Об использовании математических понятий в физике

[nestoklon]

Sasha2 в сообщении #376317 писал(а):

Вот кажется просто, что не существует фундаментальных законов природы, которые для их понимания требуют применения изощренного апппарата математики.

Существуют. В том-то и прблема, что математики жутко бесятся когда физики-теоретики для того чтобы вкратце объяснить физикам-экспериментаторам такой изощрённый аппарат рисуют картинку и поясняют этот аппарат в двух словах. Они почему-то на основании этого думают, что строгий подход физикам-теоретикам не только чужд, но и в принципе незнаком. И запрещают нам рисовать простые картинки для экспериментаторов. И студентов простыми картинками "путать" запрещают.

[Ales]

nestoklon в сообщении #376368 писал(а):

Sasha2 в сообщении #376317 писал(а):

Вот кажется просто, что не существует фундаментальных законов природы, которые для их понимания требуют применения изощренного апппарата математики.

Существуют. В том-то и прблема, что математики жутко бесятся когда физики-теоретики для того чтобы вкратце объяснить физикам-экспериментаторам такой изощрённый аппарат рисуют картинку и поясняют этот аппарат в двух словах. Они почему-то на основании этого думают, что строгий подход физикам-теоретикам не только чужд, но и в принципе незнаком. И запрещают нам рисовать простые картинки для экспериментаторов. И студентов простыми картинками "путать" запрещают.

Где же обитают такие злые и вредные математики?

[nestoklon]

Ales в сообщении #376372 писал(а):

Где же обитают такие злые и вредные математики?

ewert в сообщении #374025 писал(а):

И если вы ссылаетесь на какие-то аналогии, игнорируя матаппарат -- вы именно жульничаете. Вы втюхиваете публике идею: правильного описания можно достичь, мол, лишь демонстративно игнорируя здравый смысл.

ewert в сообщении #375380 писал(а):

Что для физиков вполне естественно: поскольку их предмет деятельности -- не математика, им, в общем, достаточно набора ранее вызубренных фактов и не очень важна внутренняя логика их появления. Для вас как уже сложившихся профессионалов это вполне безобидно. Но детей-то зачем сбивать с толку?... Зачем впаривать им совершенно извращённую логику и приучать мыслить нечёткими и бессознательными категориями?...

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #376302 писал(а):

Sasha2 в сообщении #376299 писал(а):

Мне вот кажется, что физики применяют только такую математику, где все функции бесконечно дифференцируемы и все очень гладко, а что касается каких то особых извивов с ужасами из функционального анализа, то таких объектов просто физики еще и не обнаружили даже.

Это похоже на правду, но не совсем правда. Например, запросто встречаются уравнения теплопроводности типа $\mathop{\mathrm{div}}(\alpha(\vec r)\mathop{\mathrm{grad}}u)=0$ с разрывными $\alpha(\vec r)$ -- просто на границе двух сред коэффициент теплопроводности испытывает скачок.

Или пример с другой стороны.

$$ f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} \sin \frac{1}{x}, &x \neq 0 \\ 0, &x = 0 \end{cases} $$

Вряд ли что-то подобное когда-либо возникнет в физике, уж больно странная функция. Согласно предыдущим замечаниям в теме, следует, например, считать, что прямая $y=0$ является касательной к графику этой функции в точке $(0,0)$. У меня в голове не укладывается, как тут можно говорить о касательной. Но!.. Всё бесконечно гладко

С другой стороны... Я плохо "знаю" квантовую механику, лишь понаслышке. Но вроде там многое дискретно и ни о какой гладкости даже речи нет.

(Оффтоп)

P. S. И ещё один глупый вопрос чистого математика. Как можно, к примеру, говорить о плотности вещества, дифференцировать её и т. п. Ведь вещество по природе своей дискретно, состоит из атомов/молекул/элементарных частиц. То есть плотность --- она лишь в макроприближении бывает, а сама природа дифференцирования и прочих предельных переходов такова, что никакой сколь угодно малый масштаб рассмотрений не может быть выбран окончательным, и для любого $\varepsilon_1 > 0$ найдётся $\varepsilon_2 > 0$, много меньшее $\varepsilon_1$... Иначе логика рассуждений начинает хромать. А физики спокойно дифференцируют эту самую плотность массы и приходят к верным выводам, подтверждаемым впоследствии экспериментами. Парадокс!!!

