Несколько вопросов по топологии

[paha]

(Оффтоп)

Bulinator в сообщении #387031 писал(а):

Я тему открыл, чтобы задавать свои вопросы

ну... не монополизируйте

топикстартер -- не топикхолдер

[Bulinator]

(Оффтоп)

Вобщем, прогнали меня из этой темы
http://dxdy.ru/topic39662.html

[Munin]

Bulinator
А чего вам про сферы не нравится? Это же продолжение рассуждений про гомотопии и $n$-связность.

[Bulinator]

(Оффтоп)

Munin
Просто шутка
Не надо воспринимать серьезно.

[Bulinator]

Проверьте, пожалуйста определение расслоения.
Пусть даны пространства $X$ и $B$ и сюръективное отображение(т.е. покрывающее все $B$)
$f:X\mapsto B$.
Обозначим прообраз точки $b\in B$, $f^{-1}(b)\subset X$.
Я правильно понимаю, чтобы это было расслоением пространства $X$ нужно чтобы $f^{-1}(b_1)$ было диффеоморфным $f^{-1}(b_2)$, $\forall b_1,b_2\in B$.

[Bulinator]

И еще один вопрос. Говорят, что нельзя причесать сферу $S^2$. Это значит, что не существует непрерывного векторного поля $\xi(x), x\in S^2$ на касательном расслоении $TS^2$, такого, что $\xi\neq 0,\forall x\in S^2$?

[paha]

Bulinator в сообщении #392334 писал(а):

Я правильно понимаю, чтобы это было расслоением пространства $X$ нужно чтобы $f^{-1}(b_1)$ было диффеоморфным $f^{-1}(b_2)$, $\forall b_1,b_2\in B$.

этого недостаточно (если Вы имеете ввиду классическое определение гладкого локально-тривиального расслоения):
слоение Зайферта не является, вообще говоря, расслоением

-- Ср дек 29, 2010 01:25:22 --

Bulinator в сообщении #392435 писал(а):

И еще один вопрос. Говорят, что нельзя причесать сферу $S^2$. Это значит, что не существует непрерывного векторного поля $\xi:S^2\to TS^2$ на касательном расслоении $TS^2$ сфере, такого, что $\xi(x)\neq 0,\forall x\in S^2$?.

[Bulinator]

paha в сообщении #393140 писал(а):

этого недостаточно (если Вы имеете ввиду классическое определение гладкого локально-тривиального расслоения):

Так значит определение в Вики неправильно?

wiki в сообщении #393140 писал(а):

Расслоение — вообще говоря, непрерывное сюрьективное отображение

$\pi: X\to B$

между топологическими пространствами.

При этом

• $X$ называется пространством расслоения (или тотальным пространством расслоения или расслоённым пространством)
  
• $B$ — базой расслоения,
  
• $\pi$ — проекцией расслоения,
  
• $F_b = \pi^{-1}(b)$ — слоем над $b\in B$.

Обычно расслоение представляют как объединение слоёв $F_b$, параметризованных базой $B$ и склеенных топологией пространства $X$.

-- Ср дек 29, 2010 12:39:27 --

Да и кстати, а что значит "склеенных топологией пространства"? Топология пространства разве не множество всех открытых подмножеств этого пространства?

-- Ср дек 29, 2010 12:41:48 --

(Оффтоп)

Нифига себе. Поиск в гугле с ключевыми словами "слоение Зайферта" на первом месте выдает именно сообщение

paha в сообщении #393140 писал(а):

слоение Зайферта не является, вообще говоря, расслоением

[paha]

(Оффтоп)

Bulinator в сообщении #393234 писал(а):

Нифига себе.

разные транскрипции... в России принято писать Зейферт

Bulinator в сообщении #393234 писал(а):

склеенных топологией пространства $X$

это ужасная вольность речи, хоть бы "склеенных" в кавычках писали... кстати, если Вы перейдете в той статье из Википедии по ссылке "локально тривиальное расслоение", то увидите корректное определение

там еще и слоения Зайферта названы "расслоениями Зайферта":(

кстати, в http://en.wikipedia.org/wiki/Fiber_bundle#Generalizations все подробно написано... и, вроде, без ляпов

[Bulinator]

Спасибо, paha. (Что бы я без Вас делал? )

[Bulinator]

Вики писал(а):

A fiber bundle consists of the data $(E, B, \pi, F)$, where $E, B$, and $F$ are topological spaces and $\pi : E \to B$ is a continuous surjection satisfying a local triviality condition outlined below. The space $B$ is called the base space of the bundle, $E$ the total space, and $F$ the fiber. The map $\pi$ is called the projection map (or bundle projection). We shall assume in what follows that the base space B is connected.

