Самим математикам достаточно аналитических функций и теории чисел.
Недостаточно. И ряды Фурье -- прекрасный тому пример. Хотя переход к лебеговскому интегралу ит римановского действительно можно назвать при желании "извращением" (нужным лишь для придания теории внутренней законченности), игнорировать практическую необходимость разложения в ряд разрывных и негладких функций всё же нельзя. Так же и как игнорировать вытекающие из этого последствия -- эффект Гиббса и замедление сходимости. Даже физикам нельзя.
И запрещают нам рисовать простые картинки для экспериментаторов. И студентов простыми картинками "путать" запрещают.
А это разные вещи. С эксепериментаторами можно говорить на каком угодно языке -- они и люди уже взрослые, да и не их это дело -- ставить задачу. А вот студентов портить нехорошо.
То есть плотность --- она лишь в макроприближении бывает, а сама природа дифференцирования и прочих предельных переходов такова, что никакой сколь угодно малый масштаб рассмотрений не может быть выбран окончательным, и для любого
найдётся
, много меньшее
... Иначе логика рассуждений начинает хромать. А физики спокойно дифференцируют эту самую плотность массы и приходят к верным выводам, подтверждаемым впоследствии экспериментами.[/off]
Ничего не хромает. Есть некоторый диапазон эпсилонов, в котором и замена производных конечными разностями становится достаточно точной, и макроприближения оправданными. Вот только в рамках этих приближений выводы физиков верными и являются (а и все вообще практические выводы верны только в некотором приближении, даже и в матанализе как таковом). А вне приближений -- нет, иногда флуктуации учитывать всё же приходится.
Рассмотрим множество непрерывных неубывающих функций на [0, 1], принимающих значение 0 в 0 и 1 в 1. У каждой такой функции, как у кривой, есть длина. Вопрос: какова средняя длина для всевозможных таких функций?
Ответ: никакова, пока не задана конкретная мера на этом пространстве (желательно с какой-нибудь практической точки зрения разумная). Вот в выборе меры -- и проблемы с точным определением континуального интегрирования.
Вообще-то следует помнить, что мы никогда не измеряем саму функцию. Всегда измеряется ее функционал (по простому интеграл с аппаратной функцией). Но если, в некотором смысле, нет самих функций (и даже точек континуума), то как определить что такое функционал? Вот взяли бы математики и объяснили как.
Очень просто. Функции в некотором смысле очень даже есть, это результат некоторой идеализации. В предположении, что хоть мы и никогда не можем измерить значения ровно в точке, но можем (гипотетически) измерить её усреднённое значение по сколь угодно малой окрестности. А идеализация -- это свойство любого абстрактного понятия. Линия -- это идеализация, точка -- идеализация... Или вот, допустим, некоторые физики берут амперметр и наивно полагают, что меряют им силу тока. Фигня! Нет никакой силы тока, это -- тоже абстракция.
А вот континуум фактически есть. Если его нет -- мы не сможем даже поставить вопрос о вычислении какого-нибудь корня из двух или числа "пи". Не то что вычислить не сможем -- нет, просто поставить выпрос о вычислении.
Кстати совершенно не понятно почему математики так трепетно относятся именно к поточечной сходимости. Нет поточечной сходимости -- ну и ладно, возьмем другую сходимость. Поищем В КАКОМ СМЫСЛЕ сходимость есть. Для математика это опять кошмар: искать в каком смысле...
Вы явно путаете физиков и математиков. Математики именно тем только и заняты, что ищут "в каком смысле". А вот физикам -- часто на это плевать. В т.ч. наплевать и на сугубо практические последствия, возникающие из различия равномерной и среднеквадратичной (к примеру) сходимостей.