Решение уравнения Пфаффа с четным колич. функций

[evgeniy]

Да Вы во всем правы. Но меня смущает полученный конечный вид функции потенциала. Когда Вы считаете предел
$\frac{\partial U}{\partial x}=lim_{h\to 0}\frac{U(x+h,y,z)-U(x,y,z)}{h}$
функция $U(x+h,y,z)$ берется в другой точке $x_0,y_0,z_0$ и значит возникает дополнительный член, связанный с другим значением $x_0,y_0,z_0$. Это проявляется и в формулах, так как $x_0,y_0,z_0$ тоже надо дифференцировать, раз они меняются, не смотря на то, что берется частная производная. Они связаны со значением x и при его изменении меняются.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #377754 писал(а):

Да Вы во всем правы. Но меня смущает полученный конечный вид функции потенциала. Когда Вы считаете предел
$\frac{\partial U}{\partial x}=lim_{h\to 0}\frac{U(x+h,y,z)-U(x,y,z)}{h}$
функция $U(x+h,y,z)$ берется в другой точке $x_0,y_0,z_0$ и значит возникает дополнительный член, связанный с другим значением $x_0,y_0,z_0$. Это проявляется и в формулах, так как $x_0,y_0,z_0$ тоже надо дифференцировать, раз они меняются, не смотря на то, что берется частная производная. Они связаны со значением x и при его изменении меняются.

совершенно верно. Поэтому-то, когда я предлагала Вам на выбор

Цитата:

попробуйте выбрать.
1. Функция задана формулой $U(x,y,z)=x-1+y-2+3(z-3)+(z-3)^{5/2}2/5$ на 'характеристике', а вне характеристики не определена
2. Функция задана формулой $U(x,y,z)=x-1+y-2+3(z-3)+(z-3)^{5/2}2/5$
в окрестности характеристики.
3. Функция задана формулой $U(x,y,z)=x-1+y-2+3(z-3)+(z-3)^{5/2}2/5$
на характеристике, а вне характеристики задана другой формулой (напишите какой.)

то нужно было выбрать не ответ 3, а ответ 2. Тогда на выбранной кривой будут нужные производные.

[evgeniy]

Я не хочу спорить на эту тему, но так как $x_l^0$ зависит от выбранной характеристики, т.е. от совокупности значений $x_k,k=1,...,N$, значит существует конечная производная $\frac{\partial x_l^0}{\partial x_k}$ даже на поверхности характеристики и значит частная производная от потенциала не совпадает даже если рассматривать задачу в окрестности характеристики. Так что уравнение характеристики в любом виде не дает возможность решить задачу Пфаффа ни в какой области.
У меня есть другая идея, о существовании первых интегралов у системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. справедливо тождество
$\frac{dx_l}{dt}\frac{\partial t}{\partial x_l}=1$
откуда имеем
$\frac{\partial t}{\partial x_l}=\frac{1}{F_l(t,x_1,...,x_N)}$
условием существования первого интеграла $t=g(x_1,...,x_N,\alpha)$ нелинейного дифференциального уравнения с правой частью $F_l(t,x_1,...,x_N)$ можно выписать. Если потенциал существует, то его можно легко определить, причем есть условия интегрируемости этой задачи Пфаффа, и значит условия существования первого интеграла в виде $t=g(x_1,...,x_N,\alpha)$.
ПРичем, я произвел проверку этой идеи. Задал функцию $t=g(x_1,...,x_N)$, получил дифференциальное уравнение, которое имеет нужный первый интеграл.
Условия существования K интегралов я изложу позднее, в отдельной теме.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #379079 писал(а):

справедливо тождество
$\frac{dx_l}{dt}\frac{\partial t}{\partial x_l}=1$

сначала определите входящие величины, а потом докажите.
Только потом можно говорить о применениях.

