2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 ... 23  След.
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение17.11.2010, 18:33 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Munin в сообщении #376573 писал(а):
Для фантастического рассказа идея шикарная, жаль только в реальной физике любые измерения имеют погрешность, и уровни этой частицы будут размыты в нечто невнятное.

Да нет, с этим как раз всё нормально. Измеряется ведь дискретная величина! То есть ноль или единица. Другими словами, нам важно определить, есть ток или нет, точное значение силы тока никого не волнует :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение17.11.2010, 18:43 
Заслуженный участник


21/08/10
2102
Munin в сообщении #376566 писал(а):
Да, мы знаем, что реальные физические зависимости не являются функциями на континууме, и что применять к ним операции дифференцирования и интегрирования логически не более осмысленно, чем к строчкам символов. Но они ведут себя как функции на континууме, в том числе, как будто у них есть производные и первообразные, которые можно померить/пощупать другими способами.


Вообще-то следует помнить, что мы никогда не измеряем саму функцию. Всегда измеряется ее функционал (по простому интеграл с аппаратной функцией). Но если, в некотором смысле, нет самих функций (и даже точек континуума), то как определить что такое функционал? Вот взяли бы математики и объяснили как. Но им не свойственно решать задачи типа "пойди туда не знаю куда". Для них это кошмар. А физику куда деваться, он в этом кошмаре живет и другого места жизни у него просто нет.

Кстати совершенно не понятно почему математики так трепетно относятся именно к поточечной сходимости. Нет поточечной сходимости -- ну и ладно, возьмем другую сходимость. Поищем В КАКОМ СМЫСЛЕ сходимость есть. Для математика это опять кошмар: искать в каком смысле...

Вообще в физике тпипична такая ситуация: ответ известен, надо найти из каких аксиом этот ответ можно вывести. Причем так, чтобы из тех же аксиом следовала и вся остальная куча ответов, что мы знаем. Изначально заданных аксиом нет, даже правил вывода изначальных нет. А понадобится - и логику изменим (хотя и не склонны так уж сразу ни с того ни с сего). Ну с какой бы такой радости Вселенная была обязана подчиняться какой-то там логике, выдуманной каким-то там Аристотелем на провинциальной планетке в заштатной галактике...

 Профиль  
                  
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение17.11.2010, 18:45 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
nestoklon в сообщении #376571 писал(а):
И Эшер и Дали например прекрасно умели "рисовать" в смысле ремесла.

Умели, но не желали. Им это было скучно.

Противоречия в указанном Вами месте нет. Мы, наверное, немного о разном. Чистые математики желают странного, оно им нравится. Физики же желают не странного, а правдоподобного. Не факт, что оно окажется простым. Если оно оказывается сложным, то становится интересно всем. Но если оно окажется простым, но нудным, физики всё равно будут держаться за него, а математики сделают один раз и отвернутся.

Как в анекдоте с чайником. Наверняка большая часть местной публики с ним знакома, но напомню:

Цитата:
Задача номер один: стоит пустой чайник, как вскипятить себе чай?

Решение физика. Опускаем ведро в колодец, поднимаем ведро с водой, переливаем в чайник, рубим дрова, кладём в печку, поджигаем, ставим чайник на печку, ждём, когда вскипит, завариваем, пьём чай.

Решение математика. То же самое.

Задача номер два: стоит чайник с водой, как вскипятить себе чай?

Решение физика. Рубим дрова, кладём в печку, поджигаем, ставим чайник на печку, ждём, когда вскипит, завариваем, пьём чай.

Решение математика. Выльем воду из чайника, после чего задача сведётся к предыдущей.


Здесь очень хорошо проиллюстрирована разность подходов!

 Профиль  
                  
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение17.11.2010, 18:53 
Заслуженный участник


21/08/10
2102
Профессор Снэйп в сообщении #376588 писал(а):
Другими словами, нам важно определить, есть ток или нет, точное значение силы тока никого не волнует


Значение силы тока не волнует. Но волнует положение по энергии этого есть-нету. Есть-нету при какой энергии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение17.11.2010, 19:03 


20/12/09
1527
Alex-Yu в сообщении #376598 писал(а):
Кстати совершенно не понятно почему математики так трепетно относятся именно к поточечной сходимости. Нет поточечной сходимости -- ну и ладно

Часто именно поточечная сходимость интересна для приложений. И расчеты всегда делаются для конкретных значений.
Сходимость в среднем не достаточна:
Представьте Вы рассчитали реактор, в среднем по году он ведет себя как посчитано и только в пятницу 13 взрывается.

