Несколько вопросов по топологии

[Bulinator]

paha в сообщении #385800 писал(а):

Лагранжиан же пишут исходя из условий физической задачи, разве нет?

Ну в каком-то смысле.
Т.е. есть, например лагранжиан классической часицы:
$L=\frac{\dot{q}^2}{2}+U(q)$,
есть лагранжиан частицы в электромагнитном поле:
$L=- \sqrt{1-\dot{q}^2}+A_i \dot{q}^i$.
Они описывают системы в своих рамках.

В общем случае Лагранжиан- это некоторая функция, зависящая от чего хотим- координат, скоростей, ускорений, переменных поля и.т.д. Для любого Лагранжиана формально можно написать действие и проварьировав его получить уравнения Эйлера-Лагранжа.

Часто физическая задача может состоять например в следующем:
найти Лагранжиан(систему,поле и.т.д) которое имеет какие-то, наперед заданные симметрии.( В общем случае, понятно, что таких Лагранжианов много, но это уже из другой опреры.)
Есть, например, некоторое научное сообщество, которое занимается тем, что рисует Лагранжианы с заданной симметрией. Например в теории высших спинов, люди мучаются нарисовать хоть какой-то лагранжиан, для которого есть петли порядка выше чем 3.

[paha]

возьмите $\mathbb{R}^n$, $n\ge 0$
нарисуйте гладкую траекторию $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^n$ и выдумывайте лагранжиан... Теорема Уитни тут при чем?

[Munin]

Padawan в сообщении #385715 писал(а):

А можно ли в $\mathbb R^4$ зацепить кольцо за бутылку Клейна? Я думаю, что нельзя.

Я тоже сначала подумал, что нельзя. Точку, положенную внутрь бутылки Клейна, вывести наружу можно, не пересекая стенок. Но при этом эту точку придётся поднять из 3-плоскости, поскольку у бутылки Клейна есть "область самопересечения", где она выходит в ненулевую 4-ю координату ("мостиком"). Вот через это место и нельзя будет пронести кольцо, зацепленное за бутылку Клейна. Так что получается, зацепить его можно.

[Bulinator]

paha в сообщении #385811 писал(а):

нарисуйте гладкую траекторию $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^n$ и выдумывайте лагранжиан... Теорема Уитни тут при чем?

А при том, что я так понимаю, что для любого $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2$ такой вопрос постваить нельзя а для $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^3$ уже можно. Наверное.

[Munin]

Bulinator
На самом деле, одномерная траектория прекрасно вкладывается в $\mathbb{R}^1.$ Я всё ждал, когда вам об этом скажут. Так что ваша идея была неверна, а попытки перевести её на язык лагранжиана неудачны: в двумерной плоскости и даже на прямой лагранжево движение тоже возможно.

[paha]

Munin в сообщении #385817 писал(а):

На самом деле, одномерная траектория прекрасно вкладывается в $\mathbb{R}^1.$

замкнутая не вкладывается... даже не погружается(((

-- Пт дек 10, 2010 18:35:42 --

Munin в сообщении #385812 писал(а):

Точку, положенную внутрь бутылки Клейна

бутылка не разделяет в $\mathbb{R}^4$, так что никакого "внутри" нет

Тут все проще: есть заузленные 2-сферы, их дополнение неодносвязно -- значит есть нестягиваемая петля.

Самый простой способ увидеть заузленную 2-сферу -- нарисовать узел в гиперпространстве $x_4=0$ и взять над ним конусы с вершинами в точках $(0,0,0,\pm 1)$

[Bulinator]

Munin в сообщении #385817 писал(а):

в двумерной плоскости и даже на прямой лагранжево движение тоже возможно.

Одно дело движение возможно, а совсем другое любое движение(в каком-то разумном смысле), можно считать лагранжевым(описываемым неким Лагранжианом.)

[Munin]

paha
Локально вкладывается - большее физика всё равно не интересует.

paha в сообщении #385823 писал(а):

Самый простой способ увидеть заузленную 2-сферу

Это для вас простой :-) Я к таким операциям непривычный, вот и не могу сообразить, можно бутылку Клейна представить таким образом, или нельзя.

И кстати, можно ли бутылку Клейна представить себе как лист Мёбиуса в $x_4=0,$ край которого добавлен конусами к вершинам $(0,0,0,\pm 1).$

-- 10.12.2010 19:03:25 --

Bulinator в сообщении #385831 писал(а):

Одно дело движение возможно, а совсем другое любое движение(в каком-то разумном смысле), можно считать лагранжевым(описываемым неким Лагранжианом.)

А это сколькимерное пространство не берите, так не будет.

[Bulinator]

Munin в сообщении #385836 писал(а):

А это сколькимерное пространство не берите, так не будет.

Это как?? Если есть точки, где $q(t)=q(t^\prime), \dot{q}(t)=\dot{q}(t^\prime)$, то рассматриваем Лагранжианы, зависящие еще от $\ddot{q}$. Если в каие-то два момента совпадают и вторые производные, то берем Лагранжиан, зависящий еще от $\dddot{q}$ и т.д. Если все точки такие, что совпадают макс $n<\infty$ производных, то, видимо можно показать, что нарисовать такой лагранжиан получится.

