присвоены определенные значения истинности (Л, И).

И дав определение сечения, мы просто выделили из уже имеющихся в нашем распоряжении пар множеств РЧ сечения. При этом мы ничего не переопределяли в исходной теории.

А вопросы уровня конструктивности мы не обсуждаем. Мы просто говорим, если в исходной теории РЧ все было клево, значит при добавлении нашего определения сечения все останется столь же клево.

Тут ИМХО полезно вспомнить Рассела. Или, чтобы совсем уйти от вопросов конечного/бесконечного, рассмотрим в следующем посте бедного задолбанного брадобрея. С тех же позиций, с каких я тут пытался объясниться по поводу определения сечения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение01.11.2011, 14:11 


15/10/09
1344
Итак, есть деревня. На множестве мужиков деревни определено бинарное отношение "$x$ бреет $y$". Подчеркнем, что это отношение уже определено - переопределять это определение мы не имеем права. В частности, мы не имеем права давать новое определение - кого бреет брадобрей.

Все что мы можем себе позволить - это выяснить, существует ли такой житель деревни $R$, который бреет всех тех жителей деревни, и только тех, кто не бреет себя сам? Или возможно ли существование такого жителя $R$?

Это ИМХО - пример реальной математической практики.

И, если честно, я совсем перестал понимать причины возникновения парадокса брадобрея.

С Расселом ИМХО все в точности также.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение01.11.2011, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8918
vek88 в сообщении #498134 писал(а):
В частности, мы не имеем права давать новое определение - кого бреет брадобрей.
Замечательные получатся "основания математики", если запретить давать определения. :lol:

vek88 в сообщении #498134 писал(а):
И, если честно, я совсем перестал понимать причины возникновения парадокса брадобрея.
Вот и дотеоретизировались ... Наверное, только людям, далёким от "реальной математической практики", дано понять, что парадокс возникает, когда мы закладываем в качестве аксиомы существование такого объекта, несуществование которого можно доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение01.11.2011, 15:14 


15/10/09
1344
epros в сообщении #498144 писал(а):
vek88 в сообщении #498134 писал(а):
В частности, мы не имеем права давать новое определение - кого бреет брадобрей.
(1)Замечательные получатся "основания математики", если запретить давать определения. :lol:

vek88 в сообщении #498134 писал(а):
И, если честно, я совсем перестал понимать причины возникновения парадокса брадобрея.
(2)Вот и дотеоретизировались ... Наверное, только людям, далёким от "реальной математической практики", дано понять, что парадокс возникает, когда мы закладываем в качестве аксиомы существование такого объекта, несуществование которого можно доказать.
1. Для epros выделил жирным то, что он не заметил.

2. У меня речь идет лишь о том, что если Вы уже нечто определили, то не следует это определять снова да еще в противоречии с первым определением.

Поскольку же мне пока не удается ясно и понятно выразить свою мысль, попробую зайти с другого конца в связи с желанием epros давать определения. Пусть задано произвольное бинарное отношение $$x \in y.$$Будем далее называть его исходным отношением.

Далее, следуя Расселу и брадобрею, определяем новый объект $R$ с помощью определения $$x \in R \leftrightarrow x \notin x.$$Все согласны с тем, что $R$ - множество?

epros, Вы не согласны? Тогда мы идем к Вам.

И еще вопрос - может ли существовать в исходном отношении объект $R'$ такой, что $R=R'$ (в обычном смысле равенства множеств)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение01.11.2011, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2016
Минск, Беларусь
vek88 в сообщении #498084 писал(а):
Итак, мы предположили, что с множеством рациональных чисел нас все в порядке. Это значит, что любые условия по поводу множеств рациональных чисел (далее РЧ) и отношений между РЧ непротиворечивы и им уже присвоены определенные значения истинности (Л, И).
Вот эта часть меня и смущает. Из возможности присвоить значение для любого наперёд заданного рационального числа ещё не следует, что значения автоматически присваиваются для всех рациональных.

vek88 в сообщении #498084 писал(а):
И дав определение сечения, мы просто выделили из уже имеющихся в нашем распоряжении пар множеств РЧ сечения.
А этих пар - континуум. Т.е. те же грабли.