[Alex_Ra]

Вопрос ко всем участникам. Можно привести пример действий по математике физиков, когда они получили бы неврные результаты с точки зрения математики и эти бы результаты были бы поправлены математиками так, что пришлось бы давать новое объяснение наблюдаемому явлению (физическому) или проводить новые более правильные расчеты в физике.

[worm2]

Профессор Снэйп писал(а):

P. S. И ещё один глупый вопрос чистого математика. Как можно, к примеру, говорить о плотности вещества, дифференцировать....

Не-е-ет, это вопрос не чистого математика а к нам, математикам: какого чёрта мы тут для описания физической реальности понапридумывали всякие континуумы, пределы, неизмеримые, тощие и толстые множества, и упиваемся всяческими парадоксами и контрпримерами, из них вышедшими, а как кому-то понадобится новый полезный матаппарат, так его за нас придумывать приходится, да ещё и получать от нас за это высокомерное "фи" ?

[Bulinator]

Alex_Ra в сообщении #376535 писал(а):

Можно привести пример действий по математике физиков, когда они получили бы неврные результаты с точки зрения математики

На эту часть вопроса есть полуответ. Континуальные интегралы не очень хорошо определены со строгой математической точки зрения.

[Профессор Снэйп]

У нас половина класса после ФМШ пошла на физфак, половина на мехмат. Я, естественно, во второй половине. И вот примерно черех год учёбы физики с гордым видом начали нам, математикам, заяснять, что математику огни знают лучше нас. В качестве примера приводили дельта-функцию. Вот, дескать, такая функция, которая во всех точках кроме одной равна нулю, а интеграл от неё равен единице (это всё было задолго до обобщённых функций). Математики говорят "нет такой функции и не может быть", но великий физик Поль Дирак сказал: "Есть такая функция!", посрамив математиков своим откровением на веки вечные. Беднягам математикам пришлось несладко, они в конце-концов извернулись и придумали какие-то там обобщённые функции. Но саму $\delta$-функцию открыл физик, математики сами по себя в жизнь бы до этого не додумались...

Пафос заявления спишем на межфакультетскую рознь, но на физфаке (по крайней мере у нас в НГУ) действительно бытует мнение (по крайней мере, бытовало в середине 1990-ых), что физики знают математику лучше, чем их друзья с ММФ. Мнение это отчасти культивируется самими преподами-физиками. Печально, но факт

В математике есть две составляющие: ремесло и искусство. К исскусству относятся красивейшие паталогии: пила Вейерштрасса и тому подобное. В природе не встречается, но зато невероятно красиво. И самим по себе ходом мысли красиво, и тем фактом, что интуиция оказывается посрамлена логикой. Физики это "настоящей математикой" не считают. Как в искусстве. Типа фотография унылого осеннего пейзажа за окном --- настоящее изобразительное искусство, а картины Эшера и Дальвадора Сали --- оторванный от реальности бред больного сознания... Но ведь красота важнее практической пользы!

Принцесса ждёт принца на белой стрекозе, а вокруг неё состоятельные кроты скрупулёзно считают дождевых червей на столе...

[Padawan]

Рано или поздно и пила Вейерштрасса физикам пригодится. Всё пригодится.

[Профессор Снэйп]

Bulinator в сообщении #376553 писал(а):

Континуальные интегралы не очень хорошо определены со строгой математической точки зрения.

Это что за интегралы? Пример можно? (Я действительно не знаю, просветите, пожалуйста, что имеется в виду).

[Munin]

Профессор Снэйп в сообщении #376528 писал(а):

Я плохо "знаю" квантовую механику, лишь понаслышке. Но вроде там многое дискретно и ни о какой гладкости даже речи нет.

Квантовая механика за счёт бесконечномерности может быть "повёрнута" и дискретным, и непрерывным боком. Физики давно привыкли считать оба варианта эквивалентными, хотя математически они эквивалентны только с рядом оговорок, которые для физиков малоактуальны. Так что в некоторых представлениях квантовая механика очень даже непрерывна и дифференцируема.

Профессор Снэйп в сообщении #376528 писал(а):

Иначе логика рассуждений начинает хромать. А физики спокойно дифференцируют эту самую плотность массы и приходят к верным выводам, подтверждаемым впоследствии экспериментами. Парадокс!!!