[evgeniy]

Имеем систему дифференциальных уравнений
$\frac{dx_l}{dt}=F_l(x_1,...,x_N),l=1,...,N$
Ищется первый интеграл в виде $t=g(x_1,...,x_N,\alpha)$. Для этого используем тождество
$\frac{dx_l}{dx_l}=1=\frac{dx_l}{dt}\frac{\partial t}{\partial x_l}$
которое можно привести к виду
$\frac{\partial t}{\partial x_l}=\frac{\partial t_l}{\partial x_l}=\frac{1}{F_l(x_1,...,x_N)}$
Причем приращение $\partial t_l$ определяется только приращением $\partial x_l $, т.е. суммарное приращение равно $t=\sum_l t_l$ . Имеем классическую задачу Пфаффа по определению потенциала. ДЛя нее существует критерий разрешимости. ПОсле его выполнения, можно определить потенциал. Если критерий разрешимости не выполнен, то потенциала нет, и следовательно первого интеграла в виде $t=g(x_1,...,x_N,\alpha)$ не существует.
Пример. ИМеем потенциал $t=\sum_l t_l=g(x_1,...,x_N).$(1)
ДЛя системы дифферециальных уравнений
$\frac{dx_l}{dt_l}=1/\frac{\partial g}{\partial x_l}$
Умножаем обе части на знаменатели и суммируем, получаем
$\frac{\partial g}{\partial x_l}dx_l=dg=\sum_l dt_l=dt$
получаем $g(x_1,...,x_N)=t+\alpha$У меня возникли трудности с определением $t_l$ и величины t. В домашнем анализе я их упустил, у меня было одно t. Надеюсь при Ваших вопросах выяснится, возможно ли такое решение. Вообще-то, если не вводить $t_l$, то тоже определится первые интегралы, но для дифференциального уравнения
$\frac{dx_l}{dt}=1/(N\frac{\partial g}{\partial x_l})$(2)
причем критерий существования первого интеграла не изменится. Умножая на знаменатель и суммируя. получим формулу для первого интеграла(1), для дифференциального уравнения (2).

[shwedka]

evgeniy в сообщении #379118 писал(а):

$t=g(x_1,...,x_N,\alpha)$. Для этого используем тождество
$\frac{dx_l}{dx_l}=1=\frac{dx_l}{dt}\frac{\partial t}{\partial x_l}$
которое можно привести к виду
$\frac{\partial t}{\partial x_l}=\frac{\partial t_l}{\partial x_l}=\frac{1}{F_l(x_1,...,x_N)}$
Причем приращение $\partial t_l$ определяется только приращением $\partial x_l $, т.е. суммарное приращение равно $t=\sum_l t_l$

1. Почему переменная в ДУ обозначается той же буквой, как и первый интеграл? Законно ли это?
2. А что такое $t_l$. Определения не видно.

evgeniy в сообщении #379118 писал(а):

3. $\frac{dx_l}{dx_l}=1=\frac{dx_l}{dt}\frac{\partial t}{\partial x_l}$

Все же нужно доказать.

[evgeniy]

1. Первый интеграл ищется в виде $t=g(x_1,...,x_N,\alpha)$, если он найдется в таком виде, значит предположение справедливо.
2. Величина $t_l$ определяется из равенства $dt_l=\frac{\partial t}{\partial x_l}dx_l$, причем в силу его определения, если существует первый интеграл, то выполняется $t=\sum_l t_l+const $.
Если первого интеграла не существует, то не будет выполняться критерий интегрируемости, и все эти соотношения не справедливы. Но логика нахождения и существования первого интеграла соблюдена. Она определяется только связью коэффициентов уравнения Пфаффа.
При этом можно записать $\frac{dx_l}{dt}=\frac{dx_l}{dt_l}$
так как изменяется в этой формуле только $x_l$ и значит при доказательстве обратной теоремы, по первому интегралу t=g, получить решение диф. ур., имеем
$\frac{dx_l}{dt_l}=1/\frac{\partial g}{\partial x_l}$
что эквивалентно
$\sum_l \frac{\partial g}{\partial x_l}dx_l=\sum_l dt_l=dt$
Т.е. если имеем формулу первого интеграла $t=g(x_1,...,x_N)$, то она удовлетворяет дифференциальному уравнению
$\frac{dx_l}{dt_l}=\frac{dx_l}{dt}=1/\frac{\partial g}{\partial x_l}$
и это дифференциальное уравнение имеет первый интеграл, совпадающий с заданным.
Получается интересная вещь, один первый интеграл определяет систему дифференциальных уравнений. Но функция Гамильтона, является первым интегралом и определяет систему дифференциальных уравнений. так что это не криминал.
3. Честно говоря не знаю, что доказывать. Из формул все видно. ИСпользовано, что $x_l$ является функцией t, а величина t зависит от $x_l$, причем получается частная производная.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #379170 писал(а):