[Александр Т.]

paha в сообщении #385800 писал(а):

Александр Т. в сообщении #385791 писал(а):

А то я было подумал, что в $\mathbb{R}^4$ существует некий новый тип взаимного расположения окружности и двумерной сферы, и силился его себе представить.

они там могут быть заузлены, только и всего... так расположены, ни за что не "расцепить"

А какой "старый тип взаимного расположения окружности и двумерной сферы" Вы неявно имели ввиду?-0

Это — индивидуальная вольность речи (со строгой терминологией я совсем не знаком). Я имел в виду два "старых" (т.е. знакомых мне) типа взаимного расположения (не имеющих общих точек) окружности и двумерной сферы — когда они "зацеплены" (заузлены?) или нет. Как две окружности в $\mathbb{R}^3$. Поскольку я в $\mathbb{R}^4$ не могу чувствовать себя уверенно, я решил уточнить у Вас, как у более сведующего человека — вдруг в $\mathbb{R}^4$ существует еще один "тип взаимного расположения", который я в силу своей неуверенности просто никак не могу увидеть.

[Munin]

Bulinator в сообщении #385839 писал(а):

Это как??

Представьте себе частицу, ускорение которой зависит от её координаты в момент времени $t-\tau,$ $\tau=\mathrm{const}.$ Вам понадобится бесконечно много производных. А это ещё не самое сложное.

[Bulinator]

Munin в сообщении #385854 писал(а):

Представьте себе частицу, ускорение которой зависит от её координаты в момент времени $t-\tau,$ $\tau=\mathrm{const}.$ Вам понадобится бесконечно много производных. А это ещё не самое сложное.

Это незамкнутая система. В принципе, можно положить потенциальную энергию $U=U(t-\tau)$.

[paha]

Munin в сообщении #385836 писал(а):

И кстати, можно ли бутылку Клейна представить себе как лист Мёбиуса в $x_4=0,$ край которого добавлен конусами к вершинам $(0,0,0,\pm 1).$

это получится $\mathbb{R}P^2$

чтобы увидеть бутыль надо взять две ленты Мебиуса в $x_4=\pm 1$и соединить цилиндром граничные окружности

-- Пт дек 10, 2010 20:02:28 --

Александр Т. в сообщении #385848 писал(а):

Как две окружности в $\mathbb{R}^3$. Поскольку я в $\mathbb{R}^4$ не могу чувствовать себя уверенно, я решил уточнить у Вас, как у более сведующего человека — вдруг в $\mathbb{R}^4$ существует еще один "тип взаимного расположения", который я в силу своей неуверенности просто никак не могу увидеть.

их там сколько угодно... и все неизотопны, т.е. разные

[Munin]

(Оффтоп)

Bulinator в сообщении #385857 писал(а):

Это незамкнутая система.

Вполне замкнутая. От внешних условий, зависящих от $t,$ ничего не зависит. Во, а как вы относитесь к системе, условие движения которой включает в себя не только её состояние в $t-\tau_1,$ но и в $t+\tau_2$? :-) Вот это уже, признаюсь, нефизично, но всё равно, вы же такого условия не накладывали.

[Александр Т.]

paha в сообщении #385873 писал(а):

Александр Т. в сообщении #385848 писал(а):

Как две окружности в $\mathbb{R}^3$. Поскольку я в $\mathbb{R}^4$ не могу чувствовать себя уверенно, я решил уточнить у Вас, как у более сведующего человека — вдруг в $\mathbb{R}^4$ существует еще один "тип взаимного расположения", который я в силу своей неуверенности просто никак не могу увидеть.

их там сколько угодно... и все неизотопны, т.е. разные

Сколько угодно чего? "Типов взаимного расположения"?

Пожалуй, тут необходимо определиться с терминами. Я употребил словосочетание "тип взаимного расположения", поскольку строгая терминология мне совершенно незнакома, а я попытался как-то объяснить свое восприятие $\mathbb{R}^4$. Попробую пояснить что я под этим словосочетанием подразумевал. (На всякий случай отмечу, что я говорил и буду говорить о недеформированных окружностях и двумерных сферах.) В том смысле, который я имел в виду, "типов взаимного расположения" двух окружностей, не имеющих общих точек, в $\mathbb{R}^3$ всего два — первый тип, это когда они "незацеплены", и второй тип, это когда они "зацеплены". Понятно, что при этом самих взаимных расположений двух окружностей в $\mathbb{R}^3$ — множество континуум. В принципе, можно ввести еще два "типа взаимного расположения" двух окружностей в $\mathbb{R}^3$ — когда они касаются (имеют одну общую точку) и когда они имеют две общие точки. (Надеюсь, что словосочетание "тип взаимного расположения" не занято каким-нибудь строго определенным понятием.)