We require that for any $x$ in $E$, there is an open neighborhood $U$ of $\pi(x)$ (which will be called a trivializing neighborhood) such that $\pi^{-1}(U)$ is homeomorphic to the product space $U \times F$, in such a way that $\pi$ carries over to the projection onto the first factor. That is, the following diagram should commute:

where $proj_1 : U \times F \to U$ is the natural projection and $\varphi : \pi^{-1}(U) \to U \times F$ is a homeomorphism. The set of all $\{(U_i, \varphi_i)\}$ is called a local trivialization of the bundle.

Вот что значит предложение "$\pi$ carries over to the projection onto the first factor"? Эта диаграмма разве по своему построению не коммутативна? Если нет, то приведите, пожалуйста пример.

-- Ср дек 29, 2010 21:17:13 --

Понял. Вопрос снят. $U$ возникает не из $\pi$ а мы ее как-бы вводим руками.

-- Ср дек 29, 2010 21:34:44 --

А можно ли сказать, что $\pi=\varphi\circ proj_1$?

[paha]

Bulinator в сообщении #393413 писал(а):

А можно ли сказать, что $\pi=\varphi\circ proj_1$?

ну, во-первых я принадлежу к той традиции, в которой $\pi=proj_1\circ \varphi$,
а во-вторых, $\pi$ определено ГЛОБАЛЬНО, а $\varphi$ -- для каждой $U$ своя

Bulinator в сообщении #393413 писал(а):

$U$ возникает не из $\pi$ а мы ее как-бы вводим руками

она должна существовать и гомеоморфизм $\varphi$ должен быть на абы какой, а $\pi=proj_1\circ \varphi$ -- как раз это и зашифровано в словах

Bulinator в сообщении #393413 писал(а):

"$\pi$ carries over to the projection onto the first factor"

[Bulinator]

Возник еще один вопрос:

Дубровин, Новиков, Фоменко писал(а):

Гладкое расслоение есть составной объект, включающий в себя

1. пространство расслоения- гладкое многообразие $E$;
2. базу расслоения- гладкое многообразие $M$;
3. проекцию- гладкое отображение $p:E\to M$, дифференциал которого имеет во всех точек максимальный ранг $n=dim M$;
4. слой $F$- гладкое многообразие;
5. структурную группу - группу $G$ гладких преобразований слоя $F$;
6. структуру расслоения: база $M$ покрыта областями $U_\alpha\subset M$ над которыми в полные проообразы введени координаты прямого произведения с помощью диффеоморфизмов $\varphi_\alpha:F\times U_\alpha\to p^{-1}U_\alpha$ таких, что $p\varphi_\alpha(y,x)=x$ при $x\in U_\alpha$, $y\in F$. Преобразования $\lambda_{\alpha\beta}=\varphi_{\beta}^{-1}\varphi_\alpha:F\times U_{\alpha\beta}\to F\times U_{\alpha\beta}$, где $U_{\alpha\beta}=U_\alpha \cap U_\beta$, называют функциями склейки расслоения. Можно записать их в виде $\lambda_{\alpha\beta}(y,x)=(T^{\alpha\beta}(x)y,x)$. Требуется, чтобы при любых $\alpha,\beta$ и $x$ преобразование $T^{\alpha\beta}(x):F\to F$ производилось элементом группы $G$. Таким обоазом функции склейки $\lambda_{\alpha\beta}$ определяют гладкие отображения области $U_{\alpha\beta}$ в группу $G$:
   
   $$T^{\alpha\beta}:U_{\alpha\beta}\to G,\quad x\to T^{\alpha\beta(x)}.$$
   
   Из определения функций $T^{\alpha\beta}(x)$ мы имеем
   
   $$T^{\alpha\beta}=(T^{\beta\alpha})^{-1} \quad \text{и}\quad T^{\alpha\beta}T^{\beta\gamma}T^{\gamma\alpha}=1$$

Теперь вопрос:

Пусть $2n$ мерное евклидово пространство($n=1,2,4,8$) параметризовано двумя элементами ${\bf u}_{1,2}$ соответствующей нормированной алгебры с делением(Вещественные числа $\mathbb{R}$, комплексные числа $\mathbb{C}$, кватернионы $\mathbb{H}$ и октонионавы $\mathbb{O}$).

