аналитическая геометрия

[Helena]

Добрый день.
Дана следующая задача: В пирамиде SABC: треугольник ABC-основание пирамиды, S-вершина пирамиды. Даны координаты точек. A(6;0;0) B(0;-3;0) C(0;0;2) S(4;-3;4).
Нужно найти проекцию вершины S на основание ABC.
Уравнение плоскости у меня получилось следующее: x-2y+3z-6=0.
Не могу разобраться в этом. Пробовала найти проекцию как точку пересечения данного перпендикуляра с плоскостью, но получившиеся ответы мне не нравятся.

[ИСН]

Helena в сообщении #382711 писал(а):

как точку пересечения данного перпендикуляра

какого-какого перпендикуляра?

[Helena]

ну если из точки S на плоскость опустить перпендикуляр

[Gortaur]

Можно например найти расстояние от $S$ до плоскости как минимум расстояний от $S$ до $x$ где $x$ лежит в плоскости. Точка минимума и будет проекцией. Вы кстати уверены, что проекция будет внутри основания?

[ИСН]

Так. А как Вы записывали, э, короче, этот перпендикуляр (в смысле, если не словами русского языка, а значками)? а пересечение с плоскостью как искали?

-- Чт, 2010-12-02, 13:33 --

Gortaur, зачем такие ужасы: минимум... там, наверное, производную брать придётся, а это уж совсем - - -

[Helena]

мне нужно, как я поняла, найти координаты точки(проекции). а в математике я не сильна, поэтому не уверена ни в чем

-- Чт дек 02, 2010 14:37:57 --

я нашла подобное решение, но мне показалось что оно не верное
(x-4)/1=(y+3)/-2=(z-4)/3
уравнение в параметрическом виде:
x=t+4
y=-2t-3
z=3t+4
найдем проекцию точки S на плоскость как точку пересечения данного перпендикуляра с плоскостью x-2y+3z-6=0:
4+t-2(-3-2t)+3(3t+4)-6=0
t=-8/7
искомая точка имеет координаты (20/7;-5/7;-4/7)

[ИСН]

почему показалось? что не так?
(арифметику не проверял)

[Helena]

почему-то я подумала что там должны получиться целые числа.
неужели решение верное?

[ИСН]

идеологически верное.
арифметику, повторяю, не проверял, и не знаю, действительно ли в z стоит минус

[Gortaur]

Хм, у меня получилось $\frac{1}{7}(26,25,22)$. Метод такой:
Пусть $S'(x,y,z)$ - проекция, тогда $||S'-S||^2\rightarrow \min$ при условии $x-2y+3z-6=0$. То есть

$$ ||S'-S||^2 = (x-4)^2+(y+3)^2+(z-4)^2\rightarrow \min. $$

Как найти условный минимум? либо выразить $x$ из уравнения $x-2y+3z-6=0$, подставить в $(x-4)^2+(y+3)^2+(z-4)^2\rightarrow \min$, и искать безусловный (т.е. простой) минимум от $y$ и $z$ - т.е. найти производные и приравнять их к нулю. Получите систему из 2х линейных уравнений.

[Helena]

да,да,да. z-число положительное

-- Чт дек 02, 2010 15:31:43 --

Огромное всем спасибо. Пойду сдаваться)))

[vvvv]

Вот картинка пирамиды и правильный ответ.

[ИСН]

vvvv, послушайте, но ведь рисовать систему координат, произвольно сдвинув все оси для красоты - это уж ни в какие ворота не лезет.

[vvvv]

Это не я - это Маткад!