1. Первый интеграл ищется в виде $t=g(x_1,...,x_N,\alpha)$, если он найдется в таком виде, значит предположение справедливо.

Формулками докажите, что $t=g(x_1,...,x_N,\alpha)$ можно взять в качестве параметра на траекториях. и тогда система выполнена.
Сильно в этом сомневаюсь. Вспомните определение ПА. Функция, постоянная на траекториях. Следовательно, на траектории в качестве параметра взять ееНЕЛЬЗЯ. Параметр на траектории должен меняться.

evgeniy в сообщении #379170 писал(а):

$dt_l=\frac{\partial t}{\partial x_l}dx_l$

'Определение' дурное. Во-первых, определяется $dt_l$, а не $t_l$, во-вторых, непонятна связь с первым интегралом.
3. В том-то дело,что из формул. Вы, должно быть, уже привыкли, что формальные преобразования, в особенности, с значками дифференциалов, могут привести к чепухе.
Потому, повторяю, докажите Ваше
$1=\frac{dx_l}{dt}\frac{\partial t}{\partial x_l} \ \ (*)$
с учетом точного определения частной производной, но сначала разберитесь с вопросом о $t$.
поясняю еще раз. В формуле (*)
первое $t$ - это параметр на интегральной кривой,
второе $t$ - это первый интеграл. От того, что Вы их обозначили одной и той же буквой, они совпадать не стали.

[evgeniy]

Дело в том, что имеем зависимость $x_l=x_l(t,x_1^0,...,x_N^0),l=1,...,N$, откуда имеем, разрешая относительно $t,x_k^0,k=1,...,N-1$, получаем
$t=t(x_1,...,x_N,x_N^0),$
т.е. первый интеграл в таком виде зависит от одной константы.
А остальные первые интегралы определяются по формуле
$x_k^0=g_k(x_1,...,x_N,x_N^0)$

[shwedka]

evgeniy в сообщении #379211 писал(а):

$t=t(x_1,...,x_N,x_N^0),$

Вы опять туда же. Вы уже знаете, что появление $x^0$ влечет непреодолимые препятствия в вычислении частных производных.

evgeniy в сообщении #379211 писал(а):

$t=t(x_1,...,x_N,x_N^0),$
т.е. первый интеграл в таком виде зависит от одной константы.

Не вижу здесь первого интеграла. Где здесь функция, постоянная на траектории?

И не злоупотребляйте обозначениями. В последней формуле, опять, слева у Вас параметр на кривой, а справа - функция. это РАЗНЫЕ объекты. Обозначая их одной буквой, Вы создаете предпосылку для ошибок при формальных вычислениях.

[evgeniy]

Я Вас не понимаю. Ну и что, t параметр на кривой, но это параметр, и он может быть функцией координат и константы из соотношения, которое я привел. Функциональная зависимость справедлива, значит ее можно разрешить относительно параметра t. Мне кажется, что Ваши опасения излишни. В случае характеристик, константы определяли уравнения характеристик и решение было жестко привязано к уравнению характеристик, строилось вдоль характеристик. Здесь же уравнение для всего пространства и нет жеского соотношения, как в предыдущем случае, когда принципиально необходимо было строить решение вдоль характеристик.
Ой я убегаю. До завтра.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #379234 писал(а):

Я Вас не понимаю.

