Несколько вопросов по топологии

[paha]

Padawan в сообщении #386248 писал(а):

Хм... стандартно, а то так и в $\mathbb R^3$ за сферу можно окружность зацепить.

за вложенную нельзя

[Padawan]

paha в сообщении #386250 писал(а):

Padawan в сообщении #386248 писал(а):

Хм... стандартно, а то так и в $\mathbb R^3$ за сферу можно окружность зацепить.

за вложенную нельзя

А что значит вложенную? Гладко вложенную? За гладкую может и нельзя. А за гомеоморфно вложенную можно.

[paha]

Padawan в сообщении #386252 писал(а):

А за гомеоморфно вложенную можно.

да, за рогатую сферу можно... а за гладко вложенную нельзя

-- Сб дек 11, 2010 20:44:30 --

paha в сообщении #386258 писал(а):

да, за рогатую сферу можно... а за гладко вложенную нельзя

Вы првы... извините

(Оффтоп)

привык к гладкой категории

[Александр Т.]

paha в сообщении #386232 писал(а):

Александр Т. в сообщении #386185 писал(а):

Окружность и 2-сфера могут находиться либо в одном том пространстве, либо в разных

в "разных" (непересекающихся) они не могут нходитсья -- размерности 4 не хватает

Я все время думал, что разные — это просто не совпадающие. Например в обычном трехмерном пространстве окружности могут находиться в разных плоскостях или в одной плоскости. При этом разные плоскости могут пересекаться.

Вдобавок, окружность и 2-сфера все-таки могут находится в непересекающихся пространствах. А именно в параллельных. Если плоскость, в которой лежит оружность, параллельна пространству, в котором находится 2-сфера, то этого всегда можно добиться, вращением пространства вокруг плоскости окружности.

Цитата:

Александр Т. в сообщении #386185 писал(а):

Пусть они находятся в одном пространстве. Тогда их взаимное расположение может быть такое же как и в $\mathbb{R}^3$

должно быть такое же

Да. Вместо "такое же" нужно было бы написать "только такое".

Цитата:

Александр Т. в сообщении #386185 писал(а):

... Все. Рассмотрены все возможные взаимные положения 2-сферы и окружности в $\mathbb{R}^4$.

это Вы к чему? ко взамному расположению круглых сфер разных размерностей?

Да. Ко взаимному расположению двумерной и одномерной сфер в $\mathbb{R}^4$.

Цитата:

их же континуально много...

Конечно.

Цитата:

или с точностью до чего Вы их рассматриваете?

Расположения я рассматриваю с точностью до "типов", которые я постарался описать. Извиняюсь, если написал про это невнятно.

[Александр Т.]

Padawan в сообщении #386226 писал(а):

А две 2-сферы в $\mathbb R^4$ можно зацепить?

Padawan в сообщении #386248 писал(а):

paha в сообщении #386232 писал(а):

тут уже, кажется, важно как $S^2$ вложено

Хм... стандартно...

Геометрическое рассмотрение показывает, что зацепить 2-сферы в $\mathbb R^4$ нельзя. Действительно, чтобы мы с ними не делали, они всегда определят два пространства (здесь и далее имеются в виду трехмерные пространства), которым они принадлежат. Если эти пространства совпадают, то 2-сферы могут (тривиальный случай их совпадения не рассмариваем) только пересекаться (иметь общую окружность), касаться друг друга (иметь одну общую точку) и быть незацепленными. Если эти пространства — параллельны, то 2-сферы — явно незацеплены (ничто не мешает нам раздвинуть их на любое расстояние друг от друга, перемещая их в своих пространствах). Пусть теперь эти пространства пересекаются в некоторой плоскости. Тогда возможны следующие ситуации: а) ни одна из 2-сфер эту плоскость не пересекает и ее не касается, б) одна из 2-сфер эту плоскость пересекает или касается, а другая — нет, в) обе 2-сферы эту плоскость либо пересекают, либо касаются. Далее можно все эти случаи подробно рассмотреть, и убедиться, что они либо пересекаются (это возможно только в случае в)), либо касаются (тоже только в случае в)), либо являются незацепленными. Если 2-сферы не имеют общих точек, то ничто не мешает одну их этих 2-сфер сместить перпендикулярно пространству, в котором оно находится, на расстояние, большее суммы радиусов этих 2-сфер, и тогда ничто не помешает удалить ее от другой сферы на любое расстояние, перемещая ее в пространстве, в котором она окажется.

