Решение уравнения Пфаффа с четным колич. функций

[shwedka]

evgeniy в сообщении #377516 писал(а):

В какой области она задана я не знаю, это сложный вопрос,

Это ключевой вопрос. Придется ответить.

попробуйте выбрать.
1. Функция задана формулой $U(x,y,z)=x-1+y-2+3(z-3)+(z-3)^{5/2}2/5$ на 'характеристике', а вне характеристики не определена
2. Функция задана формулой $U(x,y,z)=x-1+y-2+3(z-3)+(z-3)^{5/2}2/5$
в окрестности характеристики.
3. Функция задана формулой $U(x,y,z)=x-1+y-2+3(z-3)+(z-3)^{5/2}2/5$
на характеристике, а вне характеристики задана другой формулой (напишите какой.)

Я повторяю, что без ответа на этот вопрос невозможно вычислять частные пшроизводные этой функции.

-- Пт ноя 19, 2010 19:17:31 --

A@B в сообщении #377524 писал(а):

Есть решение системы, пусть, сначала первой системы или его нет?

Да, есть решение первой системы, кривая на плоскости $xz$.
Что дальше?

A@B в сообщении #377524 писал(а):

И почему Вы так настойчиво игнорируете численную проверку?

Никакая численная проверка не служит доказательством.

[evgeniy]

Функция $A_l(x_l)$ и $U_l(x_l)$ задана на поверхности, которая получается только изменением независимой $x_l$. ДЛя другого l получается другая независимая функция $U_l$. Значит функция $U(x_1,...,x_N)=\sum_l U_l(x_l)$, образует сложную функцию от $x_l,l=1,...,N$ где $x_l,l=1,...,N$ определена на всей вещественной оси при вычислении потенциала. При этом для вычисления функции $A_l(x_1,...,x_N) $ функции $x_l$ связаны. НО когда получена зависимость $A_l(x_l)$ разные функции $A_l(x_l)$ и $U_l(x_l)$ независимы.
Мне нужно подумать над примером, когда в одних соотношениях аргументы независимы, а в других зависимы. Это разные случаи и независимость и зависимость разная.

[A@B]

shwedka в сообщении #377249 писал(а):

Все это в пользу бедных. Доказательства как не было, так и нет.Мои возражения ответа не получили.

$\[{\rm{8x}}^{\rm{3}} {\rm{(x}}^{\rm{4}} {\rm{ + y}}^{\rm{4}} {\rm{ - 2)dx + 8y}}^{\rm{3}} {\rm{(x}}^{\rm{4}} {\rm{ + y}}^{\rm{4}} {\rm{ - 2)dy + 4z}}^{\rm{3}} {\rm{dz = 0;}}\]$



начальная точка (1,0,0). Решение построено с помощью тех же двух систем уравнений. Длины дуг (одна система) взяты специально укороченными для наглядности, к тому же, хорошо видно уплотнение от другой системы. Исходное уравнение, надеюсь, понятно, какое. Ну, обоснуйте, почему здесь системы работают, а там не работают.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #377532 писал(а):

Функция $A_l(x_l)$ и $U_l(x_l)$ задана на поверхности, которая получается только изменением независимой $x_l$. ДЛя другого l получается другая независимая функция $U_l$. Значит функция $U(x_1,...,x_N)=\sum_l U_l(x_l)$, образует сложную функцию от $x_l,l=1,...,N$

ответ не получен.Повторяю вопрос. Или слишком сложно для Вас? Ограничимся примером.

shwedka в сообщении #377526 писал(а):

попробуйте выбрать.
1. Функция задана формулой $U(x,y,z)=x-1+y-2+3(z-3)+(z-3)^{5/2}2/5$ на 'характеристике', а вне характеристики не определена
2. Функция задана формулой $U(x,y,z)=x-1+y-2+3(z-3)+(z-3)^{5/2}2/5$
в окрестности характеристики.
3. Функция задана формулой $U(x,y,z)=x-1+y-2+3(z-3)+(z-3)^{5/2}2/5$
на характеристике, а вне характеристики задана другой формулой (напишите какой.)