-- Ср ноя 17, 2010 19:03:38 --

Есть особые точки и там совсем другая математика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение17.11.2010, 19:10 
Заслуженный участник


21/08/10
2102
Ales в сообщении #376610 писал(а):
Представьте Вы рассчитали реактор и в среднем по году он ведет себя как посчитано и только в пятницу 13 взрывается.


Не взорвется. Среднее-то с весом берется. Можно взять достаточно узкий вес. Если не взрывается в среднем, скажем, по фемтосекунде, то точно не взорвется. Просто не успеет :-)

Но важнее совсем другое. Те уравнения, которые решаются при расчете реактора, вообще ни в малейшей мере не справедливы на достаточно малых временах. И что тогда Вы знаете, если решение имеет сингулярность, на много меньших от сингулярности временах? Решение уравнений-то Вы нашли. Только они в этой ситуации вообще не справедливы и вы не знаете вообще ничего :-) Вообще-то одно из уравнений там это уравнение диффузии нейтронов. Плотность нейтронов гладкая функция? В строгом смысле???? Я Вас умоляю, вроде это всегда частицы были. Что означает плотность частиц В ТОЧКЕ? А они еще и квантовые, а уравнение классическое... Вообще приведите мне пример из более-менее простой физики (оставим КТП) где бы значение функции В ТОЧКЕ имело хоть какой-нибудь здравый смысл. Теория упругости? Из атомов упругое тело построено. Гидродинамика? Тоже из атомов. Что еще???? Ладно, классическая электродинамика. Но в точке напряженность поля опять не имеет смысла. Но уже по более тонким (квантовым) причинам. А если это еще электродинамика сплошной среды, которая на самом деле не сплошная (сплошных просто не бывает)...

 Профиль  
                  
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение17.11.2010, 19:42 
Заслуженный участник


11/05/08
31889
Ales в сообщении #376349 писал(а):
Самим математикам достаточно аналитических функций и теории чисел.

Недостаточно. И ряды Фурье -- прекрасный тому пример. Хотя переход к лебеговскому интегралу ит римановского действительно можно назвать при желании "извращением" (нужным лишь для придания теории внутренней законченности), игнорировать практическую необходимость разложения в ряд разрывных и негладких функций всё же нельзя. Так же и как игнорировать вытекающие из этого последствия -- эффект Гиббса и замедление сходимости. Даже физикам нельзя.

nestoklon в сообщении #376368 писал(а):
И запрещают нам рисовать простые картинки для экспериментаторов. И студентов простыми картинками "путать" запрещают.

А это разные вещи. С эксепериментаторами можно говорить на каком угодно языке -- они и люди уже взрослые, да и не их это дело -- ставить задачу. А вот студентов портить нехорошо.

Профессор Снэйп в сообщении #376528 писал(а):
То есть плотность --- она лишь в макроприближении бывает, а сама природа дифференцирования и прочих предельных переходов такова, что никакой сколь угодно малый масштаб рассмотрений не может быть выбран окончательным, и для любого $\varepsilon_1 > 0$ найдётся $\varepsilon_2 > 0$, много меньшее $\varepsilon_1$... Иначе логика рассуждений начинает хромать. А физики спокойно дифференцируют эту самую плотность массы и приходят к верным выводам, подтверждаемым впоследствии экспериментами.[/off]

Ничего не хромает. Есть некоторый диапазон эпсилонов, в котором и замена производных конечными разностями становится достаточно точной, и макроприближения оправданными. Вот только в рамках этих приближений выводы физиков верными и являются (а и все вообще практические выводы верны только в некотором приближении, даже и в матанализе как таковом). А вне приближений -- нет, иногда флуктуации учитывать всё же приходится.

worm2 в сообщении #376579 писал(а):
Рассмотрим множество непрерывных неубывающих функций на [0, 1], принимающих значение 0 в 0 и 1 в 1. У каждой такой функции, как у кривой, есть длина. Вопрос: какова средняя длина для всевозможных таких функций?

Ответ: никакова, пока не задана конкретная мера на этом пространстве (желательно с какой-нибудь практической точки зрения разумная). Вот в выборе меры -- и проблемы с точным определением континуального интегрирования.

Alex-Yu в сообщении #376598 писал(а):
Вообще-то следует помнить, что мы никогда не измеряем саму функцию. Всегда измеряется ее функционал (по простому интеграл с аппаратной функцией). Но если, в некотором смысле, нет самих функций (и даже точек континуума), то как определить что такое функционал? Вот взяли бы математики и объяснили как.