vek88 в сообщении #498084 писал(а):
Мы просто говорим, если в исходной теории РЧ все было клево, значит при добавлении нашего определения сечения все останется столь же клево.
Тогда давайте определим критерий клёвости. А то я не вижу смысла во всех этих переопределениях, т.к. они не спасают нас от континуумов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение01.11.2011, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8918
vek88 в сообщении #498147 писал(а):
Далее, следуя Расселу и брадобрею, определяем новый объект $R$ с помощью определения $$x \in R \leftrightarrow x \notin x.$$Все согласны с тем, что $R$ - множество?
Хоть горшком назовите, всё равно такой объект существовать не может.

В формулировке Рассела речь о "множествах" и отношении "принадлежит", в формулировке про брадобрея речь о людях и отношении "бреет", в формулировке про библиотеку речь о книгах и отношении "ссылается на". Так что интерпретация значения не имеет.

И что Вы так озаботились этим парадоксом?

-- Вт ноя 01, 2011 17:44:42 --

vek88 в сообщении #498084 писал(а):
Итак, мы предположили, что с множеством рациональных чисел нас все в порядке. Это значит, что любые условия по поводу множеств рациональных чисел (далее РЧ) и отношений между РЧ непротиворечивы и им уже присвоены определенные значения истинности (Л, И).
А вот теорема Гёделя говорит, что во всякой достаточно содержательной теории можно определить такие свойства (это я так перевожу Ваше "условия по поводу множеств") натуральных чисел, что вопрос об их истинности окажется неразрешим в данной теории. Для рациональных чисел - тем паче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение01.11.2011, 17:13 


15/10/09
1344
Droog_Andrey в сообщении #498162 писал(а):
Вот эта часть меня и смущает. Из возможности присвоить значение для любого наперёд заданного рационального числа ещё не следует, что значения автоматически присваиваются для всех рациональных.
Droog_Andrey

Если Вы жесткий сторонник конструктивного направления в математике, то разве я возражаю - Вы имеете право быть им. Но в данный момент мы говорим даже не о конечном, счетном, континуальном - мы говорим о корректности/некорректности используемых нами определений. К примеру, брадобрей имеет дело с конечными множествами - но и тут у нас пока разночтения.

Поэтому предлагаю с континуумом пока годить ... до решения вопроса с корректностью определений. А потом поговорим о конструктивности в связи с континуумом.

-- Вт ноя 01, 2011 17:31:49 --

epros в сообщении #498166 писал(а):
vek88 в сообщении #498147 писал(а):
Далее, следуя Расселу и брадобрею, определяем новый объект $R$ с помощью определения $$x \in R \leftrightarrow x \notin x.$$Все согласны с тем, что $R$ - множество?
(1) Хоть горшком назовите, всё равно такой объект существовать не может.

В формулировке Рассела речь о "множествах" и отношении "принадлежит", в формулировке про брадобрея речь о людях и отношении "бреет", в формулировке про библиотеку речь о книгах и отношении "ссылается на". Так что интерпретация значения не имеет.

И что Вы так озаботились этим парадоксом?

-- Вт ноя 01, 2011 17:44:42 --

vek88 в сообщении #498084 писал(а):
Итак, мы предположили, что с множеством рациональных чисел нас все в порядке. Это значит, что любые условия по поводу множеств рациональных чисел (далее РЧ) и отношений между РЧ непротиворечивы и им уже присвоены определенные значения истинности (Л, И).
(2) А вот теорема Гёделя говорит, что во всякой достаточно содержательной теории можно определить такие свойства (это я так перевожу Ваше "условия по поводу множеств") натуральных чисел, что вопрос об их истинности окажется неразрешим в данной теории. Для рациональных чисел - тем паче.
epros

1. Согласен, что я не слишком настойчиво сказал о новом объекте. Чтобы повысить понятность моего изложения, скажу еще более настойчиво. Итак, пусть задано произвольное бинарное отношение $x \in y$. Далее мы определяем предикат $R(x)$ определением $$R(x)  \leftrightarrow x \notin x.$$Вопрос к Вам - а такой предикат горшок существует?