Что поделаешь. Вы встретитесь с этой сложностью, когда по-честному станете вычислять частные производные, чтобы оправдать Ваши формулы.

[evgeniy]

Ищется первый интеграл в виде $t=h(x_1,...,x_N)+c$ (1)у системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
$\frac{dx_l}{dt}=F_l(x_1,...,x_N),l=1,...,N$
При этом справедливо тождество
$\frac{dx_l}{dt}\frac{\partial t}{\partial x_l}=1$
которое справедливо в силу зависимостей $x_l=x_l(t,c_1,...,x_N)$ и вида первого интеграла. Из этой формулы получаем
$\frac{\partial t}{\partial x_l}=\frac{1}{F_l}$
и значит критерий потенциальности величины t.
$\frac{\partial \frac{1}{F_l}}{\partial x_k}=\frac{\partial \frac{1}{F_k}}{\partial x_l}$
при выполнении этого условия величина первого интеграла в виде (1) существует и значит величину первого интеграла можно вычислить.
докажем обратную теорему, для чего введем параметр $t_l-t_0=\int\limits_{t_0}^{t}\frac{\partial t}{\partial x_l}F_ldt$(2) , где интегрирование осуществляется вдоль пути решения дифференциального уравнения. тОгда справедливо равенство $t-t_0=\sum_{l=1}^{N}(t_l-t_0)$
в силу подстановки в (2) $F_l=\frac{dx_l}{dt}$
при этом справедливо
$\frac{dx_l}{dt}=\frac{dx_l}{dt_l}$
в силу $dt_l=\frac{\partial t}{\partial x_l}dx_l$
Тогда дифференциальное уравнение имеет вид
$\frac{dx_l}{dt_l}=1/\frac{\partial t}{\partial x_l}=1/\frac{\partial h}{\partial x_l}$
или записав по другому получим
$\sum_{l=1}^{N}\frac{\partial h}{\partial x_l}dx_l=\sum_{l=1}^{N}dt_l=dt$
т.е. величина $h(x_1,...,x_N)=t+c$ и является первым интегралом.
ДЛя вычисления остальных первых интегралов нужно использовать равенство
$\frac{\partial x_l}{\partial x_k}=\sum_{n}\frac{\partial x_l}{\partial c_n}\frac{\partial c_n}{\partial x_k}=\frac{F_l}{F_k}$
но у меня еще не все получается и такого наглядного примера, как обратная теорема в первом случае у меня нет.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #382107 писал(а):

При этом справедливо тождество
$\frac{dx_l}{dt}\frac{\partial t}{\partial x_l}=1$
которое справедливо в силу зависимостей $x_l=x_l(t,c_1,...,x_N)$ и вида первого интеграла.

Ну, сколько можно!! Сколько раз Вы на этом самом месте застревали.
Мы уже это обсуждали. Вам надо не повторять как заклинание эти слова, 'в силу зависимостей' а доказать, в деталях, в соответствии с определением частной производной.

[evgeniy]

Я рассуждаю на физическом уровне строгости, и на этом уровне тут ничего доказывать не надо. Достаточно цепочки формул
$\frac{dx_l}{dx_l}=1=\frac{dx_l}{dt}\frac{\patial t}{\partial x_l}$
и слов, что справедливы равенства $x_l=x_l(t,c_1,...,c_N)$ $t=h(x_1,...,x_N)+c$ больше ничего доказывать не надо. Равенство $\frac{dx_l}{dt}=\frac{\partial x_l}{\partial t}$ следует из зависимости координаты от времени. Остальные соотношения следуют из цепочки равенств.