Возник еще один вопрос:
Дубровин, Новиков, Фоменко писал(а):
Теперь вопрос:
Пусть
![$2n$ $2n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47c124971e1327d1d3882a141f95face82.png)
мерное евклидово пространство(
![$n=1,2,4,8$ $n=1,2,4,8$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/f/43f0d7d2ab9541edf8686a75fdddb42482.png)
) параметризовано двумя элементами
![${\bf u}_{1,2}$ ${\bf u}_{1,2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/2/8721624d87c5b0848c2e2a5076b3d3e382.png)
соответствующей нормированной алгебры с делением(Вещественные числа
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
, комплексные числа
![$\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/3/81324f07e9ffb7920321df72cc0bee1b82.png)
, кватернионы
![$\mathbb{H}$ $\mathbb{H}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/c/0bc31dc06fb3dadf20c94db3afdb694a82.png)
и окт
онионавы
![$\mathbb{O}$ $\mathbb{O}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/8/1f881a393a0e10b7df3619d3a7ab80a982.png)
).
Рассмотрим функции
![$${\bf x}=x_n+\sum\limits_{i=1}^{n-1}x_i{\bf e}_i=2{\bar {\bf u}}_2 {\bf u}_1,\quad x_{n+1}={\bar {\bf u}}_2 {\bf u}_2-{\bar {\bf u}}_1 {\bf u}_1.\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$$ $${\bf x}=x_n+\sum\limits_{i=1}^{n-1}x_i{\bf e}_i=2{\bar {\bf u}}_2 {\bf u}_1,\quad x_{n+1}={\bar {\bf u}}_2 {\bf u}_2-{\bar {\bf u}}_1 {\bf u}_1.\qquad\qquad\qquad\qquad(1)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/d/e1d83b7f43bfa5707576558ac0d54d0b82.png)
(Здесь и далее жирным шрифтом обозначаются элементы алгебры а обычным- вещественные числа)
Легко проверить, что выполняется следующее тождество:
![$${\bf x}\bar{\bf x}+x_{n+1}^2=({\bar {\bf u}}_2 {\bf u}_2+{\bar {\bf u}}_1 {\bf u}_1)^2\equiv r^2\qquad\qquad\qquad\qquad(2)$$ $${\bf x}\bar{\bf x}+x_{n+1}^2=({\bar {\bf u}}_2 {\bf u}_2+{\bar {\bf u}}_1 {\bf u}_1)^2\equiv r^2\qquad\qquad\qquad\qquad(2)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/d/a9d45ce509e6ec6dd7183ef0b3a72ecb82.png)
Т.е. фиксируя
![$2n-1$ $2n-1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/d/fcd768edde862778320ac762e3d11bac82.png)
-мерную сферу в пространстве
![${\bf u}$ ${\bf u}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/d/2dd450254b4d373c85dfdaa9b4174c8082.png)
мы, тем самым, фиксируем
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-мерную сферу в протсранстве
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
.
Обратные преобразования (1) можно записать следующим образом:
![$${\bf u}_\alpha={\bf g}{\bf r}_\alpha,\quad {\bf r}_1=\frac{\bf x}{\sqrt{2(r+x_{n+1})}},\quad r_2=\sqrt{\frac{r+x_{n+1}}{2}},\quad \alpha=1,2\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(3)$$ $${\bf u}_\alpha={\bf g}{\bf r}_\alpha,\quad {\bf r}_1=\frac{\bf x}{\sqrt{2(r+x_{n+1})}},\quad r_2=\sqrt{\frac{r+x_{n+1}}{2}},\quad \alpha=1,2\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(3)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/8/68894ebf91e02b5a9f6aba2cbb05521282.png)
где
![$r$ $r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f2e0d2d24bcf44db73aab8fc03252c82.png)
определяется согласно (2) а
![${\bf g}={\bf u}_2/|{\bf u}_2|$ ${\bf g}={\bf u}_2/|{\bf u}_2|$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/7/707bcf0ea24cb479b1eaf297b339329d82.png)
.
В случае
![$n=1,2,4$ $n=1,2,4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/b/b2b29e45d470145328837684efedcea382.png)
алгебры являются ассоциативными. Очевидно, что преобразование
![$${\bf u}_\alpha\to {\mbox{\boldmath{\tau}}}{\bf u}_\alpha,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(4)$$ $${\bf u}_\alpha\to {\mbox{\boldmath{\tau}}}{\bf u}_\alpha,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(4)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/6/5d6e588d1bf6243e95544a2632c22e5482.png)
где
![$\bar{\tau}\tau=1$ $\bar{\tau}\tau=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/e/cae8b426d96ddffe9c1023cad9602e6782.png)
, не меняет функции
![${\bf x}, x_{n+1}$ ${\bf x}, x_{n+1}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/4/9445b2453991cf761194cd17f18a314682.png)
.
Имея ввиду (2) получаем первые три расслоения Хопфа(нумерация идет с нулевого)
![$$S^0\to S^1\to S^1,\quad S^1\to S^3\to S^2,\quad S^3\to S^7\to S^4.$$ $$S^0\to S^1\to S^1,\quad S^1\to S^3\to S^2,\quad S^3\to S^7\to S^4.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/9/879a9c53f258a34afdcb0e88c890f16682.png)
Из (3) следует, что в случае
![$n=8$ $n=8$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/4/884b9085041b105db369097fc1c8f9fc82.png)
(4) можно заменить на
![$${\bf u}_2\to {\mbox{\boldmath{\tau}}}u_2,\quad {\bf u}_1\to\frac{({\mbox{\boldmath{\tau}}}{\bf u}_2)({\bf \bar u}_2 {\bf u}_1 )}{{\bar {\bf u}}_2 {\bf u}_2}.$$ $${\bf u}_2\to {\mbox{\boldmath{\tau}}}u_2,\quad {\bf u}_1\to\frac{({\mbox{\boldmath{\tau}}}{\bf u}_2)({\bf \bar u}_2 {\bf u}_1 )}{{\bar {\bf u}}_2 {\bf u}_2}.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/5/6b5e7f3a14f871ca848c732ddcea331782.png)
Далее рассуждения те же и получаем последнее- третье расслоение Хопфа
![$$S^7\to S^{15}\to S^8.$$ $$S^7\to S^{15}\to S^8.$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/e/97eabe1dd9e646fac5b644867652c30382.png)
Собственно вопрос: объясните пожалуйста, где здесь
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
из определения расслоения?