2. Термин теория у меня означал всего лишь теорию в смысле наивного матанализа. Если же говорить о формальных системах, то Гедель относится лишь к финитной формализации, которая здесь не используется.

Кстати, в К-системах арифметика (в том числе над рациональными числами) разрешима.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение01.11.2011, 19:09 


15/10/09
1344
epros

У меня возникло подозрение, что мы с Вами говорим об одном и том же ..., но на разных языках.

Вы, похоже, большой энтузиаст аксиоматического подхода. Поэтому Вы говорите об аксиомах.

А я, по крайней мере здесь, говорю на наивном уровне - на уровне Фихтенгольца. И то же самое называю определениями.

Но суть вот этих наших с Вами высказываний ИМХО одна и та же.
epros в сообщении #498144 писал(а):
парадокс возникает, когда мы закладываем в качестве аксиомы существование такого объекта, несуществование которого можно доказать.
vek88 в сообщении #498147 писал(а):
если Вы уже нечто определили, то не следует это определять снова да еще в противоречии с первым определением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение01.11.2011, 20:52 


15/10/09
1344
И еще об аксиомах и определениях. Конечно формально мы можем считать каждое определение аксиомой. Но в рассматриваемом вопросе о непротиворечивости реальной математической практики есть ИМХО веское соображение против этого.

Дело в том, что аксиома - это просто аксиома. А доказывать непротиворечивость даже небольшого количества аксиом, как мы знаем, в общем случае очень трудно. В качестве примере см. традиционные аксиоматизации теории множеств.

А вот реальное определение - это нечто сродни правилу вывода - оно позволяет при выполнении посылок определения делать те или иные заключения. И это ИМХО позволяет лучше понять причины противоречивости или непротиворечивости конкретных определений. И на этом пути ИМХО есть надежда понять причины непротиворечивости реальной математической практики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение01.11.2011, 21:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2016
Минск, Беларусь
vek88 в сообщении #498197 писал(а):
Поэтому предлагаю с континуумом пока годить ...
Ну ладно. Просто разбор Фихтенгольца вроде как начинался с
vek88 в сообщении #477973 писал(а):
Для оценки возможностей СТМ предлагаю начать с малого - пройтись по матану. Итак, открыл параграф 1 первого тома (трехтомного) Фихтенгольца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение01.11.2011, 21:08 


15/10/09
1344
Droog_Andrey

Вы правы, вопрос об СТМ рассматривался выше. Этот вопрос был успешно рассмотрен и ... закрыт. Мы, с Вашим участием, установили, что СТМ имеет право на существование и практически ничего не меняет в матане. См. post480209.html#p480209

Но я не сторонник использования СТМ - это был просто интересный вопрос - как бы в пику диагональному построению Кантора. См. post477375.html#p477375

А теперь мы взялись за Фихтенгольца по другому поводу - в связи с выяснением причин непротиворечивости реальной математической практики. Теперь Фихтенгольца мы взяли в качестве простенькой модели этой реальной практики.

Что касается континуума, мы рассмотрим его в подходящем месте, но лишь мелким шрифтом, поскольку Фихтенгольц хорошо обходится и без континуума (мы это выяснили выше в связи с СТМ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение02.11.2011, 04:07 
Заблокирован
Аватара пользователя


10/10/11

33
Восточная Сибирь
vek88 в сообщении #277162 писал(а):
Случайно встрял в тему "Могут ли машины мыслить?". И сформулировал контрвопрос "Могут ли люди мыслить?".

:roll: А потом понял, что этот вопрос заслуживает особого рассмотрения. Чтобы не размазаться слишком широко (и не погрязнуть в рассмотрении множества многовековых заблуждений человечества), предлагаю рассмотреть этот вопрос на примере оснований математики. Таким образом, предлагаю поговорить о парадоксах (Рассела и др.), теореме Тарского, теореме Геделя и т.д. и т.п.

Парадо́кс (от др.-греч. παράδοξος — неожиданный, странный)

Основания математики - это аксиомы. Если аксиома неверна, то математики приходят к парадоксу. Это не смертельно и никак не наказуемо. Чего не скажешь о приземлённых науках.

