1. Первый интеграл ищется в виде
![$t=g(x_1,...,x_N,\alpha)$ $t=g(x_1,...,x_N,\alpha)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/4/0c49fa5ac746c2d51a5efef9046d42d282.png)
, если он найдется в таком виде, значит предположение справедливо.
2. Величина
![$t_l$ $t_l$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/7/92714dc3e3fe83e7806ff22a0b0c395682.png)
определяется из равенства
![$dt_l=\frac{\partial t}{\partial x_l}dx_l$ $dt_l=\frac{\partial t}{\partial x_l}dx_l$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/5/ff546c3371afa6282877df4dafab028382.png)
, причем в силу его определения, если существует первый интеграл, то выполняется
![$t=\sum_l t_l+const $ $t=\sum_l t_l+const $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/8/6b80b9260ff05a652f58932c85041a5b82.png)
.
Если первого интеграла не существует, то не будет выполняться критерий интегрируемости, и все эти соотношения не справедливы. Но логика нахождения и существования первого интеграла соблюдена. Она определяется только связью коэффициентов уравнения Пфаффа.
При этом можно записать
![$\frac{dx_l}{dt}=\frac{dx_l}{dt_l}$ $\frac{dx_l}{dt}=\frac{dx_l}{dt_l}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/e/42ea94dffece1762117a25608947d09182.png)
так как изменяется в этой формуле только
![$x_l$ $x_l$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/e/86e3a64938b34725c419cfcb9e07009582.png)
и значит при доказательстве обратной теоремы, по первому интегралу t=g, получить решение диф. ур., имеем
![$\frac{dx_l}{dt_l}=1/\frac{\partial g}{\partial x_l}$ $\frac{dx_l}{dt_l}=1/\frac{\partial g}{\partial x_l}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/2/762a4fedfa53deabb7cc7742f500c1fd82.png)
что эквивалентно
![$\sum_l \frac{\partial g}{\partial x_l}dx_l=\sum_l dt_l=dt$ $\sum_l \frac{\partial g}{\partial x_l}dx_l=\sum_l dt_l=dt$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/5/d654dccb5d85d88bd472be7b5ece00ac82.png)
Т.е. если имеем формулу первого интеграла
![$t=g(x_1,...,x_N)$ $t=g(x_1,...,x_N)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/b/01b9ad0adf77df586a7cd07983f8c44282.png)
, то она удовлетворяет дифференциальному уравнению
и это дифференциальное уравнение имеет первый интеграл, совпадающий с заданным.
Получается интересная вещь, один первый интеграл определяет систему дифференциальных уравнений. Но функция Гамильтона, является первым интегралом и определяет систему дифференциальных уравнений. так что это не криминал.
3. Честно говоря не знаю, что доказывать. Из формул все видно. ИСпользовано, что
![$x_l$ $x_l$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/e/86e3a64938b34725c419cfcb9e07009582.png)
является функцией t, а величина t зависит от
![$x_l$ $x_l$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/e/86e3a64938b34725c419cfcb9e07009582.png)
, причем получается частная производная.