Очень просто. Функции в некотором смысле очень даже есть, это результат некоторой идеализации. В предположении, что хоть мы и никогда не можем измерить значения ровно в точке, но можем (гипотетически) измерить её усреднённое значение по сколь угодно малой окрестности. А идеализация -- это свойство любого абстрактного понятия. Линия -- это идеализация, точка -- идеализация... Или вот, допустим, некоторые физики берут амперметр и наивно полагают, что меряют им силу тока. Фигня! Нет никакой силы тока, это -- тоже абстракция.
А вот континуум фактически есть. Если его нет -- мы не сможем даже поставить вопрос о вычислении какого-нибудь корня из двух или числа "пи". Не то что вычислить не сможем -- нет, просто поставить выпрос о вычислении.

Alex-Yu в сообщении #376598 писал(а):
Кстати совершенно не понятно почему математики так трепетно относятся именно к поточечной сходимости. Нет поточечной сходимости -- ну и ладно, возьмем другую сходимость. Поищем В КАКОМ СМЫСЛЕ сходимость есть. Для математика это опять кошмар: искать в каком смысле...

Вы явно путаете физиков и математиков. Математики именно тем только и заняты, что ищут "в каком смысле". А вот физикам -- часто на это плевать. В т.ч. наплевать и на сугубо практические последствия, возникающие из различия равномерной и среднеквадратичной (к примеру) сходимостей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение17.11.2010, 19:45 
Заслуженный участник


21/08/10
2102
ewert в сообщении #376631 писал(а):
но можем (гипотетически) измерить её усреднённое значение по сколь угодно малой окрестности.


Не можем! Даже гипотетически! Если СКОЛЬ УГОДНО малая окрестность. У нас пространство свернется в черную дыру если мы захотим такое сделать (пусть гипотетичеси мы можем все).

 Профиль  
                  
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение17.11.2010, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72190
Профессор Снэйп в сообщении #376588 писал(а):
Да нет, с этим как раз всё нормально. Измеряется ведь дискретная величина! То есть ноль или единица.

Нет, недискретным является аргумент функции, если речь идёт именно об энергетических уровнях. Вообще, я как-то не представляю себе физического измерения, в котором всё было бы дискретным, точнее, могу себе представить, но это будет выглядеть как наблюдение работы чёрного ящика, внутри которого спрятан дискретный компьютер, а тут снова возникает проблема остановки, убивающая всю фантастическую задумку.

Alex-Yu в сообщении #376598 писал(а):
Вообще-то следует помнить, что мы никогда не измеряем саму функцию.

Да, поэтому я постарался терминологически отграничиться от этого, и говорить про "физические зависимости", а не про функции. С другой стороны, функционал - для математиков тоже функция.

Alex-Yu в сообщении #376598 писал(а):
Вот взяли бы математики и объяснили как. Но им не свойственно решать задачи типа "пойди туда не знаю куда". Для них это кошмар.

Многие великие учёные прошлого такие задачи решали, особо не причисляя себя ни к физикам, ни к математикам. Д'Аламбер, Эйлер, Д. Бернулли, Лагранж, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение17.11.2010, 19:53 
Заслуженный участник


21/08/10
2102
ewert в сообщении #376631 писал(а):
Вот в выборе меры -- и проблемы с точным определением континуального интегрирования.


И Вы думаете физики этого не знают? Знаменитая проблема квантовх аномалий с этим и связана. Кстати аномалии вполне проявляются экспериментально: распад пи-ноль с ними и связан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение17.11.2010, 19:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72190
ewert в сообщении #376631 писал(а):
игнорировать практическую необходимость разложения в ряд разрывных и негладких функций всё же нельзя.

Это что же такое, интересно, для математика практическая необходимость? Кто ему мешает ограничиться непрерывными гладкими функциями?

ewert в сообщении #376631 писал(а):
Очень просто. Функции в некотором смысле очень даже есть, это результат некоторой идеализации.

Наивный... Нету их. Даже классов эквивалентности функций нету.

ewert в сообщении #376631 писал(а):
В предположении, что хоть мы и никогда не можем измерить значения ровно в точке, но можем (гипотетически) измерить её усреднённое значение по сколь угодно малой окрестности.

Нету такого предположения.

ewert в сообщении #376631 писал(а):
Или вот, допустим, некоторые физики берут амперметр и наивно полагают, что меряют им силу тока. Фигня! Нет никакой силы тока, это -- тоже абстракция.

