Несколько вопросов по топологии

[Bulinator]

paha
Есть где-нибудь явно построенное расслоение с двумя разными группами $G$? Укажите, пожалуйста.

[paha]

Bulinator в сообщении #397899 писал(а):

Есть где-нибудь явно построенное расслоение с двумя разными группами $G$?

зачем Вам? Мне кажется, Вы не туда думаете...

Если Вы под расслоением понимаете "расслоение со структурной группой", то Ваш вопрос бессмысленнен,

а если спрашиваете: можно ли на некотором локально-тривиальном расслоении ввести две структуры расслоения со структурной группой (тьфу... язык сломал), которые будут неизоморфны как расслоения со структурной группой, то ответ: можно... но построение бессмысленно

[Bulinator]

paha
Я хочу разобраться с последним расслоением Хопфа:
$S^7\to S^{15}\to S^8$
Слой- негрупповое многообразие $S^7$. И я хочу понять что из себя представляет группа $G$ для этого расслоения.

[paha]

Bulinator в сообщении #397934 писал(а):

Я хочу разобраться с последним расслоением Хопфа:

это расслоение появляется без структурной группы, оно определяется чисто топологически... ну, если вводит структурную группу -- это будет какая-то подгруппа в ${\rm Diff}S^7$

[Munin]

paha в сообщении #397930 писал(а):

можно... но построение бессмысленно

А можно расшифровать, для малопонимающих наблюдателей?

[paha]

Munin в сообщении #398356 писал(а):

А можно расшифровать, для малопонимающих наблюдателей?

ну, смотрите... Берем касательное расслоение $T(S^1\times S^1$ (ну, к примеру) и рассматриваем на $S^1\times S^1$ риманову и симплектическую структуры. Коциклы $T_{\alpha\beta}:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ всегда могут могут быть выбраны так, чтобы сохранять ту, или иную структуру... Ясно, что соответствующие группы ($O_2$ и $SL_2$) различны, хоть и пересекаются по $SO_2$

(Оффтоп)

конечно, в данном случае я немного халтурю... т.к. тор ориентируем и $O_2$ можно редуцировать к $SO_2$

Однако, если тор покрыт конечным числом окрестностей, то структурную группу можно воспринимать не как $O_2$, или $SL_2$, а как группы, порожденные (конечным числом отображений склеек) в данных группах -- уж они-то будут различны

[Munin]

paha в сообщении #398538 писал(а):

Коциклы $\T_{\alpha\beta}:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ всегда могут могут быть выбраны так, чтобы сохранять ту, или иную структуру...

На этом месте у меня понималка выключилась.

[paha]

Munin в сообщении #398569 писал(а):

На этом месте у меня понималка выключилась.

ну там $T_{\alpha\beta}$^))) $\mathbb{R}^2$ -- слой касательного расслоения тора

это склеивающие отображения из большой цитаты Bulinator'а двумя-тремя страницами ранее

[Munin]

Я так понял, $T_{\alpha\beta}$ - сечения. Но почему они коциклы? Или это надо читать как "коциклы от $T_{\alpha\beta}$"?

[paha]

Munin в сообщении #398738 писал(а):

$T_{\alpha\beta}$

склеивающие отображения... в силу тождеств $T_{ab}T_{bc}T_{ca}=e$ их называют склеивающими коциклами

[Munin]

Хороша ложка к обе... Я уже забыл даже то, что в тот момент понимал. Увы. Чтобы теперь что-то понять, мне надо объяснить всё с начала и подробно.

[Bulinator]

(Оффтоп)

Ура, ура!!! paha вернулся :))))

[paha]

(Оффтоп)

я еще болею

[Bulinator]

Возвращаясь к теме о гомотопической эквивалентности, выдаю следующее наглядное определение:
Пространства $X$ и $Y$ называются гомотопически эквивалентными если

1. что бы мы не нарисовали на $X$:
   $z:Z\to X$,
2. потом непрерывно деформировали его в $Y$:
   $f\circ z:Z\to Y$
3. и так-же продеформировали обратно:
   $g\circ f\circ z:Z\to X$,
4. получившийся рисунок будет просто помятым исходным:
   $z\sim g\circ f\circ z$

+ то же самое, но уже рисуем на $Y$.

[Bulinator]

Такой вопрос:
пусть пространство $A$ гомотописески эквивалентно пространству $B$ и пусть $A$ вкладывается в $C$. Можно ли утверждать, что и $B$ вкладывается в $C$?