Рассмотрим функции

$${\bf x}=x_n+\sum\limits_{i=1}^{n-1}x_i{\bf e}_i=2{\bar {\bf u}}_2 {\bf u}_1,\quad x_{n+1}={\bar {\bf u}}_2 {\bf u}_2-{\bar {\bf u}}_1 {\bf u}_1.\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$$

(Здесь и далее жирным шрифтом обозначаются элементы алгебры а обычным- вещественные числа)
Легко проверить, что выполняется следующее тождество:

$${\bf x}\bar{\bf x}+x_{n+1}^2=({\bar {\bf u}}_2 {\bf u}_2+{\bar {\bf u}}_1 {\bf u}_1)^2\equiv r^2\qquad\qquad\qquad\qquad(2)$$

Т.е. фиксируя $2n-1$-мерную сферу в пространстве ${\bf u}$ мы, тем самым, фиксируем $n$-мерную сферу в протсранстве $x$.
Обратные преобразования (1) можно записать следующим образом:

$${\bf u}_\alpha={\bf g}{\bf r}_\alpha,\quad {\bf r}_1=\frac{\bf x}{\sqrt{2(r+x_{n+1})}},\quad r_2=\sqrt{\frac{r+x_{n+1}}{2}},\quad \alpha=1,2\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(3)$$

где $r$ определяется согласно (2) а ${\bf g}={\bf u}_2/|{\bf u}_2|$.

В случае $n=1,2,4$ алгебры являются ассоциативными. Очевидно, что преобразование

$${\bf u}_\alpha\to {\mbox{\boldmath{\tau}}}{\bf u}_\alpha,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(4)$$

где $\bar{\tau}\tau=1$, не меняет функции ${\bf x}, x_{n+1}$.
Имея ввиду (2) получаем первые три расслоения Хопфа(нумерация идет с нулевого)

$$S^0\to S^1\to S^1,\quad S^1\to S^3\to S^2,\quad S^3\to S^7\to S^4.$$

Из (3) следует, что в случае $n=8$ (4) можно заменить на

$${\bf u}_2\to {\mbox{\boldmath{\tau}}}u_2,\quad {\bf u}_1\to\frac{({\mbox{\boldmath{\tau}}}{\bf u}_2)({\bf \bar u}_2 {\bf u}_1 )}{{\bar {\bf u}}_2 {\bf u}_2}.$$

Далее рассуждения те же и получаем последнее- третье расслоение Хопфа

$$S^7\to S^{15}\to S^8.$$

Собственно вопрос: объясните пожалуйста, где здесь $G$ из определения расслоения?

[paha]

Bulinator в сообщении #395127 писал(а):

Собственно вопрос: объясните пожалуйста, где здесь $G$ из определения расслоения?

ха:)))

Возьмите в качестве $G$ группу ${\rm Diff}(S^7)$ -- группу всех диффеоморфизмов семимерной сферы

-- Вт янв 04, 2011 13:10:52 --

вообще говоря, структурная группа -- это некоторая дополнительная структура (сорри за тавтологию) на расслоении

Ведь всегда можно считать $G={\rm Diff}(F)$. В топологии важен вопрос можно ли редуцировать данное расслоение к какой-нибудь хорошей (конечномерной) подгруппе в $G$.
Например, расслоение ориентируемо, если структурная группа редуцируется к компоненте связности единицы

[Bulinator]

paha в сообщении #395135 писал(а):

можно ли редуцировать данное расслоение к какой-нибудь хорошей (конечномерной) подгруппе в $G$.

Что значит "редуцировать расслоение к чему-то"?