Геометрия в университете

[Munin]

Bananen в сообщении #460348 писал(а):

Анализ тоже подпадает под критерий для отнесения к геометрии?

Смотря какой анализ. Школьный - да, он в большой степени посвящён топологии и геометрии графиков функций. Поэтому переход к общей топологии, дифференциальной геометрии и т. п. материям происходит именно с этой стартовой площадки.

[Morkonwen]

Munin в сообщении #460324 писал(а):

Если бы там крылся подвох, это бы не считалось удобным и надёжным аппаратом.

Как верно заметил alex1910 некоторые задачи аналитически решать сверхутомительно, хотя если чуть чуть подумать"аксиоматически" -ответ можно выписать без вычислений либо применив простую и понятную теорему.В этом и подвох. Я сталкивался с таким несколько раз, но сейчас не могу вспомнить хороших примеров

-- Пн июн 20, 2011 23:14:26 --

Вспомнил неплохой пример - задача о площади тора. Есть теорема, что площадь фигуры вращения полученной вращением линии A вокруг оси(A не пересекает ось) равна длине этой линии умноженной на длину окружности, которую описывает центр масс линии A. В общем то простая теорема, которую легко запомнить.

Если считать площадь тора аналитически выйдет утомительно, а по этой теореме я хоть сейчас напишу $S=2 \pi b 2 \pi a$ b и a - малый и большой радиусы тора

[Munin]

Morkonwen в сообщении #460409 писал(а):

Как верно заметил alex1910 некоторые задачи аналитически решать сверхутомительно

Точнее, как "верно" заметил. Да, анализ не так красив, зато гораздо мощнее, так что утомительность тут на его стороне.

Morkonwen в сообщении #460409 писал(а):

Если считать площадь тора аналитически выйдет утомительно, а по этой теореме я хоть сейчас напишу

А теорему, вы думаете, не аналитически надо было доказывать? :-)

[Morkonwen]

Munin в сообщении #460429 писал(а):

А теорему, вы думаете, не аналитически надо было доказывать?

О, так она очень старая насколько я знаю - тогда еще и анализа то не было =). вот кстати нашел как называется. там же геометрическое доказательство - это конечно замаскированный анализ.

http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Гюльдена

Да теорема эта не самый удачный пример.
Как то я часа два пытался что-то решить аналичитески, а потом от усталости подумал немного геометрически и ответ вообще стал очевиден. Я просто уже не помню что . Было очень давно - в 11-м классе. Но меня это сильно тогда впечатлило.

[Eugene]

Напротив, отличный пример с площадью тора. Рассмотрим его развертку - прямоугольник. Для него посчитать площадь и пятиклассник сможет. Если же считать ту же площадь исключительно аналитически - не каждый студент-второкурсник справится. Пусть это чисто геометрическое решение и не вполне строгое, но оно позволяет сразу и элементарно получить ответ. И уже потом, если возникла необходимость, можно его обосновывать.

[Munin]

Morkonwen в сообщении #460438 писал(а):

О, так она очень старая насколько я знаю - тогда еще и анализа то не было =)

Анализ был всегда! Кстати, в средние века и вплоть до Ньютона и чуть позже, анализ был ещё более геометричен: люди не изучали функции, подразумевая их графики, а изучали кривые линии, подразумевая аналитические выражения и соотношения.

[VAL]

Eugene в сообщении #460449 писал(а):

Напротив, отличный пример с площадью тора. Рассмотрим его развертку - прямоугольник. Для него посчитать площадь и пятиклассник сможет. Если же считать ту же площадь исключительно аналитически - не каждый студент-второкурсник справится. Пусть это чисто геометрическое решение и не вполне строгое, но оно позволяет сразу и элементарно получить ответ.

Причем неверный. Поскольку топологические преобразования (а по-другому Вы тор в прямоугольник не развернете) о сохранении площади не особо заботятся.

[Morkonwen]

VAL в сообщении #460522 писал(а):

Причем неверный. Поскольку топологические преобразования (а по-другому Вы тор в прямоугольник не развернете) о сохранении площади не особо заботятся.

Да тору действительно сильно повезло, что растянутые площади скомпенсировались сжатыми. в общем случае это неверно.

Теорема не перестает правда от этого быть верной=)

[ewert]

alex1910 в сообщении #460137 писал(а):

Ewert, продемонстрируйте хотя бы один пример, когда картинка "затемнила смысл задачи" по [аналитической] геометрии.

Прямо тут таких картинок полно. Вот, пожалуйста, например:

vvvv в сообщении #383010 писал(а):

Вот картинка пирамиды и правильный ответ.

Очень красивая картинка -- и абсолютно бессмысленная. Ибо задачка гласила:

Helena в сообщении #382711 писал(а):

В пирамиде SABC: треугольник ABC-основание пирамиды, S-вершина пирамиды. Даны координаты точек. A(6;0;0) B(0;-3;0) C(0;0;2) S(4;-3;4).
Нужно найти проекцию вершины S на основание ABC.

Munin в сообщении #460237 писал(а):

То есть, что такое гиперболический параболоид, вы предлагаете объяснять без картинок?