Например, вождь всех времён и народов (Сталин) задумался о долголетии. Врач Богданов предложил вариант продления жизни за счёт переливания крови от молодой особи в стареющую, т.е. математическим языком - застолбил аксиому. Врачу дали всё необходимое (клиника его имени продолжает действовать и сейчас). Во время исследований этот врач настолько уверовал в своё недоказанное утверждение, что на себе проводил эти эксперименты, переливая кровь от студента добровольца. Студент дожил до глубокой старости. Богданов умер после десяти вливаний будучи молодым.
Богданов и коллеги-врачи таким образом пришли к парадоксу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение02.11.2011, 09:32 


15/10/09
1344
Хороший пример ... но как-то не слишком гуманный. Надеюсь, в этой теме до членовредительства не дойдет.

А начало темы:
vek88 в сообщении #277162 писал(а):
Случайно встрял в тему "Могут ли машины мыслить?". И сформулировал контрвопрос "Могут ли люди мыслить?".
Вы напомнили очень кстати. Вот посмотрите, сколько мы мусолим брадобрея и Рассела ... а к согласию никак не придем.

Например, множество $R$ из поста post498147.html#p498147 - существует оно или нет? Никак не можем определиться.

Пример. Пусть на множестве $U = \{a,b,c\}$ задано бинарное отношение $\{ a \in c, b \in c, c \in c \}$. Тогда в соответствии с определением из поста post498147.html#p498147 $$R = \{a, b\}.$$ ИМХО $R$ - это множество. Оно состоит из элементов множества $U$, которые не принадлежат самим себе. А вот epros с этим категорически не согласен:
epros в сообщении #498166 писал(а):
Хоть горшком назовите, всё равно такой объект существовать не может.
Надеюсь, теперь все согласны, что $R$ - это множество.

Но был еще вопрос:
vek88 в сообщении #498147 писал(а):
И еще вопрос - может ли существовать в исходном отношении объект $R'$ такой, что $R=R'$ (в обычном смысле равенства множеств)?
Что думает общественность по этому поводу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение02.11.2011, 12:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2016
Минск, Беларусь
vek88 в сообщении #498296 писал(а):
Но я не сторонник использования СТМ
Понятно. Я-то подумал изначально, что мы сначала избавились от континуумов, а теперь рассматриваем непротиворечивость, т.е. что это последовательные задачи. А оказалось - параллельные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Основания математики - элементарное рассмотрение
Сообщение02.11.2011, 15:51 


15/10/09
1344
Брадобрей нужен был нам лишь для лучшего понимания Фихтенгольца.
vek88 в сообщении #498084 писал(а):
Тут ИМХО полезно вспомнить Рассела. Или, чтобы совсем уйти от вопросов конечного/бесконечного, рассмотрим в следующем посте бедного задолбанного брадобрея. С тех же позиций, с каких я тут пытался объясниться по поводу определения сечения.
Резюмируем два возможных подхода к формулировке определений:

1. Консервативный стиль. Новые понятия вводятся (определяются, строятся) строго поэтапно: сначала определяются исходные (базовые, элементарные) понятия. Далее строятся понятия следующего уровня - при этом не переопредяются исходные понятия! Затем вводятся понятия следующего уровня - при этом не переопредяются понятия предыдущих уровней определения! И т.д. ...

ИМХО Фихтенгольц и вся реальная математическая практика работают именно так.

Парадоксы в этом случае просто не могут возникнуть. В следующих постах мы постараемся это обосновать.

Пример. Если мы сначала определили в деревне базовое отношение $x$ бреет $y$, то, действуя консервативно, далее мы не имеем права "переопределять брадобрея". Он, видимо, по базовому определению бреет себя (или не бреет, опять же по базовому определению). И никаких парадоксов не возникает. С Расселом то же самое.

2. Произвольный стиль. Имеем право давать произвольные определения. Но надо понимать, что так просто в общем случае избежать парадоксов и/или построить непротиворечивую теорию не удастся.

С этим то, надеюсь, все согласны?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 512 ]  На страницу Пред.  1 ... 30, 31, 32, 33, 34, 35  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group