A@B в сообщении #377535 писал(а):

Ну, обоснуйте, почему здесь системы работают, а там не работают.

Все очень просто. для этой системы условия интегрируемости выполнены, а для моей нарушены. У Вашей системы решение есть, и его легко найти. У моей системы решения нет, поэтому любой график, как бы красиво он ни выглядел, решения не представляет. Но это вовсе не значит, что последняя картинка представляет решение хорошей системы.

[A@B]

A@B в сообщении #377535 писал(а):

Ну, обоснуйте, почему здесь системы работают, а там не работают.

shwedka в сообщении #377540 писал(а):

Все очень просто. для этой системы условия интегрируемости выполнены, а для моей нарушены. У Вашей системы решение есть, и его легко найти. У моей системы решения нет, поэтому любой график, как бы красиво он ни выглядел, решения не представляет. Но это вовсе не значит, что последняя картинка представляет решение хорошей системы.

Кривая не только на плоскости, но и на поверхности одновременно, Вы с этим не согласны? Тогда объясните именно в Ваших предыдущих терминах относительно перпендикулярных систем, почему конкретно эти системы строят бублик? На картинке отличное решение, дать Вам исходное уравнение? И ещё раз повторю, вторыми уравнениями систем могут быть многие (практически любые) поверхности. Не пропускайте эти замечания.

И не надо передёргивать насчёт численной проверки и доказательства. Речь идёт о проверке.

[shwedka]

A@B в сообщении #377552 писал(а):

Тогда объясните именно в Ваших предыдущих терминах относительно перпендикулярных систем, почему конкретно эти системы строят бублик?

Это меня ничуть не интересует. я не намерена объяснять Ваши вычисления. Они Ваши, и Вы их объясняйте.

Повторяю. Если Вы утверждаете, что построили поверхность-решение, то должны это доказать.

А о проверке-- Вы и проверяйте. Возьмите точку $(x,y,z)$на поверхности, которую Вы построили, ДАЛЕКО от плоскости $xz$, возьмите там касательный вектор $(dx,dy,dz)$ k поверхности, да так, чтобы все компоненты были ненулевыми, и сосчитайте на этих векторах
$dx+dy+y dz$. Если полуычится не ноль-- Вы проврались.

[evgeniy]

Я склоняюсь к третьему варианту. Функция задана на характеристике с другими параметрами
$U(x,y,z,x_0,y_0,z_0)=x-x_0+y-y_0+z_0(z-z_0)+(z-z_0)^{5/2}2/5$
это уже новая характеристика и новая область определения переменных x,y,z. В совокупности при изменении переменных $x_0,y_0,z_0$ меняются значения x,y,z заполняя все вещественную ось для каждой переменной.

[A@B]

shwedka в сообщении #377554 писал(а):

A@B в сообщении #377552 писал(а):

Тогда объясните именно в Ваших предыдущих терминах относительно перпендикулярных систем, почему конкретно эти системы строят бублик?

Это меня ничуть не интересует. я не намерена объяснять Ваши вычисления. Они Ваши, и Вы их объясняйте.Повторяю. Если Вы утверждаете, что построили поверхность-решение, то должны это доказать.

А о проверке-- Вы и проверяйте. Возьмите точку $(x,y,z)$на поверхности, которую Вы построили, ДАЛЕКО от плоскости $xz$, возьмите там касательный вектор $(dx,dy,dz)$ k поверхности, да так, чтобы все компоненты были ненулевыми, и сосчитайте на этих векторах
$dx+dy+y dz$. Если полуычится не ноль-- Вы проврались.

И c чего это ДАЛЕКО? Если решения нет совсем, то какая разница, где? Давайте вместе при всех проверим. Без конспирации, как уже раскрытый разведчик с контрразведчиком.
И от бублика-то не уходите! Что нарушаются условия существования решения задачи Коши? Или бублик не бублик? Или всё-таки прилюдно, шаг за шагом раскроем тайну решения, возможно, в новой теме? Чего Вы виляете? А то у Вас пока один только аргумент, что такого не может быть. Так вот оно, и я готов поэтапно, приоткрывать тайну происходящего, по-вашему – колоться.

