Я плохо "знаю" квантовую механику, лишь понаслышке. Но вроде там многое дискретно и ни о какой гладкости даже речи нет.
Квантовая механика за счёт бесконечномерности может быть "повёрнута" и дискретным, и непрерывным боком. Физики давно привыкли считать оба варианта эквивалентными, хотя математически они эквивалентны только с рядом оговорок, которые для физиков малоактуальны. Так что в некоторых представлениях квантовая механика очень даже непрерывна и дифференцируема.
Иначе логика рассуждений начинает хромать. А физики спокойно дифференцируют эту самую плотность массы и приходят к верным выводам, подтверждаемым впоследствии экспериментами. Парадокс!!!
Тут как раз уже упомянутое не один раз отличие между математикой и физикой играет роль. Математики опираются только на логику рассуждений. Когда логика начинает хромать, для них это катастрофа. Физики опираются и на логику, и на эксперимент. Если логика хромает, но эксперимент не указывает на проблему в этом месте - логически смутное место игнорируют и идут дальше.
Да, мы знаем, что реальные физические зависимости не являются функциями на континууме, и что применять к ним операции дифференцирования и интегрирования логически не более осмысленно, чем к строчкам символов. Но они
ведут себя как функции на континууме, в том числе, как будто у них есть производные и первообразные, которые можно померить/пощупать другими способами. (Простейший пример: вторая производная от положения равна силе, которую можно померять динамометром.) Таким образом, реальные физические зависимости - не изоморфны, конечно, но - каким-то образом мономорфны этим самым функциям на континууме. Этим мы и пользуемся.
По крайней мере, пока - мономорфны. Завтра может появиться экспериментальный факт, не укладывающийся в эту схему, тогда мы будем её ломать, и строить новую схему. Такой временный статус для физики нормален.
Alex_RaОчень хороший вопрос. Мне навскидку ничего в голову не приходит, что само по себе интересно.