Тут как раз уже упомянутое не один раз отличие между математикой и физикой играет роль. Математики опираются только на логику рассуждений. Когда логика начинает хромать, для них это катастрофа. Физики опираются и на логику, и на эксперимент. Если логика хромает, но эксперимент не указывает на проблему в этом месте - логически смутное место игнорируют и идут дальше.

Да, мы знаем, что реальные физические зависимости не являются функциями на континууме, и что применять к ним операции дифференцирования и интегрирования логически не более осмысленно, чем к строчкам символов. Но они ведут себя как функции на континууме, в том числе, как будто у них есть производные и первообразные, которые можно померить/пощупать другими способами. (Простейший пример: вторая производная от положения равна силе, которую можно померять динамометром.) Таким образом, реальные физические зависимости - не изоморфны, конечно, но - каким-то образом мономорфны этим самым функциям на континууме. Этим мы и пользуемся.

По крайней мере, пока - мономорфны. Завтра может появиться экспериментальный факт, не укладывающийся в эту схему, тогда мы будем её ломать, и строить новую схему. Такой временный статус для физики нормален.

Alex_Ra
Очень хороший вопрос. Мне навскидку ничего в голову не приходит, что само по себе интересно.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #376558 писал(а):

Рано или поздно и пила Вейерштрасса физикам пригодится. Всё пригодится.

Уже много лет хочу попытаться написать фантастический рассказ. Про физическое открытие: типа энергетические уровни какой-нибудь наблюдаемой частицы вдруг оказываются в точности равны элементам невычислимого множества (например, частица может иметь энергетический уровень $n \in \mathbb{N}$ тогда и только тогда, когда машина Тьюринга с номером $n$ останавливается через конечное число шагов). Учёные конструируют прибор, измеряющий уровни этой частицы, и получают оракул для проблемы остановки; все шифры на свете мгновенно ломаются, доказуемость становится алгоритмически разрешимой задачей и прочее в том же духе... Проблема лишь в том, что подтвердить такую теорию экспериментом вроде как теоретически невозможно

[nestoklon]

Вам не кажется, что это

Профессор Снэйп в сообщении #376554 писал(а):

Беднягам математикам пришлось несладко, они в конце-концов извернулись и придумали какие-то там обобщённые функции.

противоречит этому

Профессор Снэйп в сообщении #376554 писал(а):

К исскусству относятся красивейшие паталогии: пила Вейерштрасса и тому подобное. ... Типа фотография унылого осеннего пейзажа за окном --- настоящее изобразительное искусство, а картины Эшера и Дальвадора Сали --- оторванный от реальности бред больного сознания...

Если это банальное ремесло, то чего было так долго мучаться? И Эшер и Дали например прекрасно умели "рисовать" в смысле ремесла.

[Munin]

Профессор Снэйп в сообщении #376562 писал(а):

Bulinator в сообщении #376553 писал(а):

Континуальные интегралы не очень хорошо определены со строгой математической точки зрения.

Это что за интегралы?

http://ru.wikipedia.org/wiki/Функциональный_интеграл

Тж.
http://www.scholarpedia.org/article/Path_integral
http://www.scholarpedia.org/article/Pat ... al_aspects

-- 17.11.2010 18:13:17 --

Профессор Снэйп в сообщении #376569 писал(а):

Учёные конструируют прибор, измеряющий уровни этой частицы, и получают оракул для проблемы остановки

:-) Для фантастического рассказа идея шикарная, жаль только в реальной физике любые измерения имеют погрешность, и уровни этой частицы будут размыты в нечто невнятное.

[worm2]

Профессор Снэйп писал(а):

Это что за интегралы? Пример можно?

Рассмотрим множество непрерывных неубывающих функций на [0, 1], принимающих значение 0 в 0 и 1 в 1. У каждой такой функции, как у кривой, есть длина. Вопрос: какова средняя длина для всевозможных таких функций?

-- Ср ноя 17, 2010 20:21:42 --

Munin писал(а):

http://ru.wikipedia.org/wiki/Функциональный_интеграл

Кликабельная ссылка: http://ru.wikipedia.org/wiki/Функциональный_интеграл