Геометрия в университете

[Bananen]

Здравствуйте.
Хотел бы задать интересующий меня вопрос касательно обучения геометрии современных студентов:
1) Почему геометрию в университете почти всегда излагают аналитически, координатным способом, а не обычным аксиоматическим методом как в школе?
2) Во многих ведущих западных математических программах курса по базовой геометрии (аффинной, проективной и неевклидовых) вообще не осталось (MIT например), а в некоторых он есть, но не считается обязательным (обязательны Алгебра, Анализ и Топология). С чем это связано, современный математик уже может обойтись без этих знаний?

[ewert]

Bananen в сообщении #439801 писал(а):

Почему геометрию в университете почти всегда излагают аналитически, координатным способом, а не обычным аксиоматическим методом как в школе?

Потому что смотря какой университет.

В школе геометрию если и подают аксиоматически, то в сугубо педагогических целях -- чтоб научить думать.

В педвузах это тоже возможно -- чтоб научить, как учить.

В классических университетах это уже не нужно никому: предполагается, что поступившие думать уже хоть мало-мальски, но умеют, и можно перейти к более актуальным вопросам.

В технических -- это противопоказано категорически. По тем же причинам, что и в классических, но в ещё большей степени.

[Bananen]

ewert в сообщении #439807 писал(а):

В классических университетах это уже не нужно никому: предполагается, что поступившие думать уже хоть мало-мальски, но умеют, и можно перейти к более актуальным вопросам.

Понятно, спасибо.
А на второй вопрос можете выразить мнение, почему курса по аналитической геометрии не осталось вообще в западных лучших университетах?

[Vince Diesel]

На этот вопрос любил отвечать Арнольд Чтобы не было отстающих. Типа для политкорректности, у всех должны быть равные возможности, поэтому надо изгнать воображение Ну и еще абстрактно-бурбакисткий подход. У него много было подобных выступлений, вот и вот, например.

[alex1910]

Vince Diesel в сообщении #439901 писал(а):

На этот вопрос любил отвечать Арнольд Чтобы не было отстающих. Типа для политкорректности, у всех должны быть равные возможности, поэтому надо изгнать воображение Ну и еще абстрактно-бурбакисткий подход. У него много было подобных выступлений, вот и вот, например.

Вообще-то аналитическая геометрия в двух или трехмерном пространстве - самое простое, что можно преподать в университетском курсе математики. Так что если причина в отстающих - непонятно, как преподавать что-то более сложное.

Скорее причина в том, что подавляющее большинство задач можно решить, если знаешь формальную линейную алгебру (без конкретики и отдельных нюансов, которые и рассматривает ан.геом (вроде теории поверхностей второго порядка) ).

[Xaositect]

Bananen в сообщении #439859 писал(а):

А на второй вопрос можете выразить мнение, почему курса по аналитической геометрии не осталось вообще в западных лучших университетах?

Насколько я понимаю, геометрия линейных объектов упоминается в курсе линейной алгебры (напр., http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/ ... equations/ )
А кривые второго порядка - это уже алгебраическая геометрия, для тех кто выберет соответствующий курс.

[Munin]

Bananen в сообщении #439801 писал(а):

Почему геометрию в университете почти всегда излагают аналитически, координатным способом, а не обычным аксиоматическим методом как в школе?

Это связано со строением самого предмета геометрии. Аксиоматическая геометрия - это геометрия уровня не выше середины 19 века, до проективной и Лобачевского, плюс развитие в экзотических направлениях (общая топология, конечная геометрия). Это мизерная часть от объёма геометрии в современном смысле. Современная геометрия изучает пространства и объекты, которые чисто аксиоматически не строятся, и путь в неё при изучении лежит именно через координатные инструменты, хотя в самой геометрии они могут играть и небольшую роль.

Bananen в сообщении #439801 писал(а):

Во многих ведущих западных математических программах курса по базовой геометрии (аффинной, проективной и неевклидовых) вообще не осталось (MIT например), а в некоторых он есть, но не считается обязательным (обязательны Алгебра, Анализ и Топология). С чем это связано, современный математик уже может обойтись без этих знаний?

Зачем отдельно выделять аффинную, проективную и неевклидовы геометрии, когда есть курсы линейной алгебры, геометрии многообразий, алгебраической геометрии? Столь примитивные частные случаи там будут охвачены мимоходом.

alex1910 в сообщении #439922 писал(а):

Скорее причина в том, что подавляющее большинство задач можно решить, если знаешь формальную линейную алгебру (без конкретики и отдельных нюансов, которые и рассматривает ан.геом (вроде теории поверхностей второго порядка) ).