Нет, сила тока есть. Внимание, определение: сила тока - это то, что показывает амперметр.

ewert в сообщении #376631 писал(а):
А вот континуум фактически есть.

Это ваша религиозная вера.

ewert в сообщении #376631 писал(а):
Если его нет -- мы не сможем даже поставить вопрос о вычислении какого-нибудь корня из двух или числа "пи". Не то что вычислить не сможем -- нет, просто поставить выпрос о вычислении.

В мыслях-то у вас что угодно может быть, и вопрос о вычислении, и о чём-то ещё. Зато в реальности континуума нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение17.11.2010, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Alex-Yu
Вот кстати хороший пример http://dxdy.ru/topic38551.html
можете решить его с Вашей формулировкой теоремы О.Г?

Alex-Yu в сообщении #375236 писал(а):
Bulinator в сообщении #375224 писал(а):
Можете сформулировать теорему Гаусса остроградского? Словами.


Запросто. Поток вектора через поверхность большого объема равен сумме потоков через поверхости малых объемов, на которые большой объем разбивается. Даже не теорема, а нечто самоочевидное т.к. внутренние поверхности считаются по два раза но с разным знаком :-) Причем, заметьте, я обошелся без дивергенции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение17.11.2010, 20:25 


21/06/06
1678
Мне кажется, что у физиков есть очень большая проблема в том, что они очень сильно привыкли полагаться на эксперимент. То есть в том смысле, что свою беспомощность они зачастую объясняют словами "так показывает эксперимент".
Эксперимент оно, конечно, хорошо, но все же порой он становится преградой, которая мешает найти более глубинные явления, лежащие в основе того или иного явления.
Кстати не потому ли до сих пор законы Ньютона, преобразования Эйнштейна и уравнения Максвелла и Шредингера (если уж до конца быть честным) так и остаются фактами экспериментальными и совершенно непонятны причины, по которым эти законы верны (Ну во всяком случае судя по учебникам общей физики). Я имею в виду здесь, что математики не боятся опускать все глубже и глубже, потому как для них это всего лишь еще одна теория, может быть и бесполезная, но все же математическая теория, а вот для физиков, это скорее зря потраченное время.
Можно до бесконечности упражняться в КТП и конденсированном состоянии, но что толку, если фундаментальные законы, лежащие в основе этих явлений воспринимаются на уровне "так устроена природа". Поэтому, мне кажется, что фундаментальные открытия физиков в главной степени зависят от уровня развития математики. То есть мы как раз находимся в том состоянии, что и древние люди, которые в течение многих тысячелетий видели одни и те же явления, а вот законы, лежащие в их основе сформулировали только тогда, когда математика достигла определенного уровня зрелости.
То есть представьте себе ситуацию, когда наши современные знания такие же обрывочные и несовершенные, как например у Архимеда. Он хоть и гений, но все же как ему не хватало то, чему например сейчас учат уже на первом и втором курсе. А чтобы далее пойти в физике, наверно тоже требуются такие же усилия, как от Архимеда до Ньютона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение17.11.2010, 20:26 
Заслуженный участник


21/08/10
2102
Bulinator в сообщении #376647 писал(а):
можете решить его


Могу. Но некогда мне. И вообще на вскидку я не понял в чем здесь прикол. Может есть какой....

 Профиль  
                  
 
 Re: Об использовании математических понятий в физике
Сообщение17.11.2010, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Sasha2 в сообщении #376662 писал(а):
То есть в том смысле, что свою беспомощность они зачастую объясняют словами "так показывает эксперимент".


Беспомощность... хорошее слово, ничего не скажешь
Sasha2 в сообщении #376662 писал(а):
Эксперимент оно, конечно, хорошо, но все же порой он становится преградой, которая мешает найти более глубинные явления, лежащие в основе того или иного явления.

Правильно, природа непраильная.
Sasha2 в сообщении #376662 писал(а):
Я имею в виду здесь, что математики не боятся опускать все глубже и глубже, потому как для них это всего лишь еще одна теория, может быть и бесполезная, но все же математическая теория, а вот для физиков, это скорее зря потраченное время.

Дело том, что математикам не нужно проверять свои аксиомы. Ставя разные аксиомы они могут построить разные теории и вероятность, что такая с потолка взятая аксиома будет соответствовать реальному миру нулевая.

-- Ср ноя 17, 2010 21:31:22 --

Alex-Yu в сообщении #376663 писал(а):
Но некогда мне.

Понимаю :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 331 ]  На страницу Пред.  1 ... 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 ... 23  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group