[shwedka]

A@B в сообщении #377569 писал(а):

И c чего это ДАЛЕКО? Если решения нет совсем, то какая разница, где?

А вот чем дальше, тем заметнее будет разница между нулем и тем, что у Вас получится. Вот при всех и проверяйте. Цифры и Вас в руках. Вот, сосчитайте частные производные от Вашего 'решения.' Я же сказала как проверять.

А объяснять Ваши картинки не буду. Не мое дело. Я не обязана объяснять Вашикартинки. Бублик ничего не доказывает, кроме того, что Вы его нарисовали.

[Prorab]

A@B
забанен за хамство и как клон ранее заблокированного alekcey

[shwedka]

evgeniy в сообщении #377564 писал(а):

Я склоняюсь к третьему варианту. Функция задана на характеристике с другими параметрами
$U(x,y,z,x_0,y_0,z_0)=x-x_0+y-y_0+z_0(z-z_0)+(z-z_0)^{5/2}2/5$
это уже новая характеристика и новая область определения переменных x,y,z. В совокупности при изменении переменных $x_0,y_0,z_0$ меняются значения x,y,z заполняя все вещественную ось для каждой переменной.

Значит, если Вы сойдете с ЭТОЙ характeристики, то уже будет $(x_0,y_0,z_0)$ уже не 1,2,3,
a что-то другое. Прекрасно, Зафиксировали.

А теперь по-честному, с использованием определения, а не формальными преобразованиями (которые, как мы знаем, могут обмануть)
сосчитайте частные производные функции $U$ и подставьте в уравнение.
Но не забудьте, Вы уже согласились, что $(x_0,y_0,z_0)$ при сходе с кривой меняется.
Напоминаю

$\frac{\partial U(x,y,z)}{\partial x}=\lim_{h\to 0}\frac{U(x_h,y,z)-U(x,y,z)}{h}$

и точке $(x+h,y,z)$ будет отвечать уже ДРУГАЯ начальная точка $(x_0,y_0,z_0)$

[evgeniy]

Я за это время подумал и кажется понял в чем загвоздка. нЕобходимо вычислить интеграл
$U=\int\limits_{a_0}^{a}\sum_{l=1}^{N}A_l(x_1,...,x_N)dx_l$
где $a_0,a$ начальная и конечная точка интегрирования. Если это не полный интеграл, т.е. не выполняются условия интегрирования, то его надо считать вдоль кривой. Кривая задана $x_k=x_k(x_l,x_1^0,...,x_N^0),k=1,...,l-1,l+1,...,N$подставляем эту формулу в каждый член интеграла, в l член, разрешенную относительно аргумента $x_l$,получим интеграл
$U=\int\limits_{x_l^0}^{x_l}\sum_{l=1}^{N}A_l(x_l,x_1^0,...,x_N^0)dx_l$
который получен с помощью тождественных преобразований, с использованием уравнения характеристики. И что мы видим, l член зависит только от $x_l$, которые в этом интеграле для N переменных независимы, так как интеграл вдоль контура разбился на N независимых интегралов. Они независимы, так как каждый l интеграл зависит только от $x_l$. Т.е. интеграл по контуру, разбился на N независимых интегралов. Это и отличается от способ вычисления интеграла по произвольному контуру. Вместо того, чтобы подставлять в интеграл $x_l(t)$ и интегрировать по t, который приведет к некоторому значению интеграла. Но при таком способе интегрирования невозможно выйти за пределы контура и значит получить формулу $A_l=\frac{\partial U}{\partial x_l}$. Предлагается другой способ вычисления этого интеграла, связанный с независимостью $x_l$, или возможностью независимо представлять каждый член уравнения Пфаффа и определяемого во всем пространстве с учетом уравнения характеристики внутри каждого интеграла по величине $x_l$. ПРичем каждый предел интегрирования можно выбрать произвольно, эти пределы не обязательно удовлетворяют уравнению характеристики, т.е. областью решения является область, которая удовлетворяет условию характеристики. Так для Вашего примера, должно выполняться $z>z_0$ Причем переменные $x_l$ не связаны, что видно из вида интеграла.
В уравнении Пфаффа переменные $x_l$ не связаны, они независимы по свойству уравнения Пфаффа, связь есть внутри каждого члена уравнения Пфаффа, для каждого члена необходимо применять формулу $x_k=x_k(x_l,x_1^0,...,x_N^0),k=1,...,l-1,l+1,...,N$, так как он зависит от независимой переменной $x_l$. Эти интегралы я и считаю. Далее получаю, что потенциал равен сумме $U=\sum_{l=1}^{N}U_l(x_l)$.
Данная сумма удовлетворяет условию $A_l=\frac{\partial U}{\partial x_l}$ по построению алгоритма.
Итак, l член уравнения Пфаффа зависит от независимой переменной $x_l$ при использовании уравнения характеристики. Из-за вида получившегося интеграла и из-за независимости переменных $x_l$ в разных членах уравнения Пфаффа, (эти члены пропорциональны $dx_l$) можно вычислить функцию потенциала во всем возможном пространстве.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #377711 писал(а):