[Александр Т.]

Padawan в сообщении #386034 писал(а):

Можно за любую замкнутую двумерную поверхность зацепить окружность. Просто надо взять её очень маленькой.

paha в сообщении #386042 писал(а):

Padawan в сообщении #386034 писал(а):

Просто надо взять её очень маленькой.

ну, это не обязательно:) можно и сколь угодно большого радиуса

И чисто геометрическое рассмотрение показывает, что зацепить за замкнутую двумерную поверхность в $\mathbb{R}^4$ можно окружность любого сколь угодно большого радиуса. Это эквивалентно зацеплению в $\mathbb{R}^3$ окружности сколь угодно большого радиуса за произвольный замкнутый контур.

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #386252 писал(а):

paha в сообщении #386250 писал(а):

Padawan в сообщении #386248 писал(а):

Хм... стандартно, а то так и в $\mathbb R^3$ за сферу можно окружность зацепить.

за вложенную нельзя

А что значит вложенную? Гладко вложенную? За гладкую может и нельзя. А за гомеоморфно вложенную можно.

Ух крутизна какая!

Душой (т.е. на каком-то чуть ли не эмоциональном уровне) я это как-то воспринял, но работу с такими вещами вряд ли сумею освоить.

[Munin]

Padawan в сообщении #386226 писал(а):

А две 2-сферы в $\mathbb R^4$ можно зацепить?

В $\mathbb R^5$ можно.

[Padawan]

Munin
Ага. Понятно, что $n$-сферу можно зацепить за $m$-сферу в $\mathbb R^{n+m+1}$.

[Munin]

А теперь докажите :-) (Я не справлюсь.)

P. S. Не -1, а +1.

[paha]

Padawan в сообщении #386960 писал(а):

Ага. Понятно, что $n$-сферу можно зацепить за $m$-сферу в $\mathbb R^{n+m+1}$

Берем (стандартные, с точностью до движения) $n$-сферу и $(m+1)$-шар, которые пересекаются в одной точке. Исходная сфера и граница того шара ($m$-сфера) будут зацеплены.

Только теория "круглых" сфер практически тривиальна. Гораздо увлекательней заузливать гладкие (или полиэдральные) $n$-мерные сферы в $\mathbb{R}^{n+2}$ при $n\ge 1$

[Bulinator]

Вопрос:
Пусть задано симплектическое многообразие $M$. Существует ли какое-нибудь выделенное симплектическое многообразие $M^\prime$, такое, что $M$ вкладывается в $M^\prime$ и чтобы индуцированное с помощью проекции $f:M^\prime\mapsto M$ симплектическая 2-форма совпадала с исходной:
$f_*\omega^{(2)}_{M^\prime}=\omega^{(2)}_M?$

[paha]

Bulinator в сообщении #387014 писал(а):

Вопрос:
Пусть задано симплектическое многообразие $M$. Существует ли какое-нибудь выделенное симплектическое многообразие $M^\prime$, такое, что $M$ вкладывается в $M^\prime$ и чтобы индуцированное с помощью проекции $f:M^\prime\mapsto M$ симплектическая 2-форма совпадала с исходной:
$f_*\omega^{(2)}_{M^\prime}=\omega^{(2)}_M?$

может, новую тему?

[Bulinator]

(Оффтоп)

paha в сообщении #387025 писал(а):

может, новую тему?

Это вопрос не по топологии?

[paha]

(Оффтоп)

Просто в эту тему ходят 3-4 человека... и просматривают, наверное, тоже 4-5.

И в симплектическую науку уж больно резкий поворот.

[Bulinator]

(Оффтоп)

paha в сообщении #387029 писал(а):

Просто в эту тему ходят 3-4 человека... и просматривают, наверное, тоже 4-5.
И в симплектическую науку уж больно резкий поворот.

Вообще-то, это мой колодец.
Я тему открыл, чтобы задавать свои вопросы а не для этого случайного набора фраз про сферы(для меня, во всяком случае, он является таковым.)