Несколько вопросов по топологии

[Bulinator]

paha, миленький, голубчик, ну скажите что-нибудь. Не мучьте ...

[paha]

я не понимаю, где расслоение... какую структурную группу Вы хотите увидеть?

[Bulinator]

paha в сообщении #395298 писал(а):

я не понимаю, где расслоение...

Пространство расслоения- $S^{2n-1}$
База- $S^{n}$
Слой- $S^{n-1}$.
Проекция $p(x,g)=x$.
Функции склейки задаются согласно сказанному выше. Окрестностью $U_\alpha$ точки на базе берем сферы без полюсов.

paha в сообщении #395298 писал(а):

какую структурную группу Вы хотите увидеть?

$U(1)$ для первого расслоения, $SU(2)$ или $SO(3)$ для второго и пока еще не знаю что для третьего расслоения.

[paha]

Bulinator в сообщении #395310 писал(а):

Пространство расслоения- $S^{2n-1}$
База- $S^{n}$
Слой- $S^{n-1}$.

Вы для любого $n$ умеете строить расслоение $p:S^{2n-1}\to S^n$... Научите?

[Bulinator]

Нет $n=1,2,4,8$

[paha]

начните с двулистного накрытия (чего-нибудь) и группы $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

[Bulinator]

Т.е. нулевого расслоения Хопфа
$S^0\to S^1\to S^1$?

[paha]

да, например... или с накрытия ленты мебиуса кольцом (что одно и то же)

[Bulinator]

Считаем $S^1$ вложенным в $\mathbb{R}^2:u_1,u_2\in \mathbb{R}$. $S^1$ задется равенством
$u_1^2+u_2^2=1$
Рассматриваем функции
$x_1=2u_2u_1, x_2=-u_1^2+u_2^2$.
Легко проверить, что
$x_1^2+x_2^2=(u_1^2+u_2^2)^2=1$
Очевидно, что $u_\alpha\to-u_\alpha$ не меняет $x$.

Обратное преобразование можно записать ввиде
$u_\alpha=g r_\alpha$, где $r_1=\frac{x_1}{\sqrt{2(1+x_2)}},\quad r_2=\sqrt{\frac{1+x_2}{2}}$ а $g=sign(u_2)$.
Далее на $S^1$ базы вводим координату $y=\frac{x_1}{1+x_2}$ и $\tilde{y}=\frac{x_1}{1-x_2}$.
...
Я на правильном пути или меня занесло?

-- Вт янв 04, 2011 23:16:17 --

Далее тупо $g$ отождествляем с $\mathbb{Z}_2=S^0$?

[paha]

Bulinator в сообщении #395320 писал(а):

Далее тупо $g$ отождествляем с $\mathbb{Z}_2=S^0$?

и квадрат равен 1?

[Bulinator]

paha в сообщении #395337 писал(а):

и квадрат равен 1?

Bulinator в сообщении #395320 писал(а):

$g=sign(u_2)$.

-- Ср янв 05, 2011 00:09:14 --

(Оффтоп)

Ладно. Я сейчас сильно устал и вообще ничего не соображаю. Утром попытаюсь все разрисовать.

[Bulinator]

На диаграмме показаны расслоенное пространство и база расслоения. Диаметрально противоположные точки $A$ и $B$ на расслоенном пространстве отображаются в одну точку на базе $X$. Любая окрестность, которая не совпадает с окружностью диффеоморфна $\mathbb{R}$ а следовательно ее прообраз диффеоморфен двум параллельным прямым - $\mathbb{R}\times \mathbb{Z}_2$.
Я вот только не пойму как прийти к этим $T^{\alpha\beta}$ из определения.

[Munin]

У меня ощущение, что слева нарисовано не расслоённое пространство, а пространство слоя.

[Bulinator]

Munin в сообщении #395690 писал(а):

У меня ощущение, что слева нарисовано не расслоённое пространство, а пространство слоя.

Слой у нас две точки -$\mathbb{Z}_2$.

[Bulinator]

Я правильно понимаю, что структурная группа зависит от того сколько окрестностей $U_\alpha$ точки на базе мы рассматриваем и как мы их строим?