можно вычислить функцию потенциала во всем возможном пространстве.

Много слов. Опять та же ошибка.
Постройте, вычислите в простейшем из моих примеров. Увидите, что не получится.
И сложность будет на том же самом месте. Формальные вычисления приводят к неверному результату при вычислении частных производных.

Давайте я на правильном языке объясню, что Вы можете построить; возможно это завершит дискуссию.

Имеется ВЕкторное поле $A(x)=(A_1(x),\dots,A_d(x)), \ x\in \mathbb{R}^d.$ Для любой (скажем, достаточно приличной) кривой $\gamma$ в $\mathbb{R}^d$ Вы можете построить функцию $U(x)$, заданную в некоторой окрестности кривой $\gamma$ и такую, что в точках $x$, лежащих на кривой $\gamma$, $\frac{\partial U(x)}{\partial x_k}=A_k(x), \ k=1,\dots, d$.

Против такой формулировки я не возражаю. Но только не следует такую функцию называть решением УП. Это было бы подобно тому, как функцию на интервале, удовлетворяющую дифференциальному уравнению в трех точках на этом интервале, называть решением ДУ.

[evgeniy]

shwedka в сообщении #377579 писал(а):

evgeniy в сообщении #377564 писал(а):

Но не забудьте, Вы уже согласились, что $(x_0,y_0,z_0)$ при сходе с кривой меняется.
Напоминаю

$\frac{\partial U(x,y,z)}{\partial x}=\lim_{h\to 0}\frac{U(x_h,y,z)-U(x,y,z)}{h}$

и точке $(x+h,y,z)$ будет отвечать уже ДРУГАЯ начальная точка $(x_0,y_0,z_0)$

Вы не внимательно читали, что я написал. Решение при фиксированной точке $(x_0,y_0,z_0)$ получается для всего пространства. Дело в том, что конечная точка не удовлетворяет уравнению характеристики, уравнение характеристики удовлетворяется только при вычислении члена $A_l$. Я довольно подробно описал, почему переменные $x_l$ в lтом члене независимы. Нужно особым образом считать интеграл по вычислению потенциала.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #377725 писал(а):

Решение при фиксированной точке $(x_0,y_0,z_0)$ получается для всего пространства.

Но Вы же писали только что

evgeniy в сообщении #377564 писал(а):

В совокупности при изменении переменных $x_0,y_0,z_0$

evgeniy в сообщении #377725 писал(а):

Нужно особым образом считать интеграл по вычислению потенциала.

Не хотите - как хотите. Или Вы мое последнее послание не успели прочитать? Считайте особым образом, но дайте решение, хотя бы в двумерном случае, $U_x=1, U_y=x.$