Вы невнимательны. Это как раз одно из очень-очень редких исключений. И обратите внимание, что на всю книжку требуется ровно один рисунок этого гиперболоида. Притом желательно, чтобы этот рисунок был искажён: если пропорции будут правильными, то это может породить неправильное представление о свойствах поверхности. Кстати, та картинка с пирамидкой -- хорошая иллюстрация этому эффекту: разве не "видно", что прямая вовсе не перпендикулярна основанию?...

[alex1910]

Во-первых, это не задача, а пример для умственно-отсталых.
Во-вторых, картинка и правда дурацкая.
В-третьих, вменяемый автор не помещает дурацкие картинки в учебник и не разбирает в учебнике бессодержательные задачи.

При этом, где-то в учебнике ан. геом. говорится об уравнении плоскости. Вот там-то совершенно необходима картинка этой плоскости, перпендикуляра к плоскости и некого элементарного геометрического свойства, которое доказывает (объясняет), почему уравнение плоскости - это (h,x)=const.

[ewert]

alex1910 в сообщении #460609 писал(а):

Во-первых, это не задача, а пример для умственно-отсталых.

Во-первых, это не пример, а вполне стандартная задача. Бывают и ещё проще -- типа провести через данную точку прямую, параллельную заданной прямой. Из того, что они простые, вовсе не следует, что их не нужно уметь решать. А чтобы научиться, нужен определённый курс дрессировки. Вот как раз в первую очередь на таких простых задачах.

alex1910 в сообщении #460609 писал(а):

где-то в учебнике ан. геом. говорится об уравнении плоскости. Вот там-то совершенно необходима картинка этой плоскости, перпендикуляра к плоскости

Совершенно не нужна. Учебник -- это не кладовка, которую можно заваливать всяким хламом.

alex1910 в сообщении #460609 писал(а):

и некого элементарного геометрического свойства, которое доказывает (объясняет), почему уравнение плоскости - это (h,x)=const.

Во-первых, не понятно, что такое "картинка свойства". Во-вторых, на этом уровне следует считать сей факт очевидным.

[alex1910]

Не, ну если понятие плоскости - это хлам в курсе геометрии, нам говорить не о чем.

[Morkonwen]

alex1910 в сообщении #460609 писал(а):

Во-первых, это не задача, а пример для умственно-отсталых.

У меня подозрения, что вы сверхчеловек. Для простых смертных хорошая учебная задача.

alex1910 в сообщении #460659 писал(а):

Не, ну если понятие плоскости - это хлам в курсе геометрии, нам говорить не о чем.

картинка и понятие разные вещи, согласитесь

[Munin]

ewert в сообщении #460577 писал(а):

Вы невнимательны. Это как раз одно из очень-очень редких исключений. И обратите внимание, что на всю книжку требуется ровно один рисунок этого гиперболоида.

А я и не говорю, что нужно два. Зато на ту же книжку нужны рисунки ещё эллипсоида, эллиптического параболоида... (далее все трёхмерные квадрики), и это только в главе по квадрикам. Нужны рисунки, поясняющие направления нормалей, ориентации площадей, нужны... да что я перечисляю? Откройте сами любой учебник по аналитической геометрии.

ewert в сообщении #460577 писал(а):

Притом желательно, чтобы этот рисунок был искажён: если пропорции будут правильными, то это может породить неправильное представление о свойствах поверхности.

Между прочим, полезно приводить два рисунка: искажённый, для объяснения качественных свойств поверхности, и более точный, чтобы дать количественное представление и намекнуть об искажениях. В частности, в современном мире: студент столкнётся с математическим пакетом, попытается нарисовать в нём график, и получит не то, что ожидает. Полезно объяснить ему на этот случай, "как всё на самом деле".

ewert в сообщении #460577 писал(а):

Кстати, та картинка с пирамидкой -- хорошая иллюстрация этому эффекту: разве не "видно", что прямая вовсе не перпендикулярна основанию?...

Мне "видно", что перпендикулярна, не знаю, как вам.

ewert в сообщении #460657 писал(а):

Во-вторых, на этом уровне следует считать сей факт очевидным.

Поумерьте высокомерие. Очевиден он для людей опытных, а для студентов сделать его очевидным - как раз цель обучения.

Morkonwen в сообщении #460686 писал(а):

картинка и понятие разные вещи, согласитесь

Тем не менее, никак не могу себе представить, чтобы картинка плоскости была хламом. Одна на весь учебник :-)

[ewert]

Munin в сообщении #460695 писал(а):

Между прочим, полезно приводить два рисунка: искажённый, для объяснения качественных свойств поверхности, и более точный, чтобы дать количественное представление и намекнуть об искажениях.

Вы собираетесь жить вечно, и вечно писать тот учебник.

Munin в сообщении #460695 писал(а):

никак не могу себе представить, чтобы картинка плоскости была хламом. Одна на весь учебник

Если она одна -- то она бесполезна (неинформативна). Если их много -- то это хлам.

Munin в сообщении #460695 писал(а):

а для студентов сделать его очевидным - как раз цель обучения.

Для этого вовсе не обязательно рассусоливать. Вполне достаточно напомнить, что нормаль перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости и, соответственно, всем векторам. Доказывать ещё и эквивалентность -- в этом месте никому не нужная ловля блох.