Кривые и поверхности второго порядка охватываются теорией квадратичных форм, одной из глав линала. Алгебраическая геометрия ими, конечно, тоже занимается, но походя :-)

[AD]

Не-не, квадратичные формы гораздо важнее алгебраической геометрии. Грубо говоря, механик не обязан знать алгебраическую геометрию, но эллипсоид инерции понимать должен.

[Munin]

AD в сообщении #440078 писал(а):

Не-не, квадратичные формы гораздо важнее алгебраической геометрии.

А я не говорил, что не важней. Я говорил, что предмет алгебраической геометрии гораздо шире квадратичных многообразий.

Насчёт "важней", наверное, здесь нельзя говорить о важности безотносительно к кому-либо. У механика и математика задачи разные. Понятное дело, механиков больше, и знания, необходимые для них, более распространены :-)

[alex1910]

Munin в сообщении #440038 писал(а):

Bananen в сообщении #439801 писал(а):

Почему геометрию в университете почти всегда излагают аналитически, координатным способом, а не обычным аксиоматическим методом как в школе?

Это связано со строением самого предмета геометрии. Аксиоматическая геометрия - это геометрия уровня не выше середины 19 века, до проективной и Лобачевского, плюс развитие в экзотических направлениях (общая топология, конечная геометрия). Это мизерная часть от объёма геометрии в современном смысле. Современная геометрия изучает пространства и объекты, которые чисто аксиоматически не строятся, и путь в неё при изучении лежит именно через координатные инструменты, хотя в самой геометрии они могут играть и небольшую роль.

Bananen в сообщении #439801 писал(а):

Во многих ведущих западных математических программах курса по базовой геометрии (аффинной, проективной и неевклидовых) вообще не осталось (MIT например), а в некоторых он есть, но не считается обязательным (обязательны Алгебра, Анализ и Топология). С чем это связано, современный математик уже может обойтись без этих знаний?

Зачем отдельно выделять аффинную, проективную и неевклидовы геометрии, когда есть курсы линейной алгебры, геометрии многообразий, алгебраической геометрии? Столь примитивные частные случаи там будут охвачены мимоходом.

alex1910 в сообщении #439922 писал(а):

Скорее причина в том, что подавляющее большинство задач можно решить, если знаешь формальную линейную алгебру (без конкретики и отдельных нюансов, которые и рассматривает ан.геом (вроде теории поверхностей второго порядка) ).

Кривые и поверхности второго порядка охватываются теорией квадратичных форм, одной из глав линала. Алгебраическая геометрия ими, конечно, тоже занимается, но походя

1. Теория квадратичных форм излагает совсем элементарные вещи, вроде приведения к главным осям - в тонкости, коих немало, не лезет.

2. Проективной геометрией в 19 веке прекрасно занимались с использованием синтетического (аксиомы-теоремы a-la Евклид) подхода.

[Munin]

Не вижу, как сказанное мной противоречит обоим вашим пунктам.

[VAL]

А корректно ли противопоставление: аксиоматическое изложение - аналитическая геометрия?
Аксиоматика Вейля вполне примиряет эти подходы.

[Bananen]

Спасибо за ваши ответы.

Munin в сообщении #440038 писал(а):

Зачем отдельно выделять аффинную, проективную и неевклидовы геометрии, когда есть курсы линейной алгебры, геометрии многообразий, алгебраической геометрии? Столь примитивные частные случаи там будут охвачены мимоходом.

Т.е. действительно, правильный подход к обучению математика Алгебра и Анализ без какого-то отдельного курса аналитической геометрии (как на мехмате)? Нужные геометрические темы будут рассмотрены и так?

[Munin]

Bananen в сообщении #441203 писал(а):

Т.е. действительно, правильный подход к обучению математика Алгебра и Анализ без какого-то отдельного курса аналитической геометрии (как на мехмате)? Нужные геометрические темы будут рассмотрены и так?

Я не считаю, что перечисленные мной геометрические курсы - это алгебра и анализ. Это геометрия и есть. Но в ряде курсов геометрии выделять достаточно простую элементарную начальную часть аналитическую геометрию в отдельный курс - может быть неоправдано. Действительно, нужные темы аналитической геометрии будут рассмотрены и так.

[alex1910]

Bananen в сообщении #441203 писал(а):

Спасибо за ваши ответы.

Munin в сообщении #440038 писал(а):

Зачем отдельно выделять аффинную, проективную и неевклидовы геометрии, когда есть курсы линейной алгебры, геометрии многообразий, алгебраической геометрии? Столь примитивные частные случаи там будут охвачены мимоходом.

Т.е. действительно, правильный подход к обучению математика Алгебра и Анализ без какого-то отдельного курса аналитической геометрии (как на мехмате)? Нужные геометрические темы будут рассмотрены и так?

Вот как-раз не мехмате курс аналитической геометрии читается в первом семестре (вернее, читался в начале 90-х, уверен, что и теперь читается).